2.1两条直线的位置关系（12大题型提分练）七年级数学下册同步课堂（北师大版2024）

PAGE1（北师大版）七年级下册数学《第2章相交线与平行线》2.1两条直线的位置关系知识点知识点一相交线和平行线★1、相交线的定义（1）若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类.★2、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．知识点知识点二余角和补角★1、余角和补角的概念名称概念数学语言图示互为余角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.互为补角如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.若∠3+∠4=180°，则∠3与∠4互补，∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.【注意】（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。★2、余角和补角的性质◆1、同角（等角）的余角相等.几何语言：（1）如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3；（同角的余角相等）（2）如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的余角相等）◆2、同角（等角）的补角相等.几何语言：（1）如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3；（同角的补角相等）如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的补角相等）.知识点知识点三邻补角和对顶角概念和性质★1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图中∠1和∠2，∠1和∠3都互为邻补角.★2、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况.如上图：∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°.【注意】（1）邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻补角.（2）（3）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.★3、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1与∠3互为对顶角，∠2与∠4互为对顶角.【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个.★4、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线AB与CD相交于O点，所以∠1=∠3，∠2=∠4.【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角.知识点知识点四垂线的概念、画法及其性质★1、垂线的概念：垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.★2、垂直的表示方法：如图，①若AB⊥CD，则∠BOC=∠AOC=∠AOD=∠BOD=90°；②若∠BOC=90°，则AB⊥CD.★3、垂线的画法一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．★4、垂线的性质【注意】知识点知识点五垂线段与点到直线的距离★1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．★2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．★3、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．如图，线段AD的长度是点A到直线l的距离.题型一两条直线的位置关系解题技巧提炼在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)1．（2024春•招远市期末）同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（）A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答．【解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系．故选：B．【点评】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．2．（2024春•东阿县校级月考）在下列4个判断中：①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．故正确判断的个数是2．故选：C．【点评】本题考查了平行线和相交的定义．同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交或重合，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．3．（2023秋•海港区期末）“直线AB与射线CD相交于点O”，画图正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据直线、射线相交的定义判断即可．【解答】解：如图，直线AB与射线CD相交于点O，故选：B．【点评】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．4．（2023春•遵化市期中）任意画三条不重合的直线，交点的个数是（）A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能确定【分析】在平面上任意画三条直线，相交的情况有四种可能．①三直线平行；②三条直线相交于一点；③两直线平行被第三直线所截；④两直线相交，又被第三直线所截．故可得出答案．【解答】解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能：1、三直线平行，没有交点；2、三条直线相交于同一点，一个交点；3、两直线平行被第三直线所截，得到两个交点；4、两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，共三个交点．故选：C．【点评】本题考查直线的相交情况，要注意分情况讨论，要细心，查找时要不重不漏．5．（2023秋•峨眉山市校级期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有（）个交点．A．24 B．26 C．28 D．30【分析】根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有n(n−1)2【解答】解：∵3条直线两两相交，最多有3×(3−1)24条直线两两相交，最多有4×(4−1)25条直线两两相交，最多有5×(5−1)2∴n条直线两两相交，最多有n(n−1)2∴8条直线两两相交，最多有8×(8−1)2故选：C．【点评】本题考查了规律型—数字的变化类．题型二余角的定义及其性质运用解题技巧提炼1、余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．2、余角的性质：同角（等角）的余角相等．1．（2024•惠城区二模）已知∠1与∠2互余，∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．