高中数学人教A版选修21讲义第三章32第二课时空间向量与空间角距离

第❶部分把书读厚

教材同步导学

基础知识系统整合

重点难点释疑解惑

方法技巧系统点拨

热点命题权威解读

知能训练跟踪落实

讲、练、评一体，学、思、用结合

夯实每一步，成绩步步高

让你在学通学精教材的同时

紧紧把握高考的脉动

京二早室同囱量与立俵几何

二;1DISANZHANG/

3.2立体几何中的向量方法

其次课时空间向量与空间角、距离

■理皿事麻丽田课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P109〜110,思索并完成以下问题

1.如何利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角及二面角？

2.如何利用空间向量求点到平面的距离？

［新知初探］

1.空间角及向量求法

角的分类向量求法范围

设两异面直线所成的角为它们的方向向量为

异面直线所成0,a,

0,

的角b,那么cos。一|cos{a,b).

1|*z|

设直线l与平面所成的角为0,1的方向向量为a,

直线与平面所a

0,

成的角平面a的法向量为〃，那么sin，一|cos〈a,〃〉|—田|川

设二面角a-1-fl的平面角为0,平面a,“的法向量

二面角

为小，〃2,那么|cos〃|一|cos(n\,〃2〉I-|小温[0,H]

［点睛］设二面角的平面角为仇那么0°＜0W180。.当两个半平面重合时，，=0。；当两

个半平面相交时，0。＜，＜180。；当两个半平面共面时，0=180°.

2.空间距离的向量求法

分类向量求法

两点距设A,5为空间中任意两点，那么d=|A8|

点面距设平面a的法向量为“，痴，AGa,那么8点到平面a的距离d」?川

1.推断以下命题是否正确.(正确的打“,错误的打“x〃)

(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()

(2)直线/与平面a的法向量的夹角的余角就是直线I与平面a所成的角()

(3)二面角*1邛的大小为0,平面a,p的法向量分别为MO"2,那么0=〈小，«2)()

答案：⑴X(2)X(3)X

2.向量"?，"分别是直线/和平面a的方向向量、法向量，假设cos(m,n)=—

那么直线/与平面a所成的角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案：A

3.两平面的法向量分别为小=(0,1,0),〃=(0,1,1),那么两平面所成的二面角的大小为

()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

答案：c

4.在正三棱柱A5C-A/1G中，假设45=也8乱，那么4片与G5所成角的大小为

答案：90°

字课堂讲练设计，举一能通类题

LES两异面直线所成的角

［典例］(2017•全国卷U)直三棱柱A8C-481G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi

=1,那么异面直线AW与8G所成角的余弦值为()

R运

5

j5D坐

［解析］以坨为坐标原点，81G所在的直线为x轴，垂直于81G的

直线为y轴，831所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图.由条

件知31(0,0,0),

B(0,0,D,G(l,0,0),A(-1,但1),

那么苑=(1,0,-1),4^=(1,一小，-1).

所以cos(ABi,启〉=-TCI=2手所以异面直线aw与5G所成的

|诵卜菊|邓义也5

角的余弦值为手.

［答案］C

用坐标法求异面直线所成角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；

(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；

(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角.

［活学活用］

如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，

顶点A,B,V分别在x,j,z轴上，。是线段A5的中点，S.AC=BC

=2,ZVDC=j,求异面直线AC与V。所成角的余弦值.

解：由于AC=BC=2,。是4B的中点，所以

C(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),D(l,l,0).

在RtZkVa)中，CD=y[2,ZVDC=^,故叭0,0,瓜

所以AC=(-2,0,0),VD=(1,1,一木).

_ACVD_~2__^2

所以cos{AC,~VD)

\AC^VD\32巾4

所以异面直线AC与所成角的余弦值为小.

