高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题

高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题一、教学目标1.深入理解解析几何的基本概念和原理，包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程和性质。2.熟练掌握解析几何中常见问题的求解方法，如求曲线方程、直线与曲线的位置关系、弦长问题、中点弦问题、最值问题等。3.通过典型例题的分析和练习，培养学生运用解析几何知识解决综合问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和运算能力。4.引导学生体会解析几何中数形结合、方程思想、函数思想等数学思想方法的应用，增强学生的数学素养。

二、教学重难点1.教学重点各类曲线的标准方程和几何性质的灵活运用。直线与曲线位置关系问题的解题思路和方法。解析几何中常见问题的求解策略和技巧。2.教学难点复杂解析几何问题的综合分析和转化，如何将几何问题代数化。运用多种数学思想方法解决解析几何中的最值、范围等问题。提高学生在解析几何问题中的运算准确性和速度。

三、教学方法1.讲授法：讲解解析几何的重要概念、定理和方法，使学生系统地掌握知识。2.例题分析法：通过典型例题的详细分析，引导学生理解解题思路，掌握解题方法和技巧。3.练习法：安排适量的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。4.讨论法：组织学生对一些较难的问题进行讨论，激发学生的思维，培养学生的合作学习能力和创新思维。

四、教学过程

（一）知识回顾1.直线直线的倾斜角与斜率：\(k=\tan\alpha\)（\(\alpha\neq90^{\circ}\)）。直线的方程：点斜式\(yy_0=k(xx_0)\)；斜截式\(y=kx+b\)；两点式\(\frac{yy_1}{y_2y_1}=\frac{xx_1}{x_2x_1}\)；截距式\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)；一般式\(Ax+By+C=0\)（\(A^2+B^2\neq0\)）。两直线的位置关系：平行、垂直的判定条件。2.圆圆的标准方程\((xa)^2+(yb)^2=r^2\)，其中\((a,b)\)为圆心坐标，\(r\)为半径。圆的一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)（\(D^2+E^24F>0\)），圆心坐标为\((\frac{D}{2},\frac{E}{2})\)，半径\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^24F}\)。直线与圆的位置关系：相交、相切、相离的判定方法（利用圆心到直线的距离\(d\)与半径\(r\)的大小关系）。3.圆锥曲线椭圆定义：平面内到两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹。标准方程：焦点在\(x\)轴上\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）；焦点在\(y\)轴上\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。性质：离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)），\(c^2=a^2b^2\)。双曲线定义：平面内到两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹。标准方程：焦点在\(x\)轴上\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)；焦点在\(y\)轴上\(\frac{y^2}{a^2}\frac{x^2}{b^2}=1\)。性质：离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)），\(c^2=a^2+b^2\)。抛物线定义：平面内到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\notinl\)）的距离相等的点的轨迹。标准方程：\(y^2=2px\)（\(p>0\)，焦点\((\frac{p}{2},0)\)，准线\(x=\frac{p}{2}\)）；\(y^2=2px\)（\(p>0\)，焦点\((\frac{p}{2},0)\)，准线\(x=\frac{p}{2}\)）；\(x^2=2py\)（\(p>0\)，焦点\((0,\frac{p}{2})\)，准线\(y=\frac{p}{2}\)）；\(x^2=2py\)（\(p>0\)，焦点\((0,\frac{p}{2})\)，准线\(y=\frac{p}{2}\)）。性质：离心率\(e=1\)。