38° B．48° C．58° D．138°【分析】根据互为余角的定义得∠1+∠2＝90°，再根据∠1＝42°即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝42°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣42°＝48°．故选：B．【点评】此题主要考查了互为余角的定义，角的计算，理解互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．2．（）A．20° B．40° C．50° D．140°【分析】根据余角的概念进行解答即可．【解答】解：∵∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∴∠1＝∠3，∵∠1＝40°，∴∠3＝40°．故选：B．【点评】本题主要考查了余角的性质，解题关键是熟练掌握同角的余角相等．3．（2024•和平区模拟）将一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的余角度数是（）A．15° B．60° C．75° D．105°【分析】依题意得：∠2＝45°，∠3＝60°，由此可得∠4＝75°，再根据直尺的对边平行得∠1＝∠4＝75°，进而求出∠1的余角即可得出答案．【解答】解：如图所示：依题意得：∠2＝45°，∠3＝60°，∴∠2+∠3＝105°，∵∠4+∠2+∠3＝180°，∴∠4＝75°，根据直尺的对边平行得∠1＝∠4＝75°，∴∠1的余角为：90°﹣∠1＝90°﹣75°＝15°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，互为余角的定义，熟练掌握平行线的性质，理解邻补角的定义，互为余角的定义是解决问题的关键．4．（2024秋•栾城区期中）已知∠α＝60°32'，∠α与∠β互余，则∠β＝．【分析】利用余角的定义，度分秒的换算法则计算．【解答】解：∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣60°32′＝29°28′．故答案为：29°28′．【点评】本题考查了余角的定义和度分秒的换算，解题的关键是掌握余角的定义和度分秒的换算法则．5．（2023秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝．【分析】根据∠α与∠β互余，可得∠α+∠β＝90°，与∠α＝3∠β组成二元一次方程组即可求解．【解答】解：由题意得：∠α+∠β＝90°，∠α＝3∠β．解得：∠β＝22.5°．故答案为：22.5°．【点评】本题主要考查余角的定义、角的换算，熟练掌握余角的定义以及角的换算是解决本题的关键．6．（2024春•钢城区期末）如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOC＝120°，OD是∠AOC的平分线，且∠DOE＝90°．（1）求∠BOE的度数；（2）写出图中所有与∠AOD互余的角是．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOD=∠COD=12∠AOC=6（2）根据余角的定义即可解答；【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°，∴∠AOD=∠COD=1∵∠DOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝150°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝30°．（2）∵∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°，∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOD=∠COD=1∴∠COD+∠COE＝90°，∴与∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE，故答案为：∠COE和∠BOE．【点评】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．7．（2024秋•阳曲县期末）如图（甲），∠AOC和∠BOD都是直角．（1）如果∠DOC＝25°，∠AOB的度数为．（2）图（甲）中相等的角有．如果∠DOC≠25°，它们（填“相等”或“不等”）（3）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角．【分析】（1）利用余角的定义可求得∠AOD＝65°，从而可求解；（2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可；（3）利用等角的余角相等进行求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠DOC＝25°，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝65°，∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝155°，故答案为：155°；（2）∵∠AOC和∠BOD都是直角，∴∠AOD+∠DOC＝90°，∠BOC+∠DOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOC；如果∠DOC≠25°，它们仍相等；故答案为：∠AOD＝∠BOC，相等；（3）如图乙，以AB为边画∠AOB＝90°，再以OC为边画∠COD＝90°，由同角的余角相等得∠AOD＝∠BOC．题型三补角的定义及其性质运用解题技巧提炼1、补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．2、补角的性质：同角（等角）的补角相等．1．（2023秋•安新县期末）如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是（）A．∠3＝∠1 B．∠3＝90°+∠1 C．∠3＝90°﹣∠1 D．∠3＝180°﹣∠1【分析】根据∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，可得∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，通过求差，可得∠3与∠1的关系．【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∴∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°，变形为：∠3＝90°+∠1，故选：B．【点评】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．2．（2024秋•邢台期中）已知∠a＝35°30′12″，则它的补角为（）A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″【分析】根据补角及角度的运算可进行求解．【解答】解：由题意得：180°﹣35°30′12″＝144°29′48″，所以∠α的补角为144°29′48″，故选：A．【点评】本题主要考查余角和补角及度分秒的换算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键．3．（2024秋•肥西县期末）若∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④12（∠α﹣∠βA．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【分析】根据和为90°的两个角互为余角即可求解．