高考数学专项复习：指数函数与对数函数【8大经典基础题+7大提升题】解析版

专题04指数函数与对数函数

【题型目录】

【经典基础题】

令题型01：指数与指数塞运算

令题型02：对数及其运算

令题型03：指数函数与对数函数图像

令题型04：指数函数的值域问题

令题型05：对数函数的定义域

令题型06：对数函数的值域问题

令题型07：指数（型）函数的单调性

令题型08：对数（型）函数的单调性

【优选提升题】

令题型01：指数和对数的计算问题

令题型02：指对数函数解不等式问题

令题型03：比较大小问题

令题型04：指对数函数的实际应用问题

令题型05：指数函数的最值问题

令题型06：对数函数的最值问题

令题型07：指数函数和对数函数的综合问题

|经典基础题|

!题型oi।指数与指数幕运算

1.（23-24高一上•陕西汉中•期末）下列各式正确的是（）

A.挑-3）4=gB.#（尤+»=（尤+y尸

C.^8=-2D.=n2m^

【答案】C

【分析】根据指数幕的计算公式及根式与分数指数基的互化计算即可.

【详解】对于A,花可=将，故A错误;

对于B,松彳+4=（%+城,故B错误；

对于C,拉正=-2,故C正确;

2

对于D，J-,故D错误.

故选：c.

2.（23-24高一上・江苏南京•期末）已知〃+〃T=7,贝（）

A.y/5B.+y（5C.3D.±3

【答案】B

【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.

（1」丫j1

【详解】由G2—ci2=a+a2=5,可得——卜、R.

\7

故选：B.

_1/7A026

3.（23-24高一上.重庆.期末）化简：0.00口-3+16%+（次•有）+02=.

【答案】125

【分析】根据指数幕的运算法则，直接计算即可得出结果.

【详解】0.00H--+©+恪W+02=10003-1+（24>+23于+0

=10-1+23+22-33+0=9+8+108=125.

故答案为：125

[题型02]对数及其运算

4.（23-24高一上•江苏连云港•期末）设o=lg6,6=lgl5,则lgl20=（用来表示.）

3ct-6+3

【答案】

2

【分析】

根据对数的运算性质求解即可.

【详解】因为。=坨6,6=lgl5

所以a=lg2+lg3,Z)=lg3+lg5=lg3+lg—=lg3+l-lg2,

两式相减可得：a-b=21g2-l,解得：电2=伫"L

a—Z7+13a-Z?+3

lgl20=lg(15x8)=lgl5+31g2=&+3-

22

3a—Z?+3

故答案为:

2

-23

2

5.（23-24高一上•北京延庆・期末）|+42+lg2+lg5+lne=

【答案】15

【分析】根据指数运算和对数运算法则计算.

【详解】-+42+lg2+lg5+lne2=4+(22)2+lgl0+21ne

=4+23+1+2=15.

故答案为：15

6.(23-24高一上•安徽蚌埠•期末)i+M(log32+log34)x(log1615-log165)=

3

【答案】4/0.75

4

【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.

【详解】原式=log3（2x4）xlo&6g=31og32xlog|63=^x黑=鲁，怎］.

3

故答案为：—.

4

指数函数与对数函数图像

【分析】由题意结合对数函数、指数函数单调性以及它们所过的定点即可求解.

【详解】由题意若则指数函数y=aT=\j单调递增，并过定点（0,1）,

函数y=log。％单调递减，并过定点（1,0）,而函数y=-log“x与函数y=k>ga%关于x轴对称,

所以y=Tog.无单调递增，并过定点。,0）,

对比选项可知，只有B选项符合题意.

故选：B.

8.(23-24高一上.北京海淀.期末)在同一个坐标系中，函数”x)=log〃x,g(x)=qT,〃(x)=£的图象可能是(

【分析】先根据的单调性相反排除AD,然后根据幕函数图象判断出。的范围，由此可得答案.

【详解】因为在同一坐标系中，所以函数〃x)=bg.x,g(x)=「='j的单调性一定相反，

且图象均不过原点，故排除AD；

在BC选项中，过原点的图象为幕函数=x"的图象，且由图象可知

所以〃x)=log“x单调递减，g(x)=aT=&]单调递增，故排除B,所以C正确.

故选：C.

9.(23-24高一上•湖南长沙•期末)若函数y="(a>0,且。力1)的图象过点则函数y=log“W的大致图象

【分析】根据题意求出。的值，可得y=bgjx|的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案.

