苏科版九年级数学下册压轴题攻略：难点探究之二次函数中求线段最值问题 压轴题三种模型（原卷版）

专题05难点探究专题：二次函数中求线段最值问题压轴题三种模型全攻略

.【考点导航】

目录

1

'-1-*【典型例题】.............................................................................1

【考点一利用二次函数求单线段最值问题】...................................................1

【考点二二次函数中的将军饮马型最值问题】.................................................3

【考点三二次函数中的胡不归最值问题】.....................................................7

尸;I

I*【典型例题】

【考点一利用二次函数求单线段最值问题】

例题：（2023•上海•九年级假期作业）如图，已知抛物线耳：y=-x2+5,抛物线鸟与^关于点。，。）中心对

称，耳与此相交于A,8两点，点M在抛物线片上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线心上，也位于

点A和点8之间，且MNLx轴.

⑴求抛物线吊的表达式；

⑵求线段长度的最大值.

【变式训练】

1.(2023•湖北襄阳,统考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-矛-2与无轴交于点A,与y轴

交于点B,抛物线y=-(x-〃?)2+病的顶点为p,过点尸分别作x轴，y轴的垂线交AB于点v，Q,直线

交x轴于点N.

⑴若点尸在y轴的左侧，且N为尸M中点，求抛物线的解析式；

⑵求线段尸。长的最小值，并求出当PQ的长度最小时点P的坐标；

(3)若尸，M,N三点中，任意两点都不重合，且PN>MN,求机的取值范围.

1

2.(2023秋•福建龙岩•九年级校考开学考试)如图，已知抛物线>左『9+〃图象经过点4-1,0),且

3

对称轴为直线％=

⑴求抛物线的解析式；

(2)若CG外加-D是抛物线上位于第一象限内的点，。是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过点。

分别作DE〃3c交AC于E,DF〃AC交BC千F.

①求C点坐标；

②求证：四边形DE(才是矩形；

③连接反，线段E尸的长是否存在最小值？若存在，求出所的最小值；若不存在，请说明理由.

【考点二二次函数中的将军饮马型最值问题】

例题：(2023秋•安徽滁州•九年级校联考期末)已知：二次函数y=d+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,

其中A点坐标为(-3,0),与丁轴交于点C,点。(-2,-3)在抛物线上.

⑴求抛物线的解析式；

⑵抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

⑶若抛物线上有一动点尸，使三角形ARP的面积为6,求产点坐标.

【变式训练】

1.（2023秋•安徽芜湖•九年级校考阶段练习）如图，抛物线y=V+bx+c交无轴于点A（l,0）,点、B,交y轴

⑴点8的坐标为.

⑵求抛物线的解析式.

⑶点尸是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△PAC的周长最小？若存在，求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

2.（2023•河北石家庄•校联考模拟预测）如图，抛物线j=ax1+bx+c（aw0）与x轴交于点A（-3,0）,B（2,0）.与

y轴交于点C,ZCAO=45°,直线V=丘交抛物线于点E,且AE=EC.

备用图①备用图②

⑴求抛物线的解析式;

⑵若点M为直线y=l上一点，点N为直线EC上一点，求CW+MN的最小值；

⑶点尸为抛物线上一点，点。为平面内一点，是否存在点P,。，使得以E,C,P,。为顶点的四边形是

矩形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2023秋•全国•九年级专题练习)如图1所示，已知直线>=京+加与抛物线y=ax2+bx+c分别交于x轴

和y轴上同一点，交点分别是点3(6,0)和点C(0,6),且抛物线的对称轴为直线x=4.

⑵如图2,点Q是线段上一点，且CQ=40,点M是y轴上一个动点，求线段MQ+MA的最小值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使，PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明

理由.

4.(2023春・广东湛江•九年级湛江市第二中学校考阶段练习)如图，已知抛物线y=-d+bx+c与y轴交于

点C,与x轴交于4-1,0),3(3,0)两点.

⑴求抛物线的解析式.

⑵连接AC,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ACP的周长最小？若存在，求出点尸的坐标和△ACP

的周长的最小值，若不存在，请说明理由.

⑶点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，直

接写出点M的横坐标.

5.（2023・广东佛山•二模）己知抛物线>=加+法+3经过点4L0）和点8（-3,0）,与y轴交于点C.

⑴求该抛物线的表达式；

⑵如图1,在对称轴上是否存在一点E,使△AEC的周长最小.若存在，请求出点E的坐标和△AEC周长

的最小值；若不存在，请说明理由；

⑶如图2,设点P是对称轴左侧该抛物线上的一点，点。在对称轴上，当VBPQ为等边三角形时，请直接写

出符合条件的直线AP的函数表达式.

【考点三二次函数中的胡不归最值问题】

例题：（2023・四川内江•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+6x+c与x轴交于B（4,0）,

C（-2,0）两点.与y轴交于点A（0,-2）.

⑴求该抛物线的函数表达式；

⑵若点P是直线A3下方抛物线上的一动点，过点尸作x轴的平行线交43于点K,过点P作y轴的平行线

交x轴于点D,求与gPK+PD的最大值及此时点P的坐标；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在一点使得△肠匕是以A3为一条直角边的直角三角形：若存在，请求

出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式训练】

1.（2023春•四川内江•九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=加+bx+c（aW0）与y轴相交于点C（0,-2）,

与x轴分别交于点2（3,0）和点A,且tanNC4O=l,

⑴求抛物线解析式.

（2）抛物线上是否存在一点Q,使得/A4Q=ZABC,若存在，请求出点。坐标，若不存在，请说明理由.

⑶抛物线的对称轴交X轴于点，在，轴上是否存在一个点。使日尸C+如的值最小，若存在‘请求出

最小值，若不存在，请说明理由.

2.(2023•山东济南・统考三模)如图1,抛物线＞=-/+云+。与无轴交于a,台两点，与y轴交于点C,已

知点A的横坐标为-1,点C的纵坐标为3.

⑴求该抛物线的解析式，并写出其对称轴；

(2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接丛，将线段出绕点尸顺时针旋转90。，点A的对应

点为D若点。恰好落在该抛物线上，求点尸的坐标；

(3)如图2,连接CB,若点。是直线上方抛物线上一点，点M为y轴上一点，当△QBC面积最大时，求

QM+^OM的最小值.

3.(2023・四川巴中•统考一模)如图1,已知抛物线、=狈2+法+1经过点A(-LO)和点3,且与y轴交于点C,

直线y=-；x+〃z经过B点和点C.

⑴求直线和抛物线的解析式.

(2)若点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作EEJL3c于点E,作P尸〃y轴，交直线BC于点尸,

当！PE尸的周长最大时，求点P的坐标.

⑶在第(2)间的条件下，直线CP上有一动点。，连接B。，求2。+半C。的最小值.

4.(2023,江苏镇江•校联考一模)如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=-J尤2+bx+c的图像与无轴交

于点4(-1,0)和点3(4,0),与y轴交于点C,顶点为点D

⑴求二次函数表达式和点D的坐标；

(2)连接AC、BC,求..ABC外接圆的半径；

⑶点尸为x轴上的一个动点，