直线与平面所成的角

[典例]如图，在四棱柱ABCD-AiBxCxDx中，侧棱44」底面

ABCD,AB//DC,AAt=l,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1)求证：CD平面40041；

(2)假设直线441与平面A&C所成角的正弦值为去求人的值.

［解］(1)证明：取C£＞的中点E,连接8E.

'：AB//DE,AB=DE=3k,

四边形ABED为平行四边形，

J.BE//AD且BE=AD=4k.

在△BCE中，,:BE=4k，CE=3>k,BC=5k,

J.BE^CE^BC2,；.NBEC=90°,即BE_LCZ).

又5E〃AO,：.CD±AD.

：AAiJ•平面ABCD,C0U平面ABCD,

：.AAt±CD.

又AAiCAO=A,

.♦.COJ•平面ADDtAi.

(2)以O为坐标原点，~DA,~DC,丽的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如

下图的空间直角坐标系，

那么A(4A,0,0),C(0,6那0),8i(4A,3A,l),Ai(4A,0,l),

AAC=(-4A,6A,0),诵=(0,3«,l),疝=(0,0,1).

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),

AC・〃=0,f—4Arx+6Aj=0,

那么

市.〃=o,[33+Z=0.

取y=2,可得平面ABC的一个法向量为〃=(3,2,—6A).

设441与平面ABC所成的角为0,

那么sin0=|cos(AAi,〃〉|=〃J_=J_y=£,解得4*的值为1.

|A4iH川736k+13

求直线与平面的夹角的思路与步骤

思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形学问可求得

夹角(或夹角的某一三角函数值).

思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求

直线与平面的夹角的根本步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量7/；

⑶求平面的法向量n；

(4)计算：设线面角为仇那么sin，=

\n\-\AB\

［活学活用］

如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为啦的正方形，鼠

PA±BD-媒》

(1)求证：PB=PD；1/F\/

BC

(2)假设E,尸分别为PC,A8的中点，E凡L平面尸C。，求直线PB

与平面PCD所成角的大小.

解：(1)证明：如下图，连接AC,80交于点0,连接尸0,•.,底面A8C〃是正方形，

：.AC±BD,且。为30的中点.

又R1J■皿PACiAC=A,

.•.8O_L平面PAC,

由于尸0U平面R1C,故BDA-PO.

又BO=DO,故PB=PD.

(2)如下图，连接AC,BD,

设尸。的中点为Q,连接AQ,EQ,

那么EQ转C。，四边形AFEQ为平行四边形，EF//AQ,

,.•后尸上平面PCD,

.♦.AQJL平面PCD,

：.AQ±PD,Q为PD的中点，：.AP=AD=yj2.

由AQ_L平面尸CD,可得AQJ-CD.

又DALCD,QAnAD=A,

:.CDJL平面PAD,:.CD±PA.

又妖，平面ABC。.

：.AB,AP,AO两两垂直，以A为坐标原点，分别以向量弁，~AD,左的方向为x

轴、y轴、z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，

那么4(0,0,0),B(也0,0),Q(0,坐，嗡,0(0,也，0),尸(0,0,6)，.•.渴=

(0,乎,羽,~PB=(y［2,0,—A/2).

易知4Q为平面PCD的一个法向量，

设直线PB与平面PCD所成的角为0,

,,—>—>、|-AQ|1

=

那么sin〃=cos<PB,AQ〉=r~2

IPBHAQI

...直线PB与平面PCD所成的角为?.

o

rra泼装求二面角

［典例］如图，四棱柱A5CZ)-AIiCiOi的全部棱长都相等，

ACCiBD=O,4605101=01,四边形ACG4和四边形5ZW)i3i均为

矩形.

(1)证明：OiO_L底面A5CD

⑵假设NCR4=60。，求二面角CrOBx-D的余弦值.