【详解】由于函数y="(a>0,且的图象过点

[■/1I1

以一=a=—,

39

logi%,%>0

贝1Jy=iog/尤|=iogj尤|=,9

9logi(-x),x<0

9

该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且（0,+功上单调递减，在（-8,0）上单调递增,

只有B中图象符合该函数图象特点，

故选：B

指数函数的值域问题

10.（23-24高一上.新疆喀什.期末）y=,xe[0,3]的值域是（）

A.[0,3]B.[1,3]C.1,0D.

[_oJ|_o

【答案】D

【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.

【详解】函数y=[J,xe[0,3]单调递减，所以函数的最大值为已）=1,

最小值为（工[=」，所以函数的值域为.

⑶818」

故选：D

11.（22-23高一上.新疆乌鲁木齐.期末）若函数是R上的奇函数，当尤＞0时，〃尤）=（£|,则〃x）的值域

为（）

A.（-1,1）B.（□,-1）51，"）C.（-l,0）U（0,l）D.（Y,0）U（。,田）

【答案】A

【分析】结合指数函数性质可得x＞0时，/（X）的取值范围，再根据奇函数的对称性求得xWO时〃x）的取值范围,

即可得答案.

【详解】由题意知当尤＞0时，=e（0,l）,且=在（0,+◎上单调递减，

由于函数〃x）是R上的奇函数，则〃。）=。，

根据奇函数图象关于原点对称可知，当尤＜0时，/（x）e（-l,0）,且/'（x）在（Y»,0）上单调递减，

故/(x)e(-U),

故选：A

三九<1

12.（23-24高一上•重庆•期末）已知函数/（%）=｛无一1的值域为R,则实数。的取值范围是（）

2'—Q,X>1

A.(^»,0]B.[0,+oo)C.(-=0,1]D.[l,+oo)

【答案】B

【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可.

【详解】当xNl时，函数/（彳）=2工一a单调递增，故有/■红）2/（1）=2—a,

此时函数的值域为［2-a,+w）,

当x<l时，函数“无）=言=2+若单调递减，故有〃“<2,

此时函数的值域为（―,2）,

二，九<1

要想函数〃x）=尤-1的值域为R,

2X—x>1

只需2—々<2=。之0,

故选：B

题型05对数函数的定义域

1

年§+lg（x-l）的定义域是（）

13.（23-24高一上•浙江丽水•期末）函数/（%）=

A.B.x\x>l\

C.且%"2}D.且％w2}

【答案】D

【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解.

2x-l>0

【详解】由题可知x—1>0,解得%>1且无w2.

xw2

故选：D

14.（23-24高一上•湖北・期末）函数。=Jlogo.5（4%-5）的定义域为（）

55333

A.—,+ooB.C.—,+ooD.—00—

44'222

【答案】B

【分析】根据题意列出不等式，结合对数函数的单调性解不等式，即可求得答案.

【详解】由题意可得log0.5（4x—5）N0,.•.0<4x—5W1,

co____________（53-

：.-<x<-,即y=Jk»go.5（4x-5）的定义域为|,

故选：B

15.（23-24高一上•河北邯郸•期末）函数〃力=母（3+2%-号的定义域是（）

A.（-co,-l）u（3,+co）B.（f-3）U（l,+°°）

C.（-3,1）D.（-1,3）

【答案】D

【分析】根据题意，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数外力=电（3+2》一炉）有意义，贝I］满足3+2彳一尤2>0,即无2-2元一3<0,

解得所以函数的定义域为（T3）.

故选：D.

对数函数的值域问题

16.（23-24高一上•河南新乡•期末）若函数〃x）=log3"（a>0且awl）在上的值域为上〃,2］,则机的值为（

A.T或-1B.0或-2C.-2或-1D.-4或-2

【答案】A

【分析】先根据对数函数的单调性求出函数y=的值域，再分。<。<1和两种情况讨论，结合指数函数的单

调性即可得解.

【详解】因为函数y=bg3x在（。,+“）上单调递增，

所以函数y=〃在［T2］上的值域为3,9］,

当0<。<1时，y=优在［T2］上单调递减，贝|厂=9,解得a=g,

则3"=〃=占，得加=-4,

ol

当时，>在［T2］上单调递增，贝1］片=9,解得4=3或-3（舍去），

则3"'=小=；,得力=-1,

综上，加=-4或一1.

