小学六年级数学工程问题

小学六年级数学工程问题一、工程问题基础概念

（一）工程问题的定义工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。在日常生活中，做某一件事、制造某种产品、完成某项任务、完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作效率×工作时间=工作总量。

（二）工程问题的关键量1.工作总量工作总量通常用"1"来表示，它可以是一项工程、一段路程、一批零件等。把工作总量看作"1"，是工程问题的一个重要特点，这样可以方便地表示出工作效率和工作时间之间的关系。例如，一项工程，甲单独做需要5天完成，这里的工作总量就是"1"，甲每天完成的工作量就是工作效率，5天就是工作时间。2.工作效率工作效率是指单位时间内完成的工作量。它可以用"每天完成几分之几""每小时完成几分之几"等来表示。工作效率的计算方法是：工作效率=工作总量÷工作时间。例如，一项工程甲单独做10天完成，那么甲的工作效率就是1÷10=1/10，表示甲每天完成这项工程的1/10。3.工作时间工作时间是指完成工作总量所需要的时间。工作时间的计算方法是：工作时间=工作总量÷工作效率。例如，一项工程乙的工作效率是1/15，那么乙完成这项工程需要的时间就是1÷(1/15)=15天，表示乙完成这项工程需要15天。

二、简单工程问题求解

（一）已知工作总量和工作时间求工作效率1.例题一项工程，甲队10天完成，求甲队的工作效率。2.解析根据工作效率=工作总量÷工作时间，这里工作总量是"1"，工作时间是10天，所以甲队的工作效率是1÷10=1/10。

（二）已知工作总量和工作效率求工作时间1.例题一项工程，乙队的工作效率是1/12，乙队完成这项工程需要多少天？2.解析根据工作时间=工作总量÷工作效率，工作总量是"1"，工作效率是1/12，所以乙队完成这项工程需要的时间是1÷(1/12)=12天。

（三）已知工作效率和工作时间求工作总量1.例题甲队每天完成一项工程的1/8，做了5天，完成了这项工程的几分之几？2.解析根据工作总量=工作效率×工作时间，工作效率是1/8，工作时间是5天，所以完成的工作总量是1/8×5=5/8。

三、工程问题中的合作问题

（一）合作问题的基本思路1.当多人合作完成一项工程时，我们可以把他们的工作效率相加，得到合作的工作效率。然后根据工作总量、合作工作效率和工作时间的关系来求解问题。2.合作工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率+......（多人合作时依次相加）

（二）合作问题的例题及解析1.例题一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，几天可以完成这项工程？2.解析首先，求出甲队的工作效率为1÷10=1/10，乙队的工作效率为1÷15=1/15。然后，计算两队合作的工作效率，即1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6。最后，根据工作时间=工作总量÷工作效率，工作总量是"1"，合作工作效率是1/6，所以两队合作完成这项工程需要的时间是1÷(1/6)=6天。

（三）合作问题的拓展1.例题一项工程，甲、乙两队合作需要8天完成。甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要多少天完成？2.解析先求出甲、乙两队合作的工作效率为1÷8=1/8，甲队的工作效率为1÷12=1/12。那么乙队的工作效率=合作工作效率甲队工作效率，即1/81/12=3/242/24=1/24。所以乙队单独完成这项工程需要的时间是1÷(1/24)=24天。

四、工程问题中的轮流工作问题

（一）轮流工作问题的特点1.轮流工作是指多人按照一定的顺序依次进行工作，完成一项工程。2.这种问题的关键在于确定一个循环周期内完成的工作量以及完成整个工程需要多少个这样的循环周期。

（二）轮流工作问题的例题及解析1.例题一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。如果按照甲、乙、甲、乙......的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工程需要多少小时？2.解析甲每小时完成工程的1÷6=1/6，乙每小时完成工程的1÷10=1/10。甲乙各做1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量是1/6+1/10=5/30+3/30=8/30=4/15。1÷(4/15)=3......1/5，即3个完整周期后还剩下1/5的工作量。接下来甲再做1小时完成1/6，1/51/6=6/305/30=1/30，剩下的1/30由乙完成，需要1/30÷(1/10)=1/3小时。所以总共需要的时间是3×2+1+1/3=7又1/3小时。

