山东省东营市利津县2023-2024学年高二年级上册12月阶段性检测数学试题（解析版）

高二12月份阶段性检测数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知直线‘过点则直线.的倾斜角为（）

A.30°B,45°c,60°D,120°

【答案】A

【解析】

【分析】先用斜率公式求得斜率，然后利用直线的倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】因为直线.过点（°」）、（",）

上=±L正

所以直线，斜率为;.

设直线，的倾斜角为d

3史.

所以3,即6=30.

故选：A.

xy.

2.已知椭圆C：43的左、右焦点分别为尸I,仍，过点后作直线/交椭圆C于N两点，则

因仅'的周长为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由四“N的周长为=陋卜1幽卜1A司+陋1+囚用+此I,结合椭圆的定

义，即可求解.

3

cXy*1

C'=11

【详解】由题意，椭圆43,可得了=4,Bpa-2,

如图所示，根据椭圆的定义，可得亚的周长为，-4=网+陶1+1幽I

=网+网+网+网=%+i=4»=8

故选：D.

3.已知圆CH）+（y+2）=1与圆gU-7）+（.r-l）=16,则两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.相交D.相离

【答案】A

【解析】

【分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.

【详解】对圆C仆一3'+11'+21=I,其圆心G(3.-21,半径一=1.

对圆仃("°7)MD=16,其圆心6(7,1),半径弓=4；

又卜£|=丁-79+(-”19=5=八+,故两圆外切.

故选：A.

4.在平行六面体加2-44/4中，M为AC与8。的交点，若44=1,4A=b,4<=三，则

下列向量中与瓦M相等的向量是().

I.1r.

—ad—b+c

B.22

1.1r.

—a—o+c

D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.

4nr»r>4sr,nBM■―BD«—(AD—ABI■—(4A—44I

【详解】因为在平行六面体质8-4瓦34中，222,

=B©+BM=4Z+T44—45j=—三4曷+彳49+4Z=—彳

所以---

故选：A.

5.若抛物线F二］四的焦点与双曲线/-J=1的右焦点重合，则.〃=()

A.2B.4C二6D.C

【答案】C

【解析】

【分析】先求出双曲线？-寸二।的右焦点，此焦点是抛物线F=::严的焦点，求出「

【详解】在双曲线？-『=】中，1=1+1=2,所以右焦点月(工°),

p)~=P—iW

心是抛物线•」=~DT的焦点，

故选：C

6.已知A(2,1),抛物线C：：,="丫的焦点为R尸是抛物线C上任意一点，则APAF周长的最小值为

()

A.30B.l+C.3+75D.3+2V2

【答案】c

【解析】

【分析】借助抛物线的定义，将.叩转化成PH,4尸三点共线时，周长最小.

抛物线的准线、=-1,过点尸作垂直于准线，由题可知，△尸AF的周长为

AF+PA+PF=AF+PA+PH,

经=心,易知当4只日三点共线时，周长最小，且最小值为3+W.

故选：c.

±_±=1

7.已知双曲线/(«>0,5>0),点尸为其右焦点，点3(°，扪，若8尸所在直线与双曲线的

其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为()

,^5+1^5*1

A.V^+lB.2C,2D,4-1

【答案】B

【解析】

⑷上7

【分析】由已知条件可得Ic)a,b'=c'-£,所以c'-ac--=O,即/-。-1=0,解方

程即可求解.

,_b-Q_b九

【详解】右焦点“(,°,点‘(°㈤，所以上"一晨£一_£<

若SF所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直,

J2

a,可得b'=",

又因为=所以c'-a'=ac,即，，r-l=O,

g_5/5+1_1-V5

解得：--或"2(舍)

5+1

所以该双曲线的离心率为2,

故选：B.

-+-a-=1>6>0)

8.已知O为坐标原点，尸是椭圆C:、：‘匕’的左焦点，A,8分别为C的左，右顶点.P为

C上一点，且尸尸，尤轴.过点A的直线/与线段尸尸交于点M,与y轴交于点E.若直线3M经过OE的中

点，则C的离心率为

112N

A.3B.2C.ID.4

【答案】A

【解析】

L2

,4—a.0).M(~c.^―)=

【详解】试题分析：如图取尸与“重合，则由c直线

Q

AM:y=―-—(x+a)=E(O.2—)

—c+aa-c同理由

J

=>a=3c=>e=

3，故选A.

考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.

【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思

想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.

二、多选题(本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求)

Ci:―=1Cj―—-=-1

9.关于双曲线916与双曲线916,下列说法正确的是（）.