故选：A.

17.（22-23高一上•湖南长沙•假期作业）若函数y=lg（d+2x+m）的值域是R,则机的取值范围是（）

A.（1,+℃）B.[1,+co）C.（TO/]D.R

【答案】C

【分析】由对数函数值域，则内层函数值域包含[。,+8）,结合二次函数性质列不等式求参数范围.

【详解】函数y=lg（^+2x+%）的值域是R,

则丁=%2+2%+根=（%+1）2+加一1的值域包含[0,+8）,故加-1K0即可,

所以mW1.

故选：C

18.（23-24高一上・江苏南京•期末）已知函数/（x）=logjx+,“在（0,+⑹上的值域为R,则实数。的取值范围

是（）

A.（4,+oo）B.（-oo,4]

C.（0,4]D.（0』）u（L4]

【答案】D

【分析】设g（x）=x+，4,则函数在（0,+◎上的值域为R等价于在（0,+s）上g（xLwO,结合基本不等式

求解即可.

【详解】设g（x）=x+?-4,

因为〃尤）=log“、+£-”的值域为R,所以g（x）^<0,

又xe（0,+co）,所以尤+0-422）；<>@-4=2&-4,

即g（*）min=2夜'-4V0,解得：0<aW4且。片1,

所以实数。的取值范围是（0,l）u（L4].

故选：D.

指数（型）函数的单调性

19.（23-24高一上•福建福州•期末）设函数=（。>0且。片1）在区间（]+8）上单调递增，则。的取值范

围是（）

A.(1,2]B.[2,+oo),(对D.[2,+8)

【答案】A

【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.

_、a

2x-a,x>—z

【详解】易知,=|2尤-4=，显然丁=|2%-4在,+00上单调递增,

a-2x,x<—

在一双上单调递减,

因为/（元）在区间（1+8）上单调递增，结合复合函数的单调性可知。>1，且"|41，

所以“£(1,2].

故选：A

ax,x>l

20.（23-24高一上・重庆・期末）若函数〃x）=j4_q]x+2x<l是R上的单调递增函数,则实数。的取值范围是（）

A.[4,8）B.（1,8）C.（4,8）D.（1,+刃）

【答案】A

【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可.

4-->0

2

【详解】因为函数/（X）在R上单调递增，所以一a>1,解得4<8,

4--1jxl+2<d!

所以实数〃的取值范围是[4,8）.

故选：A

21.⑵-24高一上.广东广州.期末）若函数/小、）=\（/2—。a}x名+l,x<2’在R上是增函数，则实数。的取值范围是（）

a-H.B.:2)C.(1,2)D.(0,+oo)

【答案】B

【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值.

2—〃〉0

【详解】由题意■〃>1,彳导—WQ<2,

(2-〃)x2+lV〃

故选：B

[题型08]对数(型)函数的单调性

22.(23-24高一上•浙江杭州•期末)函数"x)=lg(4+3龙-尤的单调递减区间是()

A.-oo.iB.7TD.[|,4

【答案】D

【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.

【详解】由〃x)=lg(4+3尤一三)可得，4+3X-X2>0,解得

故〃尤)的定义域为(T4),

由y=ln]为增函数，

3

令％=4+3%——，对称轴为冗=二，

2

故其单调递减区间为■|，4),

所以/(x)=lg(4+3x-f)的单调递减区间为1,4^.

故选：D.

23.(23-24高一上.全国•期末)已知/(x)=〈一是(-8,+8)上的增函数，那么。的取值范围是()

[log”X,X>1

3

A.[1,3)B.(0,3)

C.(1,3)D.(L+s)

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得.

f(3—a)x—a,尤<1

【详解】函数/。)=7是(力,+«0上的增函数，

[log”尤,x21

3—a>0

3

则〃>1,解得5工〃<3,

3-2aW0

3

所以。的取值范围是[卞3).

故选：A

—X----Y<]

24.(23-24高一上•浙江杭州•期末)己知函数/'(x)=4'一是R上的减函数，则实数。的取值范围为(

logax-l,x>l

【答案】D

0<tz<1

【分析】依题意可得解得即可.

4

ax—x—%W]

【详解】因为函数/(》)=4'"是R上的减函数，

logfl%-l,x>l

0<a<1

所以，解得;VaV；,即实数0的取值范围为

故选：D

优选提升题

指数和对数的计算问题

25.(23-24高一下•内蒙古鄂尔多斯•期中)计算：

(1)^47-(1)°+0.25^x(声"+2除3；

(2)(lg2)2+lg2-lg50+lg25.

