《备考指南一轮 数学 》课件-第5章 第7讲

三角函数第五章第7讲解三角形应用举例考点要求考情概览1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．2．利用正、余弦定理解决实际问题，根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点)

考向预测：从近三年高考情况来看，解三角形的实际应用考查频率不高，常见题型为选择、填空题，解答题考查减少，几何计算问题常结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，难度以中档为主．学科素养：主要考查数学建模和数学运算的核心能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1顺时针

0°≤α＜360°

正北

正南

【特别提醒】1．解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．2．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．1．(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为

(

)【答案】A【答案】C【答案】D5．(2020年温州模拟)某城市的电视发射搭建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为50米，从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度为________米．【答案】250

相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．

(

)(2)如图所示，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．

(

)【答案】(1)√

(2)√重难突破能力提升2示通法

解三角形应用题时，实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．求距离、高度问题【解题技巧】1．测量高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．2．测量距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(2)江岸边有一炮台高30

m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.图1图2

已知距离岛A南偏西38°方向3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？测量角度问题解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos

120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.【解题技巧】测量角度问题的基本思路及关注点(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．【变式精练】2．如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 (

)A．30° B．45°C．60° D．75°【答案】B

正(余)弦定理在平面几何中的应用【解题技巧】与平面几何图形有关的解三角形问题的思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．素养微专直击高考3素养提升类——数学建模：解三角形的实际应用典例精析

要将一件重要物品用小艇从某港口O送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考查角度】余弦定理．【核心素养】数学建模、