A.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点

C.它们的离心率不相等D.它们的焦距相等

【答案】CD

【解析】

【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.

cy=±-,双曲线0》的渐近线方程为:

【详解】双曲线1的渐近线为：.故A错误;

双曲线C的顶点坐标为（±3，°）,双曲线°：的顶点坐标为（±4「，故8错误;

165

双曲线°的离心率3,双曲线0〉的离心率

,%工叼，故c正确;

双曲线C的焦距2c=10,双曲线0】的焦距2c=10,故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.

—=l（ieR）

10.已知曲线C的方程为上+】5-上，则下列结论正确的是（）

A.当*=二时，曲线C为圆

B.曲线C为椭圆的充要条件是-1<上<5

C.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，贝肽<-【

D.存在实数上使得曲线C为抛物线

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解.

【详解】对于A,当大-二时，曲线C的方程为/十1'=3,此时曲线C表示圆心在原点，半径为有的

圆，所以A正确；

对于B,若曲线c为椭圆，则k+「>0,5T>0且先+”5-七，所以B错误；

对于C,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则上+1<0,5-i>0,解得上<-1,所以C正确；

对于D,曲线C不存在X,y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误.

故选：AC.

Q\+1=l（a>6>0）

11.已知椭圆,则下列结论正确的是（）

A.若"=则椭圆Q的离心率为二

B.若椭圆0的离心率越趋近于0,椭圆越接近于圆

C.若点尸「凡分别为椭圆。的左、右焦点，直线/过点耳且与椭圆。交于A,8两点，则"空耳的周长

为4。

D.若点4・4分别为椭圆C的左、右顶点，点尸为椭圆0上异于点4•4的任意一点，则直线尸尸4的

J>3

斜率之积为a-.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆的方程和几何性质，逐项验证得出结果.

cJ3

【详解=且解得离心率a2,选项A错误；

根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；

根据椭圆的定义，1盟1+席卜刈即|+此卜%

所以“8居的周长为卜4+解|+|3玛1=1.|+附|+|即|+|34I=3,选项c正确；

x3y1

根据题意，4（-a，°），4（a，°）,设点尸（MJ'i,其中不与一

yy_y_a2[

kk=__L=_L

所以"Mv+ay-ax2-a2A3-a1a2,选项D正确.

故答案为：BCD.

12.已知正方体，奶。。外用/口的棱长为4,点£斤//分别是sc,且4,3尻的中点，则（）

A.异面直线4。与E尸所成的角的正切值为0

B.平面截正方体所得截面的面积为18

C.四面体曲6E的外接球表面积为"兀

D.三棱锥工一小纪:。1的体积为~3~

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A中，取5c的中点区，取反弓的中点G,连接4°,证得4G“B，把异面直线

4。与E尸所成的角转化为直线4。与4G所成的角，在直角的玲中，可判定A正确；延长

交于点月，连接。月交儿§于点M连接孙儿8!,挣得多平面DM。截正方体所得截面为

等腰梯形AWDCi,求得其面积，可判定B正确；画出以£尸为对角线的长方体，得到该长方体的外接球

即为四面体4E&V的外接球，结合长方体的性质和球的表面公式，可判定C正确；结合

’39A=,可判定D错误.

【详解】对于A中，取5C的中点号，连接即，再取员工的中点G,连接43,

因为4尸〃EG且4尸=SG,所以四边形4FEG为平行四边形，所以4G〃所，

所以异面直线4。与£尸所成的角，即为直线4口与AG所成的角，即2G4°,

因为正方体-如CD一型£4的棱长为4,可得4G=DG=::底&=4史,

可得」1DG为等腰三角形，取4。的中点GI,则g"。,

4

在直角从毁中，可得四=JAG'-AG；=4所以3n一。"4Gl2^2"

直线40与£尸所成的角的正切值为0,所以A正确;

对于B中，延长GMC8交于点儿连接。月交须于点M连接孙网

因为38J/CG,“为的中点，所以可得m为月。的中点,

又因为幺3//CD,所以N1为A6的中点，所以MM//45!,

因为aC\,所以期CQ为平行四边形，所以盟〃

所以MNIg,平面口g截正方体所得截面为等腰梯形,

在等腰梯形MWDC；中，DC\=忠MN=*.DN=M^=*

所以梯形的高为«的SY-30

iz™ix（4V2+2^）x3V?=1S

所以梯形孙“1的面积为二，所以B正确.

