高中数学专项复习：概率与统计（模块测试）（解析版）

专题07概率与统计（模块测试）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为'和

6

3

一,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

4

1151

A.—B.—C.—D.一

23126

【答案】B

【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为4

即仅第一个实习生加工一等品为事件A,

仅第二个实习生加工一等品为事件4两种情况，

则P（A）=P（A）+P（4）=泊+*=?

故选：B.

2、（2021年江苏金陵中学学情调研）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分

1

布N（105,潺）。>0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的耳，则此

次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）

A.150B.200C.300D.400

【答案】：C

1

【解析】因为P（XW90）=P（Q120）=0.2,所以尸（90WXW120）=1—04=0.6,所以P（90<X<105）=2p（90<X<120）

=0.3,所以数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000x0.3=300.

3、（2020届浙江省温州市高三4月二模）做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成

功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）

11

A.-B.-C.1D.2

32

【答案】C

211

【解析】每一次成功的概率为夕=7=彳，X服从二项分布，故E（X）=W><3=1.

故选：C.

4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知随机变量X的分布列如下：

X013

P11a

32

若随机变量y满足y=3x—1,则y的方差。（丫）=（）

A.1B.2C.3D.9

【答案】D

【解析】由题意可知，a=l—工―工=工则£（%）=0义工+1*工+3乂！=1,

326v7326

则£＞（-^）=1（0-1）2+1-（1-1）2+^（3-1）2=1,

所以。（y）=32£＞（x）=9.

故选：D

5、（江苏金沙中学中学上学期期末）对具有线性相关关系的两个变量％和y,测得一组数据如下表所示：根

据表格，利用最小二乘法得到回归直线方程为y=10.5x+L5,则帆=（）

X24568

y20406070m

A.85.5B.80C.85D.90

【答案】B

【解析】元=5,回归直线方程为y=10.5x+L5,

・•.歹=54,

，55x4=20+40+60+70+m,

m=80,

故选：B.

6、（2020•江苏省南京外国语期末）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级

参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X,男生的人数为变量匕则

尸（X=2）+尸（丫=2）等于（）

B.

P。10。20+。10。20D.

【答案】C

【解析】由题得尸（X=2）=

。10。20+。10。20痂、牛

所以P(X=2)+P(Y=2)=-----万------•故选:

C3O

7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃

圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机

抽取了该市三类垃圾箱中总计1000/生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表（单位：t）：根据样本估计本

市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（）

厨余垃圾”箱可回收物”箱其他垃圾”箱

厨余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

2

A.厨余垃圾投放正确的概率为一

3

3

B.居民生活垃圾投放错误的概率为一

10

C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

【答案】D

4002

【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=

400+100+1003

2404603

可回收物投放正确的概率=-；其他垃圾投放正确的概率=

240+30+3020+20+605

对A,厨余垃圾投放正确的概率为a，故A正确；

3

3003

对B,生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为——=一，故B正

100010

确；对c,该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故c正确.

对D,厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数

_600+300+1001000

X二---------------------,

33

可得方差$2=g义[（600-当2）2+（300-当2）2+（100-当2）2]=3*0丰20000,故D错误;

故选：D.

【答案】B

【解析】由已知，E（y）=c-a,所以。一。=。，即c=2a,又a+>+c=l,故Z?=l-o-c=

l-3ae[0,l],所以ae[O,2],又随机变量XV的可能取值为-1，0,1,则P(XY=—1)=5c+'a=3a，

3366

P(XY=0)=—b+—b+—(a+c)=—a+—b,

36222

P(XY=l)=-a+-c=-a,

363

列出随机变量XV的分布列如下：

^=XY-101

51z32

P-a—b+—a——Q

6223

521

所以石(J)=——a+—a=——aG

636「卜

故选：B.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、

制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效

应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图，某单位结合近年数据，对今后

几年的5G经济产出做出预测

f5G经济产出/亿元

30000

25000

20000

15000

10000

5000

0

20202021202220232024202520262027202820292030年份

口运营商口信息服务商・设备制造商

由上图提供的信息可知

A.运营商的经济产出逐年增加

B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

【答案】：ABD

【解析】：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C错误,

故选ABD.

10、(2021年江苏金陵中学学情调研)下列说法中正确的是()

A.设随机变量X服从二项分布8(6,9，则尸(X=3)=/

B.已知随机变量X服从正态分布N(2,卢)且p(x<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4

C.E(2X+3)=2夙X)+3；j9(2X+3)=2D(X)+3

x

D.已知随机变量r满足P《=0)=x,P(<f=l)=l-x,若0<尤<5，则随着x的增大而减小，

随着x的增大而增大

【答案】：ABD

【解析】：设随机变量X~8(6,2I则P(X=3)=或自3义(1—三)3=专，A正确；

因为随机变量3M2,〃)，所以正态曲线的对称轴是x=2,因为尸(X<4)=0.9,所以P(0<X<4)=0.8,

所以P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.4,B正确；

E(2X+3)=2E(X)+3,£>(2X+3)=4O(X),故C不正确；

1

由题意可知，EO=1—无，0(4)=x(1—%)=—x2+x,由一次函数和二次函数的性质知，当0<x<2时，

£(?随着x的增大而减小，。©随着x的增大而增大，故。正确.