【解答】解：∵∠α与∠β互补，∴∠α+∠β＝180°，∴∠β＝180°﹣∠α，∴∠β的余角为90°﹣∠β，则①符合题意；∵90°﹣∠β＝90°﹣（180°﹣∠α）＝90°﹣180°+∠α＝∠α﹣90°，则②符合题意；∵∠β＝180°﹣∠α，则③不符合题意；∵12（∠α﹣∠β）=12（180°﹣∠β∠β）=12（180°﹣2∠β∴符合题意的有：①②④，故选：B．【点评】本题主要考查了余角和补角以及角的概念，掌握角的概念以及余角和补角的定义是解题的关键．4．（2024秋•玄武区期末）如图，O是直线AB上的一点，OC是一条射线，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE，当∠COD与∠BOE互补时，则∠AOC＝°．【分析】OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE，∠COD与∠BOE互补，可以推出∠BOE＝3∠COD，从而可求∠COD．【解答】解：∵OD是∠AOC的角平分线，∴∠COD＝∠AOD，∵∠AOE+∠BOE＝180°，当∠COD与∠BOE互补时，∴∠AOE＝∠COD，∴∠COE＝3∠COD，∵∠COE＝∠BOE，∴∠BOE＝3∠COD，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴4∠COD＝180°，∴∠COD＝45°，∴∠AOC＝90°．故答案为：90．【点评】本题考查有关角的计算，关键是由条件推出∠BOE＝3∠COD．5．（2024春•闵行区期末）在平面上，∠AOB和∠AOC有公共的顶点O，且有一条边重合，如果∠AOB＝65°，∠AOC＝25°，那么，∠BOC的补角的度数是．【分析】分两种情况讨论：①∠AOC在∠AOB的内部，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC；②∠AOC在∠AOB的外部，∠BOC＝∠AOB+∠AOC．【解答】解：①当∠AOC在∠AOB的内部时，如图（1），∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∴∠BOC＝65°﹣25°＝40°，∴∠BOC的补角为180°﹣40°＝140°；②当∠AOC在∠AOB的外部时，如图（2），∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC，∴∠BOC＝65°+25°＝90°，∴∠BOC的补角为180°﹣90°＝90°．故答案为：140°或90°．【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：分两种情况讨论：①∠AOC在∠AOB的内部，∠COB的度数＝∠AOB﹣∠AOC，②∠AOC在∠AOB的外部，∠COB的度数＝∠AOB+∠AOC．6．补．（1）求∠BOC的度数；（2）点M为∠AOB内一点，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可求解∠AOC＝60°，结合补角的定义可得2∠BOC+∠AOC＝180°，计算可求解∠BOC的度数；（2）由∠BOC＝3∠COM可求解∠COM的度数，再分两种情况：当点M在∠BOC内部时，当点M在∠BOC内外部时，分别计算可求解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝60°，∵∠AOB与∠BOC互补，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴2∠BOC+∠AOC＝180°，即2∠BOC+60°＝180°，解得∠BOC＝60°；（2）∵∠BOC＝3∠COM，∠BOC＝60°，∴∠COM＝20°，当点M在∠BOC内部时，∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣20°＝40°；当点M在∠BOC内外部时，∠BOM＝∠BOC+∠COM＝60°+20°＝80°．综上，∠BOM的度数为40°或80°．【点评】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，角的计算，求解∠AOC的度数是解题的关键．7．（2024秋•望花区期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOB＝80°，请分别求出∠BOC与∠AOD的度数；（2）如图2，若∠AOB＝140°，请直接写出∠AOD的度数．【分析】（1）由补角的定义解得∠BOC＝100°，再根据角平分线的定义解出∠BOD＝50°，最后由∠AOD＝∠AOB+∠BOD解答；（2）分两种情况讨论，当点C在∠AOB的内部或外部分别画出相应图形，再由补角的定义解得∠BOC的度数，结合角平分线性质解出∠BOD的度数，最后根据角的和差解答．【解答】解：（1）∠BOC互为补角，所以∠AOB+∠BOC＝180°，因为∠AOB＝80°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣80°＝100°，因为OD平分∠BOC，所以∠BOD=1所以∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+50°＝130°．（2）分两种情况讨论，如图1，因为∠AOB与∠BOC互为补角，所以∠AOB+∠BOC＝180°，因为∠AOB＝140°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°，因为OD平分∠BOC，所以∠BOD=1所以∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝140°+20°＝160°．如图2，因为∠AOB与∠BOC互为补角，所以∠AOB+∠BOC＝180°，因为∠AOB＝140°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°，因为OD平分∠BOC，所以∠BOD=1所以∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°﹣20°＝120°，综上所述，∠AOD的度数为120°或160°．【点评】本题考查角度的和差，涉及角平分线的性质、分类讨论等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．题型四余角与补角的计算问题解题技巧提炼综合运用余角与补角的性质来解决角度的计算问题.1．（2023秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的25A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．由题意得，90°﹣α=25（180°﹣解得：α＝30°．故这个角的度数为30°．故选：A．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余和补角的定义．2．（2024春•莘县期末）已知∠A与∠B互为余角，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（）A．45° B．90° C．135° D．180°【分析】根据余角补角定义可得∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，于是得到结论．【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，∴∠C﹣∠A＝90°，即∠C比∠A大90°，故选：B．【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．3．（2024秋•市南区校级期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是．