（二）典型例题分析1.求曲线方程例1：已知点\(A(2,0)\)，\(B(2,0)\)，动点\(M\)满足\(\vertMA\vert\vertMB\vert=2\)，求动点\(M\)的轨迹方程。分析：根据双曲线的定义，\(\vertMA\vert\vertMB\vert=2<\vertAB\vert=4\)，所以动点\(M\)的轨迹是以\(A,B\)为焦点的双曲线的右支。\(2a=2\)，\(a=1\)，\(c=2\)，则\(b^2=c^2a^2=3\)。解：设动点\(M\)的轨迹方程为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(x\geq1\)），因为\(a=1\)，\(b^2=3\)，所以动点\(M\)的轨迹方程为\(x^2\frac{y^2}{3}=1\)（\(x\geq1\)）。总结：求曲线方程的常用方法有直接法、定义法、待定系数法等。要根据题目条件选择合适的方法，注意曲线方程的范围。2.直线与曲线的位置关系例2：已知直线\(l:y=kx+1\)与椭圆\(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(0<b<2\)）相交于\(A,B\)两点，当\(k=1\)时，求弦\(AB\)的长。分析：将直线方程\(y=x+1\)代入椭圆方程\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，得到一个关于\(x\)的一元二次方程，然后利用弦长公式\(\vertAB\vert=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^24x_1x_2}\)求解。解：当\(k=1\)时，直线\(l\)的方程为\(y=x+1\)，代入椭圆方程\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\)得：\((b^2+4)x^2+8x+44b^2=0\)设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=\frac{8}{b^2+4}\)，\(x_1x_2=\frac{44b^2}{b^2+4}\)。所以\(\vertAB\vert=\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{(\frac{8}{b^2+4})^24\cdot\frac{44b^2}{b^2+4}}\)化简得：\(\vertAB\vert=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{b^4+b^2}}{b^2+4}\)总结：直线与曲线相交问题，一般通过联立方程，利用韦达定理来求解弦长、中点坐标等问题。注意判别式\(\Delta\)的应用，确保直线与曲线确实有两个交点。3.中点弦问题例3：已知椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求过点\(P(1,1)\)且被\(P\)平分的弦所在直线的方程。分析：设弦的两端点为\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，利用点差法求出直线的斜率。解：设弦的两端点为\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，因为\(A,B\)在椭圆上，所以\(\begin{cases}\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{9}=1\\\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{9}=1\end{cases}\)两式相减得：\(\frac{(x_1+x_2)(x_1x_2)}{25}+\frac{(y_1+y_2)(y_1y_2)}{9}=0\)因为\(P(1,1)\)是弦\(AB\)的中点，所以\(x_1+x_2=2\)，\(y_1+y_2=2\)，则\(\frac{2(x_1x_2)}{25}+\frac{2(y_1y_2)}{9}=0\)，即\(\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=\frac{9}{25}\)。所以弦所在直线的斜率\(k=\frac{9}{25}\)，直线方程为\(y1=\frac{9}{25}(x1)\)，即\(9x+25y34=0\)。总结：中点弦问题常用点差法求解，通过设出弦的两端点坐标，代入曲线方程相减，利用中点坐标公式求出直线的斜率，进而得到直线方程。4.最值问题例4：已知点\(P\)是椭圆\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)上的动点，\(F_1,F_2\)是椭圆的两个焦点，求\(\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert\)的最大值。分析：根据椭圆的定义\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=2a=4\)，然后利用均值不等式求解。解：由椭圆定义知\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=4\)，则\(\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert\leq(\frac{\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert}{2})^2=4\)，当且仅当\(\vertPF_1\vert=\vertPF_2\vert=2\)时取等号。所以\(\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert\)的最大值为\(4\)。总结：解析几何中的最值问题可以通过利用曲线的定义、几何性质，结合均值不等式、函数单调性等方法来求解。要注意分析问题的几何意义，找到合适的解题途径。

（三）课堂练习1.已知点\(F_1,F_2\)是双曲线\(x^2y^2=4\)的两个焦点，点\(P\)在双曲线上，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，求\(\triangleF_1PF_2\)的面积。2.过抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F\)作直线交抛物线于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)两点，若\(x_1+x_2=6\)，求\(\vertAB\vert\)。3.已知椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，求过点\(M(2,1)\)且被\(M\)平分的弦所在直线的方程。

（四）课堂小结1.回顾解析几何的重要概念、公式和定理，如曲线方程的求法、直线与曲线位置关系的判定方法、弦长公式、中点弦问题的解法、最值问题的求解策略等。2.强调解题过程中应注意的问题，如联立方程后的判别式应用、韦达定理的正确使用、曲线方程范围的确定、数学思想方法的运用等。3.鼓励学生在课后继续加强练习，熟练掌握解析几何问题的解题技巧，提高解题能力。

（五）课后作业1.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{3}{2}\)2.已知抛物线\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦点为\(F\)，点\(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)，\(P_3(x_3,y_3)\)在抛物线上，且\(2x_2=x_1+x_3\)，则有（）A.\(\vertFP_1\vert+\vertFP_2\vert=\vertFP_3\vert\)B.\(\vertFP_1\vert^2+\vertFP_2\vert^2=\vertFP_3\vert^2\)C.\(2\vertFP_2\vert=\vertFP_1\vert+\vertFP_3\vert\)D.\(\vertFP_2\vert^2=\vertFP_1\ver