11、(2020届山东省德州市高三上期末)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关

4

作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的不，女生喜欢抖音的人

3

数占女生人数M，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有()人

附表：

2

P(K>k0)0.0500.010

k3.8416.635

附：_______MaLbcY______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.25B.45C.60D.75

【答案】BC

【解析】

设男生的人数为5〃(〃eN*),根据题意列出2x2列联表如下表所示：

男生女生合计

喜欢抖音4n3n7〃

不喜欢抖音n2n3〃

合计5n5n10n

贝ij片10〃X(4〃X2〃-3〃X〃)210〃

5nx5nx7nx3n21

由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则3.841KK2V6.632，

BP3.841<—<6.632,得8.0661<n<13.9272，

21

，则九的可能取值有9、10、11、12,

因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.

故选：BC.

12、(2020.江苏省南京师范附属中学高三期末)若随机变量4〜N(0,l),^(x)=P(^<%),其中x>0,

下列等式成立有()

A.0(-%)=1一0(%)B.0(2%)=20(%)

C.尸(团<%)=20(x)—1D.尸(图>])=2—0(%)

【答案】AC

【解析】

••・随机变量自服从标准正态分布NQ,1),

・•・正态曲线关于J=o对称，

•.”(x)=PC，,x,x>0),根据曲线的对称性可得：

A.0(-x)="e2x)=1-。(而，所以该命题正确；

B.。(2尤)=帖<2x),2/(无)=20c<x),所以0(2x)=20(x)错误；

C.P(IJ\<x)=P(-x<^<x)=l-20(—x)=1-2[1-穴x)]=20(x)-1,所以该命题正确；

D.P(|介x)=P(.>X或〉<-x)=l-0(x)+。(一X)=1-0(x)+1-0(x)=2-2°(x),所以该命题错误.故

选：AC.

三、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分)

13、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知随机变量X~N(l,cf2),p(-l<%<1)=0.4,则P(X>3)=

【答案】0.1

【解析】

因为随机变量X服从正态分布,

所以曲线关于x=l对称，

因为P(—1<X<1)=04,

所以P(XN3)=尸(X<—l)=0.5—P(—l<X<l)=0.1

故答案为：0.1

14、(甘肃省师大附中2017-2018学年下学期高三期末)为了了解司机开车时礼让斑马线行人的情况，交警

部门调查了100名机动车司机，得到以下统计数据:

礼让斑马线行人不礼让斑马线行人

男性司机人数4015

女性司机人数2025

若以/为统计量进行独立性检验，则/的值是.(结果保留2位小数)

参考公式="("11n22-a2n21)

么勺+%+"+1"+2

【答案】8.25

【解析】填写2X2列联表，如下:

开车时使用手机开车时不使用手机合计

男性司机人数401555

女性司机人数202545

合计6040100

根据数表，计算X2=,100x(40x25-20x15)2-8.25>7.879,

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)55x45x60x40

所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

15、(2020•厦门一中开学考试)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队

获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概

率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

【答案】0.18

【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63x0.5x0.5x2=0.108,

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4x0.62x0.52x2=0.072,

综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q=0/08+0.072=0.18.

16、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知随机变量J的分布列如下：

123

1a

pa2——

22

则。=___,方差。C）=__.

111

【答案】--

-+a2+—=1

221

【解析】由题意可得<0</<1，解得。=

2

0<-<1

[2

尸仁=1）=｝尸仔=2）=：,P（^=3）=i,E（^）=lx1+2x|+3x|=1,

n/G1八7丫1（7丫1<7丫11

4j4（4J4（^）16

综上,a=；,£）（&）=《.

Zlo

故答案为：——.

216

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020届江苏省启东市高三下学期期初考）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和

非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师,

高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.

（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;

（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.

【解析】（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C：C：C；+C：C；C；=28种.

（2）X的可能取值为0,1,2,3.

22

p(X=0)=誓CC==一1

c；c：10

P(X=1)=c：c；c；+7

c；c：15

C：C；C；C；+C；C；_Il

P(X=2)=

30，

pzY-3)_04c2_1

故X的概率分布为:

X0i23

17111

p

io153015

所以颐x)=.