【答案】(1)0

(2)2

【分析】(1)利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得.

(2)利用对数运算法则求解即得.

[详解](1)^/(-4)3-(1)°+0.255x+2'°823=-4-1+1x(-V2)4+3=-2+2=0.

(2)(lg2)2+lg2-lg50+lg25=lg2(lg2+lg50)+21g5

=lg2-lgl00+21g5=2(lg2+lg5)=21gl0=2.

2

26.(23-24高一上.新疆克孜勒苏.期末)(1)计算：(lg5)+(1g2).(1g5)+11g4-log34.log,3

_____1_2

⑵计算：任(1)。一用+(/

【答案】(1)-1;(2)16

【分析】(1)根据对数的运算性质求解即可；

(2)利用分数指数幕的运算性质求解即可.

2

【详解】(1)(lg5)+(1g2).(1g5)+11g4-log34.log23

=lg5(lg5+lg2)+^-lg22一粤,黑

2lg3lg2

=lg5JglO+；x21g2一詈僵

2lg3lg2

=lg5+lg2-2

=lgl0-2=l-2=-l；

27.(23-24高一上•湖南•期末)(1)计算：41^7+31g5-(sin2)°+lg8；

113

(2)已知正数a满足〃Cl5r+Lt2—4“求的值•

【答案】(1)51；(2)34

【分析】(1)利用指数，对数的性质处理即可.

(2)利用指数基运算法则结合条件求值即可.

【详解】(1)原式=4啕49+igi25-l+lg8

=49+lg(125x8)—l

=49+3-1

=51；

113

（2）由已知得Ct〃ICl一一管乙，同时平方得0+0-+2=8,

即4+。一=6,平方得〃+。-2+2=36,

故"+a2=34.

指对数函数解不等式问题

28.（23-24高一上•江苏连云港•期末）函数是定义在R上的单调递减函数，则不等式〃l）</（lgx）的解集

为.

【答案】（0,10）

【分析】

根据函数单调性直接求解即可.

【详解】•・"（X）为定义在R的减函数，，由得：l>lgx,，0<x<10，

即不等式”1）<〃lg尤）的解集为（0,10）.

故答案为：（o,io）.

29.（23-24高一上•河北邯郸•期末）已知函数〃力=州，贝厅（2—x）>f（2尤+3）的解集为.

【答案】"］

【分析】根据题意，求得函数“X）的单调性与奇偶性，把不等式转化为|2-x|>|2x+3|,即可求解.

【详解】由函数〃力=州，可得其定义域为R,M/（-x）=2H=2w=/（%）,

所以〃x）=2忖为偶函数,当无目0,户）时,〃x）=2"

可得/（x）=2国在［0,田）上单调递增，

根据偶函数的性质，不等式/（2—x）>/（2x+3）,即为川2-x|）>/（|2x+3|）,

可得|2-x|>|2x+3|,整理得#+原+5<0,解得-5<x<-；,

所以广（2-x）>/（2x+3）的解集为［-5,-3.

故答案为：［-5,-jy

30.（22-23高一上•上海奉贤•期末）不等式27工+71og5（36x+l）<23的解集为.

【答案】乙。

【分析】设函数〃x）=27'+710g5（36X+1）,先求出函数的定义域，进而根据[）=23,将不等式转化为

判断函数的单调性，即可列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】设函数/(x)=27*+71og5(36x+l),

则应有36x+l>0,解得尤所以，/'（X）定义域为（一4，+8

36V36

又噌）=273+71085（36乂尹1]=9+7义2=23,

所以，由/（力<23,可得”尤）<呜]

因为y=TV以及y=71og5（36x+l）均在[一，,+8）上单调递增，

所以，/（x）=27'+7logs（36x+1）在]一（,+8）上单调递增，

2

所以，x<j.

综上所述，-（1<]<[?.

363

所以，不等式的解集为

<Jo37

故答案为：mi

比较大小问题

03

31.（23-24高一下.贵州铜仁•期末）若"log。0,6=0.23,c=|lb-,贝心，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】运用指数对数函数的单调性，借助中间值可解.