【分析】设这个角的度数为α，则它的余角度数为（90°﹣α），然后根据已知条件列出方程4α＝90°﹣α，由此解出α即可．【解答】解：设这个角的度数为α，则它的余角度数为（90°﹣α），∴依题意得：4α＝90°﹣α，解得：α＝18°，∴这个角的度数为18°，故答案为：18°．【点评】此题主要考查了互为余角的定义，理解互为余角的定义是解决问题的关键．4．（2024秋•汝南县期末）如果一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角的度数为．【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．【解答】解：设这个角为x，由题意得，180°﹣x﹣24°＝3（90°﹣x），解得x＝57°．故答案为：57°．【点评】本题主要考查余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．5．（2024秋•老河口市期末）已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数．【分析】根据余角、补角的定义即可解答．【解答】解：设这个锐角等于x°．根据题意，得180﹣x＝3（90﹣x）+30．解得x＝60．答：这个锐角的度数是60°．【点评】本题考查余角、补角，掌握余角、补角的定义是解题的关键．6．（2023秋•甘肃期末）如图，O为直线DA上一点，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°．（1）∠AOF的余角是；（2）∠DOB的补角是；（3）若∠EOF＝20°，求∠AOF的度数．【分析】（1）根据平角定义可得∠AOF+∠BOD＝90°，再根据余角定义可得答案；（2）根据如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角可得答案；（3）首先计算出∠BOE的度数，进而可得∠AOE的度数，再根据角的和差关系可得答案．【解答】解：（1）∵∠BOF＝90°，∴∠AOF+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOF的余角是∠BOD，故答案为：∠BOD；（2）∠DOB的补角是∠AOB，故答案为：∠AOB；（3）∵∠EOF＝20°，∠FOB＝90°，∴∠BOE＝70°，∵OE是∠AOB的平分线，∴∠AOE＝∠BOE＝70°，∵∠EOF＝20°，∴∠AOF＝50°．【点评】此题主要考查了余角和补角，以及角的计算，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．7．（2023秋•和平区校级期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．（1）图中与∠COB互余的角是，图中与∠COB互补的角是．（2）求∠COE的度数．【分析】（1）利用余角的定义与补角的定义进行判断即可；（2）由（1）可知∠COB＝∠BOD＝45°，再结合条件可求得∠BOE的度数，从而可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝90°，∠BOD+∠COB＝90°，∴∠COB的余角为：∠AOC，∠BOD；∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝45°，∴∠BOD＝45°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝135°，∴∠AOD+∠COB＝180°，即与∠COB互补的角是∠AOD；故答案为：∠AOC和∠BOD，∠AOD；（2）由（1）得：∠COB＝∠BOD＝45°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝30°，∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝75°．【点评】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．题型五邻补角的识别和性质解题技巧提炼1、邻补角的识别方法：互为邻补角的两个角必须满足以下条件：①有一条公共边；②另一条边互为反向延长线.二者缺一不可.2、邻补角的性质：邻补角互补.1．邻补角是（）A.和为180°的两个角；B.有公共顶点且互补的两个角；C.有一条公共边且相等的两个角；D.有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角.【分析】根据邻补角的概念进行解答；【解答】解:只有一条公共边，它们的另一边互为延长线，具有这种的关系的两个角，互为邻补角，故选：B.【点评】此题主要考查了邻补角的定义，正确记忆邻补角定义中的重要条件是关键．2．（2024春•滦南县校级期末）下列四个图中，∠α与∠β互为邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，作出判断即可．【解答】解：根据邻补角的定义可知：只有选项C中的是邻补角，故选：C．【点评】本题考查了邻补角的定义，正确掌握邻补角的定义是解题的关键．3．（2024秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（）A．4对 B．5对 C．6对 D．8对【分析】根据邻补角的概念判断即可．【解答】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对，故选：D．【点评】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．4．（2024春•东洲区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】根据邻补角互补可得∠2＝135°．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2与∠1是邻补角，∴∠2＝180°﹣45°＝135°．故选：D．【点评】此题考查了邻补角，解题的关键是掌握邻补角互补，即和为180°．5．（2024秋•肇庆期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，则∠BOE等于（）A．65° B．60° C．50° D．45°【分析】根据邻补角求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠BOE的度数．【解答】解：∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∠BOE＝130°÷2＝65°，故选：A．【点评】本题考查了邻补角和角平分线，解题的关键是根据互为补角的两个角和为180度，先求出∠BOC的度数．6．（2024秋•道里区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC：∠AOD＝1：3，则∠BOD的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】利用邻补角的性质结合∠AOC：∠AOD＝1：3，求出∠AOC，再利用对顶角相等即可求解．【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，∴∠AOC+∠AOD＝180°，∵∠AOC：∠AOD＝1：3，∴∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+3∠AOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∴∠BOD＝45°，故选：A．【点评】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键．