18、(江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研)(本小题满分12分)

为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人)，统计了他们

的课外阅读达标情况(一个学期中课外阅读是否达到规定时间)，结果如下：

达标

不达标达标

性另u

男生3624

女生1030

(1)是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?

n(ad-be*

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(/船)0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

(2)如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标

的概率，且每位学生是否“达标”相互独立.现从该校学生中随机抽取3人(2男1女)，设随机变量X表示“3

人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望.

【解析】(1)假设为：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得

_______100x(36x30—24x10)2_______2450

%=(36+24)x(10+30)x(36+10)x(24+30)=2。7刃1,836>6.635,

因为当Ho成立时，於6635的概率约为0.01,

所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关.

(2)记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；

事件3为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标.

242303

由题意知：尸(A)=而=5，P(B)=40=4-

随机变量X的取值可能为0,1,2,3.

239

P(X=0)=(1—守x(1—a=75o，

2233239

P(X=1)=C2X5X(1—5)x(1—4)+4X(l—5)2=7OO,

232232

P(X=2)=(5)2X(1-4)+CJX5X(1-5)X4=5，

233

P(X=3)=(5)2X4=^.

所以随机变量X的分布列为:

X0123

93923

P

TooToo525

93923

期望E(X)=OxJ55+1xy55+2X5+3x^=1.55.

19、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）近年来，移动支付已成为主要支付方式之

一.为了解某校学生上个月A、5两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样

本中A、3两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（1）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元

的人数，求X的分布列和数学期望；

（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他

们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000

元的人数有变化？说明理由.

【解析】（1）仅使用A支付方法的30名学生中，

3?

金额不大于1000的人数占金额大于1000的人数占

23

仅使用3支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占金额大于1000的人数占

且X的所有可能值为0、1、2.

则P（X=0）=|x|啥P（x=l）=[[+[|）=吴尸（X=2）=|x|哈

所以X分布列为:

X012

6136

P

252525

久1Q久

S^WE(X)=Ox—+lx—+2x—=1；

（2）无法确定是否有变化，理由如下:

记事件E:“从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，

C31

则由上个月数据得，P（E）=-^=~~

C3040o0

我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化.

20、（2021年江苏金陵中学学情调研）成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450

多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证.为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用

国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查.先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200

名成年人，然后对这200人进行问卷调查.这200人所得的分数都分布在［30,100］范围内，规定分数在80

以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示.

（1）补全上面的2x2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?

（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数

为X,求X的分布列及数学期望.

______n(ad-be?______

附表及公式：殍=(a+6)(c+(Y)(a+c)(b+①，其中n^a+b+c+d.

P（蜉泌））0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：（1）200人中拥有驾驶证的占40%,有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%,有

40人，不具有很强安全意识的有160人.

补全的2x2列联表如表所示：

拥有驾驶证没有驾驶证总计

.

具有很强安全意识221840

不具有很强安全意识58102160

总计80120200

200x(22x102-18x58)275

计算得烂=40x80x160x120=m=4.6875>3.841,

所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关.

1

(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为5，所以X=0,1,2,3,

4,且X〜8(4,I).

于是尸(*=幻=©-出£|1)4^/=0，1，2,3,4),X的分布列为

X01234

25625696161

P

625625625625625

14

所以E(X)=4X5=5.

4

答：X的数学期望为5.

21、(2020届山东省潍坊市高三上期末)读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正

气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取

了九名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课

余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:

已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人

(1)求"P的值;

(2)根据已知条件完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?

非读书之星读书之星总计

男

女1055

总计

(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每

个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X,求X的分布列和期望E(x)

附：K2=-------------------------,其中=a+Z?+c+<7.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)n

…)0.100.050.0250.0100.0050.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解析】(1)(0.005+P+0.018+0.020+0.022+0.025)x10=1

解得：P=0.01,所以〃=3=100.

0.1

⑵因为〃=100,所以“读书之星”有100x0.25=25

从而2x2列联表如下图所示：

非读书之星读书之星总计

男301545

女451055

总计7525100

将2x2列联表中的数据代入公式计算得

犬2」00>(30xl0T5x45)2=100=3030

45x55x75x2533

因为3.030<3.841,所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关

⑶将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星''的概率为(

由题意可知X〜§3,；

27

所以尸（x=o）=c；P(X=l)=C^x1-1

64

所以X的分布列为

X0123

272791

p

64646464

=3x1=2.

44

22、（2020•山东省淄博实验中学高三上期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实

中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了

响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表

所示：

土地使用面积X（单位：亩）12345

管理时间y（单位：月）810132524

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

愿意参与管理不愿意参与管理

男性村民15050

女性村民50

（1）求出相关系数厂的大小，并判断管理时间》与土地使用面积x是否线性相关？

（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到

不愿意参与管理的男性村民