【详解】根据对数函数y=log°2X单调递减知道，fl=log0,23<log0,2l=0;

根据指数函数y=0.21单调递减知道，0<6=0.23<0.2°=1；

根据指数函数y=平单调递增知道，c=[4。3>4°=1;

故1VC.

故选：A.

32.（23-24高一下・四川泸州•期末）设°==,c=lg1,贝U（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性进行比较，借助于中间值“0”即可判断三个值的大小.

【详解】因为函数y=2,在R上单调递增，

所以6=出"=>/=804=«>2>0,

又因为函数y=igx在（0,+co）上单调递增，所以c=igg<igi=o,

所以cvavZ?.

故选：D.

33.（23-24高二下.天津河北•期末）设。=喋2兀，°=bgj,c=H,则。，b,c的大小关系为（）

2

A.oa>bB.c>b>aC.a>b>cD,a>c>b

【答案】D

【分析】以“0”和"1”为中间量，即可比较三者之间的大小，

【详解】因为。=1鸣心log，l=。，"TogMVbgJR，c=H>o

22

所以c>b

又因为Q=log27t>log22=l,而0=兀一2==<1,

71

所以a>c,

综上，a>c>b

故选：D.

II

题型04I

■।

34.（22-23高一上•四川眉山・期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例

如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：lgE=4.8+1.5M.2008年5月12日，

我国汶川发生了里氏8.0级大地震，它所释放出来的能量约是2022年9月5日我国泸定发生的里氏6.8级地震释放能

量的（）倍.（参考数据：1。15右32,1018«63,1019»79）

A.32B.63C.79D.100

【答案】B

E,

【分析】设里氏8.0级、里氏6.8级地震释放的能量分别为耳、E2,利用对数的运算性质可求得心的值.

【详解】设里氏8.0级、里氏6.8级地震释放的能量分别为g、E2,

E

则lgE；-lg用=(4.8+L5x8)_(4.8+L5x6.8)=1.5xl.2=L8,即lgf=1.8,

七2

所以，普=10限63.

E2

故选：B.

35.(23-24高一上•江西赣州•期末)实验开始时某物质的含量为L2mg/cn?,每经过i小时，该物质的含量都会减

少20%.若该物质的含量不超过OZmg/cn?,则实验进入第二阶段.实验进入第二阶段至少需要()小时.(需

要的小时数取整数，参考数据：坨2ao.30,1g3Q0.48)

A.7B.8C.10D.11

【答案】B

【分析】由已知列不等式，利用对数式的运算求解.

【详解】依题意，需要的小时数为x,有12x(1-20%)*V0.2,即

6

两边取10为底的对数，得x(31g2TV-(lg3+lg2),得X2箱卷。7.8,

所以实验进入第二阶段至少需要8小时.

故选：B

36.(23-24高一上.云南昆明・期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:

100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假

设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了Img/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量

会以每小时30%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：

lg2®0.301,lg7«0.845)()

A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时

【答案】C

【分析】根据题意，由条件可得100x(1-30%)，<20,再由指数函数的性质以及对数运算，即可求解.

【详解】设此人休息x小时才能驾驶，由题意可得100x(1-30%)*<20,即07<0.2,

由于函数y=0.7*再定义域内单调递减,

lg0.2lg2-l0.301-1

所以%>logo70.2=lg0.7-lg7-l^0.845-1*4.510

所以此人至少要休息5小时.

故选：C

题型05

Q

37.(23-24高一上•云南•期末)已知奇函数〃冷=相-力小,>0,"1)在［-1,1］上的最大值为三，贝1］。=()

A.1或3B.工或2C.3D.2

32

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性求得6,然后对。进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得〃的值.

【详解】由奇函数的性质可知，/(0)=0,.-.1-/,=0,：.b=l,经检验，6=1符合题意，

:./(x)=ax-a~x,当a>］时,f(x)=优一〃一"在［一1,1］上单调递增，

Q1

，/(x)1mx=A1)=。-人="解得。=3或一.(舍去)；

当0va<1时，f(x)=ax-a~x在［-1,1］上单调递减，

Q1

/Wmax=/(-I)=a''-«=^，解得。=可或-3(舍去).

，J

综上所述，。=3或;.

故选：A

38.(23-24高一上•江西宜春•期末)设a>0且。片1,函数/("=/-64+1在区间上的最小值为-8,则a

的取值范围为()

A.〃=g或百B.Ovavl或

C.或D,前面三个答案都不对

【答案】C

【分析】首先换元令f=",则函数/(尤)等价于>=产-6―1=(-3)2-8,根据题意f能取到3,分。>1和0<。<1

两种情况讨论即可.