题型六对顶角的识别和性质解题技巧提炼1、对顶角的识别方法：两个角互为对顶角必须满足两个条件：①两个角有一个公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.二者缺一不可.2、对顶角的性质：对顶角相等.1．（2024秋•九台区期末）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．故选：B．【点评】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．2．（2024秋•长春期末）下列语句中，正确的是（）A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为180°的两个角一定为邻补角【分析】根据对顶角、邻补角的定义及性质逐项判断即可．【解答】解：A、相等的角不一定为对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；B、不是对顶角的角有可能相等，原说法错误，故此选项不符合题意；C、不相等的角一定不是对顶角，正确，故此选项符合题意；D、有公共顶点且和为180°的两个角不一定为邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握这两个概念是解题的关键．3．（2024秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（）A．∠AOC和∠BOE是对顶角 B．∠COE和∠AOD是对顶角 C．∠BOC和∠AOD是对顶角 D．∠AOE和∠DOE是对顶角【分析】根据对顶角的定义可解此题．【解答】解：∵OE⊥AB于点O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，故选：C．【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．4．（2024秋•婺城区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOC增大40°，则∠BOD（）A．减少40° B．增大40° C．不变 D．增大0°【分析】根据对顶角的定义和性质求解即可．【解答】解：由图得，∠AOC＝∠BOD，∴若∠AOC增大40°，则∠BOD增大40°．故选：B．【点评】本题考查了对顶角的定义和性质，掌握对顶角的定义和性质是解题的关键．5．（2023秋•宿城区期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（）A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故选：B．【点评】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质．6．（2023秋•青山湖区校级期末）如图，图中的对顶角共有（）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【分析】利用对顶角定义可得答案．【解答】解：图中的对顶角共有4对，有∠FHG和∠BHC，∠FHB和∠GHC，∠HCB和∠ECD，∠BCE和∠DCH，故选：A．【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．题型七有关邻补角、对顶角的综合应用解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.1．（2024秋•洛阳期末）如图，直线AE与CD相交于点B，∠ABC＝60°，∠FBE＝95°，则∠CBF的度数是（）A．35° B．85° C．145° D．155°【分析】根据邻补角的定义求出∠ABF即可．【解答】解：∵∠FBE+∠ABF＝180°，∠FBE＝95°，∴∠ABF＝180°﹣95°＝85°，∴∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝60°+85°＝145°，故选：C．【点评】本题考查邻补角、对顶角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提．（2024秋•呈贡区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中∠AOD的补角有（）A．4个 B．2个 C．3个 D．1个【分析】根据对顶角、互为余角、互为补角的定义以及等量代换进行解答即可．【解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，又∵∠AOD+∠AOC＝180°，∴∠AOD+∠AOC＝∠AOD+∠BOD＝∠AOD+∠EOF＝180°，即图中∠AOD的补角有3个，故选：C．【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角以及互为余角、互为补角的定义是正确解答的关键．3．（2024秋•肇源县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90°，则∠AOD＝．【分析】先根据∠DOE＝3∠COE，和平角等于180°，可求出∠DOE，根据∠EOB＝90°，故可得出∠DOB，再根据平角关系，即可得出∠AOD的度数．【解答】解：∵∠DOE＝3∠COE，∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝135°，∵OE⊥AB，∴∠BOD＝45°，∵∠AOB＝180°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝135°．故答案为：135°．【点评】本题考查了邻补角、对顶角等知识点，能灵活运用邻补角互补和对顶角相等进行求解是解此题的关键．4．（2024春•禹城市校级月考）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．【分析】先由对顶角相等得到∠COD＝∠MON＝70°，设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，∠BOD＝3x﹣70°，再由∠AOD＝2∠BOD得到x+70°＝2（3x﹣70°），解方程求出BOC＝126°，则∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°．【解答】解：∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，∴∠BOD＝3x﹣70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70°＝2（3x﹣70°），解得x＝42°，∴BOC＝126°，∴∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°．【点评】此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补．5．（2024春•上思县月考）如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线．（1）写出∠AOC的对顶角．（2）写出∠AOE的邻补角．（3）若∠AOC＝38°，∠DOE＝108°，求∠BOE和∠COE的度数．【分析】（1）根据对顶角的定义，图形结合即可求解；（2）根据邻补角的定义，图形结合即可求解；（3）根据题意可得∠AOC＝∠BOD＝38°，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，由此可求出∠BOE的度数，根据邻补角可求出∠AOE的度数，再根据∠COE＝∠AOC+∠AOE即可求解．【解答】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD．（2）∠AOE的邻补角∠BOE．（3）∵∠AOC＝∠BOD＝38°，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，且∠DOE＝108°，∴∠BOE＝38°+108＝146°，∵∠BOE+∠AOE＝180°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣146°＝34°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE＝38°+34°＝72°．【点评】本题主要考查对顶角、邻补角的定义，理解定义，图形结合是解题的关键．6．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠BOE＝54°，求∠AOC的度数；（2）若∠BOE：∠BOC＝2：5，求∠AOE的度数．【分析】（1）先根据余角的定义求得∠BOD的度数，再根据对顶角的性质可求∠AOC的度数；（2）设∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，表示出∠BOC的度数进而求得x，求出∠BOE的度数，利用邻补角的性质求得∠AOE的度数．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，∵∠BOE＝54°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（2）设∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，则∠COE＝3x，∵∠COE＝90°，∴3x＝90°，解得x＝30°，∴∠BOE＝2×30°＝60°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．【点评】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．7．如图，直线AB，CD相交于点O，ON把∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3．∠BOC＝75°．（1）求∠AON的度数．（2）若OM平分∠BON，那么OB是∠COM的平分线吗？试说明理由．【分析】（1）设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根据角的倍数关系可得答案；（2）先计算∠BOM的度数，判断∠BOM、∠BOC是否相等，即可说明理由．【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，∴∠AOD＝5x，∵∠BOC＝75°，∴∠AOD＝5x＝75°，∴x＝15°，∴∠AON＝30°；（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：∵∠AON＝30°，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，∵OM平分∠BON，∴∠BOM＝75°，∴∠BOM＝∠BOC，∴OB是∠COM的角平分线．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．题型八垂直的定义解题技巧提炼垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.1．（2024春•景县月考）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（）A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．【解答】解：①∠AOD＝90°，可以得出AB⊥CD；②∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，可以得出AB⊥CD；③∠AOC＝∠BOD，不能得到AB⊥CD；故能说明AB⊥CD的有①②．故选：B．【点评】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．2．（2024秋•城关区期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝68°，则∠EOB的大小为（）A．32° B．58° C．45° D．22°【分析】根据OE⊥OC得到∠COE＝90°，再由平角∠AOB＝180°即可求解．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∠AOC＝68°，∴∠EOB＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故选：D．【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义是正确解答的关键．3．A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′【分析】证明∠AOE＝∠COF即可解决问题．【解答】解：∵OC⊥AB，OE⊥OF，∴∠AOE+∠COE＝90°，∠COF+∠COE＝90°，∴∠COF＝∠AOE＝45.2°＝45°12′，故选：A．【点评】本题考查同角或等角的余角相等，角度单位的换算，掌握余角的性质定理是解题的关键．4．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（）①两直线相交所成的四个直角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据垂线的定义，可得答案．【解答】解：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两条直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等.故选：D．【点评】本题主要考查了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角，熟练掌握了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角的定义进行求解是解决本题的关键．5．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，从点A出发的四条射线AB，AC，AD，AE满足AB⊥AC，AD⊥AE，则下列结论一定正确的是（）A．∠CAE＝∠BAD＝45° B．∠CAD+∠EAB＝180° C．∠CAD﹣∠EAB＝90° D．∠CAE+∠BAD＝90°【分析】根据互为余角、互为补角的定义逐项进行判断即可．【解答】解：如图，延长DA到F，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠CAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，同理∠CAF＝∠BAE，∵∠CAD+∠CAF＝180°，∴∠CAD+∠BAE＝180°，故选：B．【点评】本题考查互为余角、互为补角，理解互为余角、互为补角的定义是正确解答的关键．6．（2024春•礼泉县期中）如图，是一副三角板的摆放图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是°．【分析】根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用等式的性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD，∴∠DOB＝∠AOC＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．