五、工程问题中的注水与排水问题

（一）注水与排水问题的概念1.注水问题是指向一个容器中注水，计算注满容器所需时间或在一定时间内注水量等问题。2.排水问题是指从一个容器中排水，计算排空容器所需时间或在一定时间内排水量等问题。3.这类问题的关键是要明确注水速度或排水速度，以及容器的容积（相当于工作总量）。

（二）注水与排水问题的例题及解析1.例题一个水池有一个进水管和一个出水管。单开进水管6小时可以将空池注满，单开出水管8小时可以将满池水放完。如果两管同时打开，多长时间可以将空池注满？2.解析进水管的注水速度是1÷6=1/6，出水管的排水速度是1÷8=1/8。两管同时打开时，实际的注水速度是1/61/8=4/243/24=1/24。所以注满空池需要的时间是1÷(1/24)=24小时。

（三）注水与排水问题的拓展1.例题一个水池，装有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲管4小时可以将空池注满，单开乙管5小时可以将空池注满，单开丙管3小时可以将满池水放完。三管齐开，几小时可以将空池注满？2.解析甲管的注水速度是1÷4=1/4，乙管的注水速度是1÷5=1/5，丙管的排水速度是1÷3=1/3。三管齐开时，实际的注水速度是1/4+1/51/3=15/60+12/6020/60=7/60。所以注满空池需要的时间是1÷(7/60)=60/7=8又4/7小时。

六、工程问题的解题技巧总结

（一）巧用单位"1"1.把工作总量看作单位"1"，是解决工程问题的关键。通过将工作总量设为"1"，可以方便地表示出工作效率，进而根据题目中的条件求解工作时间或其他相关量。2.在解决复杂的工程问题时，要始终抓住单位"1"这个核心，分析各个工作效率与工作总量之间的关系。

（二）借助线段图分析1.对于一些较复杂的工程问题，画出线段图可以帮助我们更直观地理解题目中的数量关系。2.例如在合作问题或轮流工作问题中，通过线段图可以清晰地看出每个阶段完成的工作量以及各部分之间的关系，从而找到解题的思路。

（三）列表法梳理信息1.当题目中涉及多个工作主体和多个工作阶段时，采用列表法可以将各种信息清晰地罗列出来。2.这样有助于我们整理思路，准确地找到各个量之间的联系，避免遗漏重要信息，从而更高效地解决问题。

（四）灵活运用公式1.牢记工作总量、工作效率和工作时间之间的基本公式：工作效率×工作时间=工作总量，工作总量÷工作效率=工作时间，工作总量÷工作时间=工作效率。2.在解题过程中，根据题目所给条件，灵活运用这些公式进行变形和推导，以求出所需的量。

（五）注意工作效率的转化1.有些工程问题中，工作效率可能不是直接给出的，需要我们通过一些条件进行转化。2.比如，已知甲完成工作的时间是乙的几倍，或者甲、乙完成工作时间的比例关系等，我们可以通过设未知数的方法，将工作效率表示出来，再进行后续的计算。

七、工程问题的练习与巩固

（一）基础练习题1.一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成。两队合作，几天可以完成这项工程的3/4？2.一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。两队合作3天后，剩下的工程由甲队单独做，还需要多少天完成？3.一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管10小时可以将空池注满，单开乙管15小时可以将空池注满。两管同时打开，几小时可以注满水池的2/3？

（二）提高练习题1.一项工程，甲、乙两队合作6天可以完成。现在甲队做2天，乙队做5天，完成了这项工程的8/15。如果这项工程由甲队单独做，需要多少天完成？2.一项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成。开始时两人合作，中间甲休息了3天，乙也休息了几天，所以从开始到结束共用16天才完成任务。问乙中间休息了几天？3.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？

（三）拓展练习题1.一件工作，甲、乙合作需4小时完成，乙、丙合作需5小时完成。现在先由甲、丙合作2小时后，余下的乙还需6小时完成。乙单独做这件工作需几小时完成？2.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，期间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多