工程振动分析与控制基础 第2版 课件 第5、6章 传递矩阵法、有限元法

《工程振动分析与控制基础》第5章传递矩阵法第5

章传递矩阵法5.1引言5.2向量状态5.3基本单元的传递矩阵5.4系统的固有振动分析5.5系统的稳态响应23145675.1引言

5.1引言

传递矩阵法(TransferMatrixMethod)是伴随计算机的出现和发展而逐步形成并广泛应用的一种工程结构动态分析方法,其基本思想是把一个整体结构系统的力学分析问题转化为若干单元或子结构的“对接”与“传递”的力学分析问题传递矩阵法非常适合进行工程实际中具有链式分布特征的结构系统的振动分析,往往要求采用基于拉格朗日方程的分析力学方法将复杂结构简化为集总参数系统(LumpedParametersSystem),再利用传递矩阵法进行分析和求解21345675.2向量状态5.2向量状态状态向量是描述某一单元端面力学特性的物理量,通常由单元端面内的广义位移(位移、转角)和广义力(力、力矩)组成的一个矩阵向量来表示对于直线振动单元,如离散系统的质量、弹簧和黏性阻尼器单元以及纵向振动杆单元,其状态向量Zi通常由位移xi和力Fi组成如下对于角振动单元,如转动惯量单元、扭转弹簧单元和扭转振动杆单元,其状态向量Zi由转角θi和扭矩TMi组成如下:对于既有直线振动又有角振动的单元,如弯曲振动梁单元,其状态向量Zi分别由位移wi、转角θi、弯矩Mi和剪力Qi组成如下:21345675.3基本单元的传递矩阵

5.3基本单元的传递矩阵-1

一般情况下,质量单元和转动惯量单元左、右两端状态向量常常分别用和表示(当然也可视具体情况用上、下两端的状态向量描述),两者之间的传递矩阵称为点传递矩阵,用表示而其他基本单元(如弹簧、扭簧和黏性阻尼器单元以及纵向振动杆单元、扭转振动杆单元和弯曲振动梁单元等)两端的状态向量之间的传递矩阵通常称为场传递矩阵,用表示

5.3基本单元的传递矩阵-2

1.质量单元对于做简谐振动、质量为m的刚性质量单元,其左右两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的点传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-3

2.转动惯量单元对于做简谐振动、转动惯量为I的纯转动惯量单元,其左右两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的点传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-3

3.弹簧单元对于做简谐振动、刚度为k的弹簧单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的场传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-4

4.扭转弹簧单元对于做简谐振动、抗扭刚度为kt的扭转弹簧单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的场传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-5

5.黏性阻尼器单元对于做简谐振动、阻尼系数为c的黏性阻尼器单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的场传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-6

6.纵向震动杆单元对于长度为l、截面面积为A、密度为ρ、弹性模量为E的做简谐振动的纵向振动杆单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程可借助于第4章的式(4-36)及其振型表达式U(x)=C1cos(klx)+C2sin(klx)推导得出7.对于长度为l、截面极惯性矩为Jp、密度为ρ、剪切模量为G的做简谐振动的圆形截面扭转振动杆单元,容易得到其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:

5.3基本单元的传递矩阵-7

6.弯曲振动梁单元对于长度为l、截面积为A、惯性矩为J、密度为ρ、弹性模量为E的做简谐振动的弯曲振动梁单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程可借助于第4章的式(4-53)及其振型表达式W(x)=C1cos(kbx)+C2sin(kbx)+C3ch(kbx)+C4sh(kbx)推导得出,与杆的纵向振动相类似,方程如右图21345675.4系统的固有振动分析5.4.1系统的传递矩形方程设某链式分布系统由n个单元组成,第i个单元的传递矩阵为Ti,系统前端的状态向量为Z0,系统末端的状态向量为Zn,则该系统的传递矩阵方程为:Zn=TnTn-1…Ti…T2T1Z0(5-29)则系统的总传递矩阵为:Ttotal=TnTn-1…Ti…T2T1(5-30)对于由质量单元、弹簧单元和黏性阻尼器单元组成的离散系统,以及纵向振动(或扭转振动)的杆系(或轴系),易知系统的总传递矩阵为2阶方阵(矩阵阶数等于单元的状态向量的行数);而对于弯曲振动的梁系,系统的总传递矩阵则为4阶方阵5.4.2离散系统的固有振动分析对于离散系统(单自由度和多自由度系统),具有两种边界条件,即固定和自由条件,固定端:位移x=0;自由端:力F=0。对于两端固定的离散系统,可以得到如下频率方程:T12(ω)=0(5-31)对于一端固定、另一端自由的离散系统,频率方程如下:1)前端固定、末端自由:T22(ω)=0。2)前端自由、末端固定:T11(ω)=0。(5-33)由上述频率方程,很容易求得系统的固有频率。5.4.3扭转振动轴系的固有振动分析考虑如图5-2所示的扭转振动轴系,它是由n个抗扭刚度kti的无质量杆单元和n+1个转动惯量为Ii的纯转动惯量刚性圆盘组成的链式系统,很容易得到系统的传递矩阵方程如下:

式中：则系统总传递矩阵为:Ttotal=TnTn-1…Ti…T2T1(5-36)5.4.4弯曲振动梁的固有振动分析弯曲振动梁的固有振动分析也同前面的离散系统和扭转轴系一样,也是通过单元矩阵的相乘得到系统的总传递矩阵Ttotal(为4阶方阵),再利用边界条件,从而得到系统的固有频率和模态振型弯曲振动梁的边界条件比较复杂,它有3种边界条件,即固定、简支和自由条件,其中:1)固定端:位移w=0,转角θ=0

2)简支端:位移w=0,弯矩M=0

3)自由端:弯矩M=0,剪力Q=0。对于两端固定梁,可以得到如下频率方程:对于两端简支梁,可以得到如下的频率方程:21345675.5系统的稳态响应谢谢。《工程振动分析与控制基础》第6章有限元法第6

章有限元法6.1引言6.2假设模态法6.3一维弹性体振动的有限元分析6.4常用有限元分析软件23145676.1引言

6.1引言

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一种灵活、快速、有效地进行各领域数理方程求解的通用数值分析方法有限元法的基本思想是将连续体(弹性体)系统离散成有限多个单元组成的多自由度系统进行近似求解,即将复杂结构分割为若干彼此之间仅在结点处相互连接的单元,每一个单元都是一个弹性体,为了保证单元之间的连续性,插值函数通常由结点处的广义位移来表示有限元法涉及的主要近似解法主要有变分法、瑞利—里茨(Rayleigh-Ritz)法、权重余项法(如伽辽金法)等方法21345676.2假设模态法6.2假设模态法假设模态法是一种将弹性体系统离散化的方法,可用于求解弹性体在激励下的近似强迫响应,其主要思路是选取合适的假设模态,将弹性体的响应展开成假设模态和待定广义坐标的线性组合形式,进而计算弹性体在广义坐标下的动能和势能,代入拉格朗日方程后,将弹性体系统强迫响应的求解转换成n个自由度系统强迫响应的求解问题用假设模态法求解弹性体的近似强迫振动响应,首要的前提是需要知道假设模态,即容许函数,假设模态取得越精确(越接近于真实模态振型),则得到的强迫响应的近似程度就越高。然而在实际求解过程中,选取足够精确的假设模态是较为困难的,这也是阻碍假设模态法广泛应用的瓶颈21345676.3一维弹性体振动的有限元分析6.3.1网格划分进行结构有限元分析时,最重要的前处理工作之一是将结构进行网格划分。对于本节研究的一维弹性体,首先把结构划分成s个单元,再分别对单元和结点进行编号,如图6-1所示,可得s+1个结点。显然,网格划分得越细,计算精度也越高,但计算工作量也越大,计算时间就越长。所以要根据实际情况和要求,综合考虑精度要求和计算量这两方面因素,对结构进行适当、合理的网格划分图6-1一维弹性体结构的网格划分6.3.2杆单元的质量阵和刚度阵下面针对图6-2所示的长度为le的杆单元,采用假设模态法确定其单元质量阵Me和刚度阵Ke。假设在单元局部坐标系xe下,杆单元的两端结点位移分别为qe1和qe2,u(xe,t)为单元位移,杆单元的位移边界条件如下:图6-2杆单元示意图6.3.3梁单元的质量阵和刚度阵梁单元的质量阵和刚度阵的推导过程与杆单元相似,只不过对于梁单元来说,其结点广义位移有2个(分别为挠度和转角,见图6-3)图6-3梁单元示意图6.3.4单元集成与稳态响应求解相应的单元运动微分方程:式中,单元激励力向量Re(t)的第j个元素的表达式为:其中的φj(xe)见式(6-18)(对于杆)或式(6-26)(对于梁)21345