题型九垂线的画法及性质解题技巧提炼1、垂线的画法：用三角尺画（1）落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合.（2）移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.（3）画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.2、垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.1．（2023春•裕华区期中）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【分析】根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：B．【点评】本题考查了垂线的性质，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．2．（2024春•南沙区期末）过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是（）A． B． C． D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【解答】解：A选项，没有过点P，过该选项不符合题意；B选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；C选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；D选项，PA没有垂直于AB，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了垂线的画法，同学们应熟练掌握垂线画法，此知识考查较多．3．（2024春•大同期末）过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据垂线的性质，直角三角形的性质即可求解．【解答】解：过直线外一点向直线作垂线，则过点Q的垂线垂直于直线m，交点处所成角度为90°，∴运用直角尺操作正确的是D选项．故选：D．【点评】本题主要考查尺规作垂直，掌握尺规作垂直的方法是关键．4．（2024春•南城县校级月考）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【分析】在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此即可得到答案．【解答】解：∵在同一平面时，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，∴过点P画直线l的垂线，画1条．故选：A．【点评】本题主要考查垂线，掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．5．（2024春•屏南县期中）过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的画法是（）A． B． C． D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【解答】解：A选项，没有垂直，故该选项不符合题意；B选项，没有过点P，故该选项不符合题意；C选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；D选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．6．（2024春•朝阳区期末）如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（）A．线段AB上 B．线段AB的延长线上 C．线段AB的反向延长线上 D．直线AB外【分析】过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．【解答】解：如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．故选：B．【点评】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的作法是关键．题型十有关垂线的综合应用解题技巧提炼结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.1．（2024秋•朝阳区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝（）A．130° B．150° C．120° D．140°【分析】根据邻补角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．【解答】解：∵∠COE为直角，∠AOE＝60°，∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣30°＝150°．故选：B．【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是正确解答的关键．2．（2023春•抚宁区期末）已知，∠AOB＝25°，OC⊥OA，OD⊥OB，则∠COD等于（）A．25° B．115° C．155° D．25°或155°【分析】分类讨论：如图1、2所示．根据图中相关角与角间的和差关系进行求解即可．【解答】解：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝90°，∠BOD＝90°．如图1，∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，则∠COD＝∠AOD+∠AOC＝65°+90°＝155°；如图2，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．综上所述，∠COD等于155°或25°．故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义．要注意领会由垂直得直角这一要点．3．（2024春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为．【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案为：38°．【点评】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得∠DOF的度数是解题的关键．4．（2024春•凉州区校级期末）已知AO⊥BO，DO⊥CO，∠AOD＝4∠BOC，则∠AOD的度数为．【分析】根据余角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据角的和差，可得∠AOC与∠BOC的关系，根据余角的定义，可得∠BOD的度数，根据∠AOD＝4∠BOC，可得答案．【解答】解：由AO⊥BO，DO⊥CO，得∠AOB＝∠COD＝90°．由余角的性质，得∠AOC＝∠BOD，由角的和差，得∠AOC+∠BOC+∠BOD＝∠AOD，即2∠AOC+∠BOC＝4∠BOC，解得∠AOC=32∠由于角的定义，得∠AOC+∠BOC＝90°，即32∠BOC+∠BOC解得∠BOC＝36°，∠AOD＝4∠BOC＝4×36°＝144°，故答案为：144°．【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的性质，角的和差及余角的定义．5．（1）求∠COE；（2）如果∠COF＝125°，OE与OF有怎样的位置关系？为什么？【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（2）根据角平分线的定义，平角的定义以及角的和差关系求出∠EOF的度数，再根据垂直的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD＝7：11．∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝180°×77+11=70°，∠∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12∠∵∠AOC＝∠BOD＝70°，∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠BOE＝35°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝145°；（2）OE⊥OF，理由：∵∠COF＝125°，∴∠DOF＝180°﹣125°＝55°，又∵∠DOE＝35°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝90°，∴OE⊥OF．6．（2024春•榆阳区期末）如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．（1）求∠COE的度数；（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据∠AOC＝120°，得出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根据∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，求出∠COE＝20°即可；（2）根据垂线定义得出∠EOF＝90°，求出∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，根据邻补角求出∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．【解答】解：（1）因为∠AOC＝120°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，因为∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，所以2∠COE+∠COE＝60°，所以∠COE＝20°．（2）因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°，所以∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，所以∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．【点评】本题主要考查了垂线定义，邻补角定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角度间的关系．7．（2024春•江西校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．（1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度数；（2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度数；（3）在（2）的条件下，如果过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点O不重合），求∠EOF的度数．【分析】（1）根据垂线的定义可得∠EOD＝90°，从而可得∠BOD＝45°，再根据对顶角相等即可求解；（2）由垂线的定义可得∠EOD＝∠COE＝90°，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再结合题意可得∠BOD：∠BOE＝2：3，再由∠BOE+∠BOD＝90°，可得BOE＝54°，再由平角的定义求解即可；（3）由（2）可得，BOE＝54°，根据垂线的性质可得∠BOF＝90°，分两种情况：点F在直线AB的下方，点F在直线AB的上方，即可求解．【解答】解：（1）∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°，（2）∵EO⊥CD，∴∠EOD＝∠COE＝90°，∴∠BOE+∠BOD＝90°，∵∠AOC：∠BOE＝2：3，∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD：∠BOE＝2：3，∴BOE=3∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝126°；（3）如图，当点F在直线AB的下方，∵MN⊥AB，∴∠BOF＝90°，由（2）可得，BOE＝54°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝54°+90°＝144°；当点F在直线AB的上方，∵MN⊥AB，∴∠BOF＝90°，由（2）可得，BOE＝54°，∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，综上所述，∠EOF的度数为144°或36°．【点评】本题考查角几何图形中角的计算、余角的定义、垂线的定义、对顶角相等，根据题目中的条件和图形进行分类讨论是解题的关键．题型十一垂线段最短的实际应用解题技巧提炼抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.1．（2024春•围场县期末）过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据垂线段的定义解决此题．【解答】解：根据垂线段的定义，仅D选项符合要求．故选：D．【点评】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线段的作法是解决本题的关键．2．（2024•惠州模拟）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（）A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】根据垂线段最短即可得出答案．【解答】解：∵PN⊥QM，∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短．故选：C．【点评】本题主要考查了垂线的性质，属于基础题，关键是掌握相关概念．3．（2024秋•南岗区校级期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条【分析】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了垂线段最短，线段的性质，熟记垂线段最短是解题的关键．4．（2024春•桂林期末）如图，点P与直线l上的四个点A、B、C、D的所有连线中，最短的线段是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【分析】根据直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短，进行求解即可．【解答】解：∵垂线段最短，∴点P与直线l上的四个点A、B、C、D的所有连线中，最短的线段是PB，故选：B．【点评】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．5．如图，直线AB表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄P，则沿图中线段修建可使用料最省，理由是.【分析】根据垂线段的性质进行证明即可.【解答】解：PD最短，理由：直线外一点到直线上所有的线段中，垂线段最短。故答案为：PD，垂线段最短.【点评】本题考查的是垂线段的性质，熟知垂线段最短是解答此题的关键．6．如图，点P，点Q