［解］(1)证明：由于四边形ACG4和四边形均为矩形，所以CCJ4C,DDi

LBD,

又CG〃OOi〃OOi,所以OOi-LAC,OOil.BD,

由于ACD8O=O,所以。iO_L底面4BCD

(2)由于四棱柱的全部枝长都相等，所以四边形A3CD为菱形，AC

工BD.又OiO工底面ABCD,所以05,OC,。01两两垂直.如图，以

。为原点，OB,OC,。。|所在直线分别为x,y,z轴，速立空间直角

坐标系.

设棱长为2,由于NCR4=60。，所以05=5，OC=1,

所以0(0,0,0),81(小，0,2),G(0,l,2),

平面BDDiBi的一个法向量为"=(0,1,0),

设平面OGBi的法向量为，〃=(x,y,z),

布x+2z=0,

那么由,"_L祐，m±OCi,所以.

j+2z=0.

取z=一小，那么x=2,y=2小,

所以》1=(2,2小，一小)，

m-n2s2病

所以cos{in,〃〉=,

k«llH|-Vi9-19-

由图形可知二面角G-O81-O的大小为锐角，

所以二面角G-081-。的余弦值为喑Z

［一题多变］

1.［变设问］本例条件不变，求二面角B-4Go的余弦值.

解：建立如下图的空间直角坐标系.设棱长为2,那么4(0,-1,2),

B班,0,0),C(0,l,0),D(-小,0,0).

所以箫=(一小，1,0),求=(0,2,-2),五二(一小,-1,0).

设平面AIC的法向量为〃i=(xi,ji,zi),

ni-A]c=0,f2ji—2zi=0,

那么':

1―V3xi+ji=0,

•万？=0,

取处=巾，那么yi=zi=3,

故小=(小,3,3).

设平面A1CD的法向量为〃2=(X2,J2,Z2),

“2•求=0,2J—2Z=0,

那么'一即，22

1〃2•布=0,、一小工2-丁2=0,

取M=小，那么y2=Z2=—3,

故〃2=(3,—3,—3).

\〃「麒2

==-15=-5

所以cos〈"1,"2〉|,ll||n2|21T

由图形可知二面角R4C-。的大小为钝角，

所以二面角3-4C-O的余弦值为一提

2.［变条件'变设问］本例四棱柱中，NCBA=60。改为NC5A=90。，设E,尸分别是棱

BC,C。的中点，求平面A5iE与平面4。/所成锐二面角的余弦值.

解：以4为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图，设此棱柱的棱长

为1,那么A(0,0,0),Bid,0,D,

£(1,I，0),01(0,1,1),

心1,0),AE=(l,0),而=(1,0,1),1,0),而=(0,1,1).

设平面ABE的法向量为ji,zi),

xi+zi=0,

/h*ABi=0,即《।1

一

)nrAE=0,xi+»i=0,

令yi=2,那么占=-1,Zi=l,

所以篦i=(-1,2,1).

设平面的法向量为〃2=(X2,J2,Z2).

］〃2•而=0,p2+Z2=0,

那么1即〃,、

k#=0,［产+『0.

令*2=2,那么以=-1,Z2=l.

所以“2=(2,-1,1).

所以平面ABxE与平面ADxF所成锐二面角的余弦值为肾能=加;而=,

向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤

(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

(2)求出两个半平面的法向量"1,"2；

(3)设二面角的平面角为，，那么|cos，|=|cos(nt,“2〉I;

(4)依据图形推断0为钝角还是锐角，从而求出。(或其三角函数值).

rm用空间向量求距离

［典例］四棱锥尸-ABC。中，四边形A5C£＞为正方形,P0J_平面A3CD,

PD=DA=2,F,E分别为A。，PC的中点.

(1)求证：OE〃平面PFB；

(2)求点E到平面PFB的距离.

［解］(1)证明：以。为原点，建立如下图的空间直角坐标系，

那么尸(0,0,2),f(1,0,0),3(2,2,0),£(0,1,1).FP=(-1,0,2),~FB=

(1,2,0),=(0,1,1),

B

，OE〃平面PFB.

