2024年度经济数学基础形成性考核答案

2024年度经济数学基础形成性考核答案一、考核目标概述经济数学基础在经济领域中具有至关重要的地位，它为解决各类经济问题提供了有力的工具和方法。2024年度的经济数学基础形成性考核旨在全面检验学生对课程知识的掌握程度、运用能力以及逻辑思维和数学素养的提升情况。通过考核，促使学生深入理解经济数学的基本概念、原理和方法，能够熟练运用相关知识解决实际经济问题，培养学生的分析、推理和创新能力，为今后在经济领域的学习和工作打下坚实的数学基础。

二、各章节考核答案（一）函数1.函数的概念设函数\(f(x)=\frac{1}{x1}\)，求函数的定义域。答案：要使分式有意义，则分母不为零，即\(x1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。所以函数\(f(x)\)的定义域为\((\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。已知函数\(f(x)=2x+3\)，\(g(x)=x^21\)，求\(f(g(x))\)。答案：将\(g(x)=x^21\)代入\(f(x)\)中，得到\(f(g(x))=2(x^21)+3=2x^22+3=2x^2+1\)。2.函数的性质判断函数\(y=x^3\)的奇偶性。答案：对于函数\(y=f(x)=x^3\)，\(f(x)=(x)^3=x^3=f(x)\)，所以函数\(y=x^3\)是奇函数。分析函数\(y=2^x\)的单调性。答案：指数函数\(y=a^x\)（\(a>1\)）在\(R\)上单调递增，因为\(a=2>1\)，所以函数\(y=2^x\)在\(R\)上单调递增。

（二）极限与连续1.极限的计算计算\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}\)。答案：对分子进行因式分解\(x^21=(x+1)(x1)\)，则原式\(\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。计算\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}\)。答案：令\(t=\frac{x}{2}\)，则\(x=2t\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to\infty\)。原式\(\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{6t}=[\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{t}]^6=e^6\)。2.函数的连续性已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq1\\2x1,&x>1\end{cases}\)，判断函数在\(x=1\)处是否连续。答案：先求左极限\(\lim\limits_{x\to1^{}}(x+1)=1+1=2\)，再求右极限\(\lim\limits_{x\to1^{+}}(2x1)=2\times11=1\)。因为左极限不等于右极限，所以函数在\(x=1\)处不连续。

（三）导数与微分1.导数的概念已知函数\(y=f(x)=x^2\)，求\(f^\prime(1)\)。答案：根据求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，\(y^\prime=2x\)，则\(f^\prime(1)=2\times1=2\)。设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，且\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}=3\)，则\(f^\prime(x_0)=\)？答案：根据导数的定义，\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}=3\)。2.导数的计算求函数\(y=x^33x^2+5\)的导数。答案：\(y^\prime=(x^33x^2+5)^\prime=(x^3)^\prime(3x^2)^\prime+(5)^\prime=3x^26x\)。求函数\(y=\sinx\cosx\)的导数。答案：利用乘积求导法则\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，令\(u=\sinx\)，\(v=\cosx\)，则\(u^\prime=\cosx\)，\(v^\prime=\sinx\)，所以\(y^\prime=\cosx\cosx+\sinx(\sinx)=\cos^2x\sin^2x=\cos2x\)。3.微分的计算已知函数\(y=x^2\)，求\(dy\)。答案：由\(y^\prime=2x\)，根据微分公式\(dy=y^\primedx\)，可得\(dy=2xdx\)。当\(x=1\)，\(\Deltax=0.01\)时，求函数\(y=x^2\)的微分。答案：\(dy=2xdx\)，将\(x=1\)，\(dx=\Deltax=0.01\)代入得\(dy=2\times1\times0.01=0.02\)。

（四）导数的应用1.函数的单调性求函数\(y=x^33x^2+2\)的单调区间。答案：先求导数\(y^\prime=3x^26x=3x(x2)\)。令\(y^\prime>0\)，即\(3x(x2)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，所以函数的单调递增区间为\((\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(y^\prime<0\)，即\(3x(x2)<0\)，解得\(0<x<2\)，所以函数的单调递减区间为\((0,2)\)。2.函数的极值求函数\(y=x^33x^2+2\)的极值。答案：由上述单调性可知，当\(x=0\)时，函数取得极大值，\(y(0)=0^33\times0^2+2=2\)；当\(x=2\)时，函数取得极小值，\(y(2)=2^33\times2^2+2=2\)。3.函数的最值求函数\(y=x^33x^2+2\)在区间\([1,3]\)上的最值。答案：先求函数在区间端点和极值点处的值，\(y(1)=(1)^33\times(1)^2+2=2\)，\(y(0)=2\)，\(y(2)=2\)，\(y(3)=3^33\times3^2+2=2\)。比较这些值可得，函数在区间\([1,3]\)上的最大值为\(2\)，最小值为\(2\)。

（五）积分1.不定积分的概念与性质已知\(F^\prime(x)=f(x)\)，则\(\intf(x)dx=\)？答案：\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)为任意常数）。计算\(\intx^2dx\)。答案：根据积分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq1\)），可得\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)。2.不定积分的计算求\(\int(2x+3)dx\)。答案：\(\int(2x+3)dx=\int2xdx+\int3dx=x^2+3x+C\)。求\(\int\frac{1}{x^2}dx\)。答案：\(\int\frac{1}{x^2}dx=\intx^{2}dx=\frac{1}{x}+C\)。3.定积分的概念与性质已知\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)\)，求\(\int_{1}^{2}x^2dx\)。答案：由\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)，则\(\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\times2^3\frac{1}{3}\times1^3=\frac{8}{3}\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)。比较\(\int_{0}^{1}x^2dx\)与\(\int_{0}^{1}x^3dx\)的大小。答案：先计算\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}x^3dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{0}^{1}=\frac{1}{4}\)。因为\(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\)，所以\(\int_{0}^{1}x^2dx>\int_{0}^{1}x^3dx\)。4.定积分的计算计算\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)。答案：\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\cosx\big|_{0}^{\pi}=(\cos\pi\cos0)=(11)=2\)。计算\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)。答案：\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\lnx\big|_{1}^{e}=\lne\ln1=1\)。

三、考核总结与学习建议通过本次2024年度经济数学基础形成性考核，我们对各个章节的知识要点进行了系统的复习和巩固。函数是基础，要熟练掌握函数的概念、性质和运算；极限与连续是进一步学习导数和积分的桥梁，要理解极限的计算方法和函数连续性的判断；导数与微分是经济数学中的重要工具，要掌握导数的概念、计算和应用；积分则是对函数的一种逆运算，要理解不定积分和