对于c中，画出以E尸为对角线的长方体MES-FPQR,

则该长方体的外接球即为四面体4砌'的外接球，

可得外接球的直径为*->/川+AB'+BE3=7?+7+?=2氓,

PP

4K/?3=4兀K(----)A=24K

所以外接球的表面积为2,所以c正确；

对于D中，连接g竭C,则g"1"吊C,

因为加/平面3cq%4°u平面BCC31,所以/_1%，

又因为用ng=3且应gu平面必7上，所以J■平面必汨,

因为“为的中点，

所以三棱锥”-4能的高为押=仃

所以33,所以D错误.

三、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.若坐标原点到抛物线J的准线距离为2,则巾=

土二

【答案】8

【解析】

【分析】

根据抛物线性质可得结果.

33：产」|-2J=2

【详解】由「=""化为标准方程m',准线方程.Am,故由题意I4k,

m=±—

得8.

±1

故答案为：8

14.已知双曲线的渐近线方程为!一士则双曲线的离心率为.

【答案】■或亍

【解析】

«=J1+-T

【分析】分两种情况，焦点在,轴上，焦点在轴上，两种情况，分别代入V"即可求解.

g-±=i—=v?=「

【详解】当双曲线为。b时，a,e….

£

故答案为：。=力或2.

15.直线与双曲线丁-4】"=4相交于48两点，若点尸T.lI为线段的中点，则直线的方程是.

【答案】》一尸3=°

【解析】

【分析】由中点坐标公式可知t+±=s,ri+,'-］；利用点差法可求得直线斜率**1,进而得到直

线方程.

【详解】设41"/，"（・'・''」

:P4J）为心中点..丸+4=8,］\+丁）=2

X-4y；=4

由1》；-44=4两式作差可得：（再+与）区fl=4（“+”心\一.匕।

4一町4（j，］+》J

直线斜率

直线方程为：厂1=1/7|,即=°

故答案为J］」3=°

【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐

标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.

16.已知抛物线C的方程为：］一=4T,尸为抛物线C的焦点，倾斜角为45•的直线；过点尸交抛物线c于

A、B两点,则线段AB的长为

【答案】8

【解析】

【分析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点48的横坐标和即可计算作答.

【详解】抛物线C：.'=4、的焦点尸(1,0),准线方程为、=-［,

x-l

依题意，直线/的方程为：，=TT,由丁消去x并整理得：Y-6」+】=0,

设题》期).8⑸、)则七+与=6,于是得।"卜|“।+1如卜西+】+,+1=g

所以线段的长为&

故答案为：8

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知在平面直角坐标系‘0丫中，圆「二.

⑴过点H?.拘作圆的切线，求切线方程；

(2)求过点的圆的弦长的最小值.

【答案】(1)"舟-《二。

(2)272

【解析】

【分析】(1)先根据点"(,"I在圆。上，求出直线4。的斜率；再根据圆的性质可得出所求切线的

斜率和方程.

(2)先根据点3仁/)在圆C内，求出圆心二到点口的距离；再利用几何法可得圆心二到直线AW

距离的最大值；最后利用勾股定理即可求出过点‘二」，的圆的弦长的最小值.

【小问1详解】

由圆c。-】尸+『=4可得：圆心C(L°),半径r=

..(2-1)'+(一)=4

点'C在圆。上，即点/(工业为切点.

晨.=旦="

•.•直线4。的斜率为2-1

£=-1=-叵

所求切线斜率为Lc3.

rJ3

3'-x/3=--Ix-2)zr-n

切线方程为3，即T+J牙-5=0.

【小问2详解】

aa

v(2-l)+l=2<4

点E,D在圆。内.

设直线2仆【过点“'二」'，圆心0到直线AW距离为d,

•.•圆C半径，,-2

则的=

•••结合图形可知当时，a取得最大值，为四卜Jc-1)'+P=8

过点叫口的圆的弦长的最小屋「面=/词="

18.(1)焦点在\轴上的椭圆过点IL,离心率,2,求椭圆的标准方程；

(2)已知双曲线过点"°二1I*二・T

,它的渐近线方程为,V,求双曲线的标准方程.

一+:-=[___-

【答案】⑴3627；(2)188

【解析】

【分析】

(1)设椭圆的标准方程，代入已知点，再由离心率.三及f=9+1可解得基本量.

(2)由渐近线方程可设双曲线方程为9，代入〃点的坐标即可.

【详解】(1)设椭圆标准方程为:,则

,又联立解得°=6力=3&,

所以椭圆标准方程为：36^27

,2x2y2.

jp匚i,^x・=4

(2)由双曲线的渐近线方程.3,可设双曲线方程为：94

…6：仁切，

又双曲线过点“W'L所以于一4解得以=2,

x2/1

所以双曲线的标准方程为：ISS

【点睛】此题为基础题，考查椭圆和双曲线标准方程的求法.