又：。EQ平面PFB,

:.DE//平&PFB.

(2),.•£)£：〃平面PFB,

.•.点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离.

设平面PFB的一个法向量〃=(x,y9z),

r

n-FB=0,fx+2j=0,

那么<=>'

〃司=0J”=0,

令x=2,得y=-1,z=l.

：.n=[2,-1,1),又•.,7H=(-l,0,0),

.•.点。到平面尸F3的距离

,\FD-n\2__逅

d=1«1=赤=3-

.•.点E到平面PFB的距离为坐.

求点到平面的距离的四步骤

［活学活用］

在长方体。4BC-O1A181G中，0A=2,AB=3,44=2,求。i到直线AC的距离.

解：法一：建立如下图的空间直角坐标系，那么4(2,0,0),01(0,0,2),

C(0,3,0),过。作O0JLAC于点O,设0(x,y,0),那么万方=(x,y,-2),

~AD=(x—2,y,0).

VAC=(-2,3,0),AC,'AD//~AC,

•而尸\/牌+舟+(-2)2=噜^

即Oi到直线AC的距离为

法二：建立如下图的空间直角坐标系.那么A(2,0,0),01(0,0,2),

。0,3,0),.\石=(一2,0,2),就=(-2,3,0),；.启・就=(-2,0,2>(一

2,3,0)=4,

.•.而在就方向上的投影为春,

\AC\[13

...Oi到直线AC的距离

层级一学业水平达标

1.平面a的一个法向量为”=(-2,-2,1),点A(—1,3,0)在平面a内，那么点P(—2,1,4)

到平面a的距离为()

A.10B.3

解析：选D点尸到平面a的距离

•川2—4-4|10

-1«1-「4+4+1.3・

2.正四棱柱A8CD-AI8ICQ中，A4=24B,那么CD与平面8DG所成角的正弦值

等于(

A.j

3

D3

解析：选A建立如下图的空间直角坐标系，设AAi=2A3=2,那

么5(1,1,0),C(0,l,0),0(0,0,0),Ci(0,l,2),故加=(1,1,0),招=(0,1,2),万才=(0,1,0),设

n*DB=0,x+j=0,

C+2=o,令z=i，那么了

平面80G的法向量为n=(x,y,z),那么,即，Z

“£>G=0,

=-2,x=2,所以平面笈。G的一个法向量为〃=(2,-2,1).设直线CZ)与平面5DG所

成的角为，，那么sin〃=|cos〈”，DC>|="㈤应选A.

3.在长方体ABC。-AiBiCiOi中，AB=2,BC=2,DDi=3,那么AC与5"所成角

的余弦值为()

3^70

A.0B,70

_3^70D.曙

。70

解析：选A建立如图坐标系，那么0i(0,0,3),5(2,2,0),4(2,0,0),

A

C(0,2,0),：.BD1=(-2,-2,3),

BDA

=(-2,2,0).：.cos(BDx,~AC>=^-=Q..\(BDX,~AC)

\BDA\AC\>B

=90°,其余弦值为0.

4.正方体ABCDAiBiCiDi中，E,F分别是AG,AB的中点，那么AiBi与截面

AiEC尸所成的角的正切值为()

A.^2B.小

C.y[5D.#

解析：选A设棱长为2,建立以小为原点，AiBi,Ai。，AiA

为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，那么平面AiECF的一个法

向量为"=(一2,1,1),AiBi的方向向量为(2,0,0),设AiBi与截面

普，

AiECF的夹面为0,那么sin〃=|cos〈"，而〉|=

cos0=3,tan〃=也.

5.正方形A5C。所在平面外有一点P,R1_L平面A5CD假设那么平面

与平面PCD所成的二面角的大小为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：选B建系如图，设A3=l,

那么A(0,0,0),8(030),

尸(0,0,1),0(1,0,0),C(l,l,0).

平面的法向量为“1=(1,0,0).

设平面PC。的法向量〃2=(x,y,z),

InrPD=0,[x—z=0,

那么彳得

•而=o,

令x=i,那么z=i.・・・〃2=a,o,i),

cos</h,〃2〉=古=坐

平面PAB与平面尸CD所成的二面角的余弦值为为、历

...此角的大小为45°.

6.在正方体ABCO-AiBiCiOi中，M,N分别是棱44|和B81的中点，那么sin(CM,

D^N)=.

解析：建立如下图空间直角坐标系，设正方体棱长为2.

那么C(0,2,0),41(2,0,1),

d(0,0,2),N(2,2,l).

：.'CM=[2,-2,1),

布=(2,2,-1).

.—►—>、4-4-1

cos<CM,D\N>==—

Asin(CM,=呼.

4馅

答案：9

7.如图，正三棱柱ABC-AiBG的各条棱长都相等，M是侧棱CG的中

点，那么异面直线A51和8M所成角的大小是.

解析：建立如下图的空间直角坐标系，。为8c中点，设三棱柱的棱长

为2%那么点4(V5a,0,0),B(0,iz,0),Bi(0,a,2a),Af(O,—a,a),AB\=

(一事a,a,2a),BM=(0,~2a,a),所以温•瑞=0,因此异面直线4为

与5M所成的角为90°.

答案：90°

8.如图，正方体ABCO-AiSG"的棱长为1,O是平面AiBiGd

的中心，那么30与平面4BG5所成角的正弦值为.

解析：建立空间直角坐标系如图，那么5(1,1,0),00,1),

而=(1,0,1)是平面ABCiDi的一个法向量.

又苏=&2-t），

80与平面ABC\Dx所成角的正弦值为

1

2^3

——>——>=6*

\OB\\OB\*也

答案：¥

A

9.如下图，在四周体ABC。中，O为BD的中点，CA=CB=CD=ZK

BD=2,AB=AD=yj2.B小三屋》

(1)求证：40_L平面BCD：

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

解：(1)证明：由于80=00,AB=AD,

所以A0J_3D

由于BC=CD,

所以C01.BD.

在△A0C中，由可得A0=LCO=yl3,而AC=2,

所以4O2+CO2=4。，

所以NAOC=90。，即AO_LOC.

由于5〃nOC=。，所以A0JL平面BCD

(2)以0为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，那么3(1,0,0),

。(-1,0,0),C(0,小，0),40,0,1),京=(-1,0,1),CD=(-1,一切,

0),所以cos(BA,~CD>=竺"邛所以异面直线A8与c。

\BA\\CD\

所成角的余弦值为学.

10.如图，四棱锥P-A5CZ）中，ABCD,AB//CD,AD

=CD=1,ZBAD=120°,ZACB=90°.

⑴求证：5C_L平面B4C；

（2）假设二面角D-PC-A的余弦值为李，求点A到平面PBC的距离.

解：（1）证明：,.,如_1底面48。），8CU平面A8C。，

：.PA±BC,

'：ZACB=90°,：.BC±AC,又/MCAC=A,

:.BC1•平面PAC.

(2)设4尸=力，取C£)的中点E,那么AE_LCQ,：.AE±AB.)LPA产

JL底面ABCD,：.PA±AE,PA1.AB,故建立如下图的空间直角坐标笊、

系，那么4(0,0,0),P(0,0,h),C停，0),O停，0),8(0,2,0),/於「坊下

D^EC

出=停2'-")，虎=(。，1‘。),

设平面PDC的法向量"i=(xi,ji,zi),

f/ii,PC=0,^xi+lyi—ftzi=0,

那么'即J22)

♦万？=0,ji=0,

解得h=小,

同理可求得平面P3C的一个法向量“2=（3,小，2）,

所以，点A到平面PBC的距离为

,\AP-m\2y[3^3

d=

\n2\=4=2•

层级二应试力量达标

1.在长方体ABCO-AiBiGOi中，BC和GO与底面所成角分别为60。和45。，那么异

面直线BiC和GO所成角的余弦值为（）

解析：选A建立如图的空间直角坐标系，可知NCBiG=60。，Z

0Goi=45。，设51G=1,CCi=y[i=DDi.