19.如图，在长方体ABC。-421C1D1中，AD=AAi^l,AB=2,点E在棱AB上移动.

(2)若EB3,求二面角Di-EC-。的大小.

【答案】(1)见解析(2)30°.

【解析】

【分析】(1)以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设(0SW2),证明40=。即得证；(2)利用向量法求二面角。1-EC-。的大小.

【详解】证明：(1)以。为原点，DA,DC,ODi所在直线分别为无，》z轴，建立空间直角坐标系,

设AE=f,(0<Z<2),则。I(0,0,1),E(1,t,0),Ai(1,0,1),£)(0,0,0),

口E=(i,r,-i),4»=(-1,0,-1),

所以AE40=o,

：.DiE±AiD.

(2)；EB3,：.E(1,23,0),C(0,2,0),

_一近一

：(1,3,0),CA=(0,-2,1),

设平面CEDi的法向量5=(x,»z),

\——

nCE=x-——v=0

.3.

则bS=Yj'+二=°,取y=3,得彳=(A,6),

平面CAE的法向量而=(0,0,1),

设二面角Di-EC-D的平面角为0,

则cos。网同相’2,所以0=30。,

二面角Di-EC-D的大小为30°.

【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理

解掌握水平和计算能力.

（。中』

20.已知椭圆Jb2经过I

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线'、-丁-1=°交椭圆E于不同两点A,P,。是坐标原点，求A。,45的面积.

3

x31

一+V=1

【答案】（1）4■

4

（2）5

【解析】

【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出方的值，可求出椭圆的方程；

（2）直线，方程与椭圆方程联立，消去1,得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标》】，

5=-|0P|ly,-rJ

v设直线，与1轴交于点P,利用-","进行求解.

【小问1详解】

伊=1

+=1

E*1=1(0.1)/j3,1^|4-T

椭圆a，6*经过卜-A将两点坐标代入椭圆方程中，得49,解得:

,6=1,

^―+r=1

即椭圆E的方程为4*；

【小问2详解】

记底玉.内），可设心的方程为X="1,

P+4yl=43

由L=「+l,消去、得5y3=0,解得1,33~5,

D”nsS=—lOPlIr.-vJ=-x1x-=-

直线,与'轴交于点尸（L0）,则21I"'J|255.

21.如图，在五面体ABCDE中，平面BCDJ,平面ABC,AC1BC,ED//AC,且

<4C=BC=2£Z）=2,DC=DB=6

(1)求证：平面/L5E」平面H8U.

(2)线段BD上是否存在一点尸，使得平面，4CW与平面的夹角的余弦值等于H?若存在，求

DF

布的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

DF,

(2)存在，FB

【解析】

【分析】(1)首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，分别求平面488和平面■位C的法向量，证明

法向量垂直，即可证明面面垂直；

(2)首先求平面且「尸的法向量，根据法向量的夹角的余弦值，即可求解点尸的位置.

【小问1详解】

如图，设BC中点为o,过。作。

由于4cH,所以。x_LBC,由于DC=D8,则有D018C,

又平面3CDJ■平面4BC,平面BCDCI平面45。=8。,凶u平面BCD,

所以DOJ•平面/BC,又Qru平面45。，所以DO_LOx.

又0alEC,故0T,OB,8三条直线两两垂直.

如图，以。为原点，Oy,QB,0D分别为-】、二轴，建立空间直角坐标系°一D二,

依题意可得山-T叫E（L6©,B（0,1.0）,

^45=（-2.2.0）

，，

设平面的法向量为=4-I

AEnt=0,-覆+“+V^i=0

则有3%=°,即1一乂+比=°,令玉=1,得一=（LL。），

取平面4SC的一个法向量吗=（.°」），

因为一工=。，所以平面ABEJ平面4BC；

【小问2详解】

设方=2五（0s2wh,

由（1）知D（0.0.V2|C（0,-1.0iMO.l.O）,CD=（O.1.V2|PB=（O.L-V2|

所以方=24gi,

而丽=而+而=（o.】.VT）+|（u.-Vii）=（（u+i.b-6i

则，

CF标=0

设平面4?尸的法向量”二（卬.匕二力则有［AC山=0,

因为工「=T.0,C।,

X]=0

U+1M+S-0gMo

所以o,即4+t

令二广用，可得月=则而=(o.6"ir+il

因为平面工CF与平面，如8的夹角的余弦值等于11.

-码