.,.CiDi=V3,那么有Bi（V3,0,0）,C点,1,b），Ci（小，1,0）,

0（0,1,同

.,.求=（0,1,小），血=（一小，0,小）.

〈懿G。一〉8CGO__3__亚

..COS—>—>2、帚4.

151cliCxD\RO

2.如下图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且B4_L平面

ABCD,PA=AD=AC,点产为PC的中点，那么二面角<>8尺。的正切

值为（）

2小

•3

解析：选D如下图，设AC与BO交于O,连接OF.以。为坐标原

点，OB,OC,O尸所在直线分别为*,j,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

设么=AO=AC=1,那么80=小，

所以0（0,0,0）,5曾，0,0）,尸（0,0,£）,c（o,o）,~oc=

（）,0）,易知虎为平面BDF的一个法向量由就=（-乎,1,o）,W=

一杯，可得平面BCF的一个法向量为“=（1,巾，巾）.所以cos〈"，~OC

sin〈〃，OC所以tan〈〃，OC=斗士

3.在三棱锥P-A8C中，ABLBC,AB=BC=^PA,点。，O分别是4C,PC的中点,

OPJ■底面A8C,那么直线0。与平面P3C所成角的正弦值为（）

A岑B.平

OJ

国画

°・601,30

解析:选D不妨设AB=3C=；24=2,：QPJL底面ABC,；.尸0=标.

依据题意，以8为原点，BA,8c所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐

标系〃■孙Z,如下图.

x

那么4(2,0,0),5(0,0,0),C(0,2,0),屈).

:点O,O分别是AC,PC的中点，

：.~OD=^AP=[-\,空),

又万？=(0,2,0),V14).

设平面尸5c的法向量为"=(x,y,z),

n-^BC=0,，=o,

那么',即，

["•W=o,.x+y+dI5z=0,

取〃=(一VH,0,1),

cos〈〃，OD)="，sin。="系为。。与平面尸5c所成的角),

\n\\OD\3

应选D.

4.如下图，在正四棱柱ABCDAIiGOi中，AAi=2,AB=BC=1,动点

P,Q分别在线段G。，AC上，那么线段PQ长度的最小值是()

C.1

解析：选C建立如下图的空间直角坐标系，那么4(1,0,0),3(1,1,0),

C(0,l,0),G(0,l,2).设点P的坐标为(0,C22),点Q的坐标为(1

—ft,，，0),蚱[0,1],

IQ=yJ(1—“尸+Q,T)2+4P

=：2〃2+5#一一24+1

=#6%)蹊管+%

当且仅当"=/时，

2

线段网的长度取得最小值，为？

5.正方体ABCD-AIiGOi中，BBt与平面ACDt所成角的余弦值为

解析：不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系，那么

。(0,0,0),5(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量为居=(1,1,1),又前

=(0,0,1),cos〈DBi,BB\>=:：="、*,尸弋.；,BBi与平面

\DBt\\BBi\73X1

ACD\所成角的余弦值为

答案.亚

口-3

ABC与正三角形BCD所在的平面相互垂直，那么直线CD与平面

ABD所成角的正弦值为.

解析：取8c的中点0,连接A。，DO,建立如下图的空间直角坐标

系0-xyz.设8c=1,那么4(o,0,多

n-BA=0,

设平面A3。的法向量为〃=(x,y,z),那么j取

=0,

x=l,那么y=一小，z=l,所以zz=(l,一小,1),所以cos〈凡CD

因此直线CO与平面A3。所成角的正弦值为华.

答案：平

7.(2017•江苏高考)如图，在平行六面体A5C£>-43iG0