【详解】设"/,则函数/(尤)等价于y=〃-6f-l=(r-3)2-8,

因为函数函数/("=瞪-6优+1在区间上的最小值为一8,

所以/能取到3,

当a>l时，-<t<a2,

a

所以,434片,可得°2后，

a

当0<a<l时，a1<t<~,

a

所以a*3VL可得0<aJ,

a3

故选：c

39.（22-23高一上・江苏泰州・期末）已知函数/（工）=2*+2-*,8。）=底/（2；0+2/。）+%.若对于\/%1€[0,+00）,

士2c[0,1],使得/（%）+g（%）>7成立，则实数机的取值范围是（）

A.(-<»,0)B.(0,+oo)C.D.

【答案】B

【分析】把V%e[0,母）,切«0』,（a）+8（々）>7成立,转化为g（苍）a>[7-『⑷正,逐步求解，即可得

到本题答案.

【详解】因为/。）=2'+2-”,所以/（2；0=22工+2-2，=（2工+2-*）2-2=/2（月一2,

(24一2整>(2.+苞-1)

设占<%,因为/(%)一)一<0,即/㈤</(X2)

0V/(9=2"+2f(2"+2f)=2再+%2

所以/（X）在[0,+8）单调递增，最小值为/（0）=2,

因为V%e[0,+co),HX2e[0,l],f(x1)+g(x2)>7,即g(%)>7-/(%),

所以ga)a>[7Ta)]a=5,

5-2/

令/=/(%),易得止2,1,所以)>5,即机〉

/max

产一1min

在2,1的最小值为0,所以

显然m>0,即加的取值范围为（0,+（»）.

故选：B

题型06对数函数的最值问题

1

logi（X2+2〃）,x<l

40.（23-24高一上•福建泉州•期末）若函数〃x）=，2存在最大值，则实数。的取值范围为（）

1-31^,x>l

1£j_

A.—oo—B.C.D.

4252°4

【答案】B

【分析】判断xNl时，/Me[0,1）,无最大值，由判断y=/+2a在x<l时的单调性，可得=1ogi任+2”）单

2

调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.

【详解】当xNl时，〃尤）=1-3j在[1,田）上单调递增,此时f（x）e[0,l）,无最大值;

又因为y=/+2a在(-8,0］上单调递减，在［0,1)上单调递增,

故〃x)=log|卜2+2。)在(_90］上单调递增，在［0,1)上单调递减，

2

所以当x<l时，小心”⑼二幅囚)，

2

结合题意可得l°g0")»l,解得0<2。鸳』,；.0<avL

224

即实数。的取值范围为［o，；,

故选：B

41.(23-24高一上•广东广州•期末)函数/(x)=l0gli(x+l)+log“(l-x)(a>0,"1,xe0噂),若

/(X)max-/(%in=1，则。的值为()

A.4B.4或工

4

C.2或LD.2

2

【答案】C

【分析】将/(BTog/x+D+log/l-BMlog/l-/),利用换元，化为g«)=log/,分类讨论a的取值范围，结合

函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.

【详解】由题意得/(x)=log.(x+l)+log，(l-x)=log“(l-x2),xe［o,等;

令f=则

则函数/(尤)=log«(l-x2),即为g(，)=logj,

当时，g⑺=log/在上单调递增，由/(X)max-/(X)1mli=1可得：

logfll-loga|=l,.',a=2；

当0<a<l时，g«)=logj在七」上单调递减，由/(初回一/口焉=1可得：

,1,,,1

loga--log„l=l,.­,«=-；

故。的值为2或

2

故选：C

log】<x<n

42.(23-24高一上.上海闵行.期末)已知函数小)=］(〃<相)的值域是［-1,2］,有下列结论:

22-k-2l-2,n<x<m

①当〃=0时，me[2,4]；②当”时，；③当“e0,£|时，加式2,4].其中正确结论的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数/'(X)的图象，并结合端点〃的取值，结合函数的图象，以

及最值，即可判断价的取值.

【详解】设g(x)=22*N_2

当尤>2时，g(x)=24r-2,函数单调递减，

当-L4x<2时,g(x)=2x-2,函数单调递增，

所以g(尤)在(T2)单调递增，在(2,+。)单调递减，

所以当x=2时，g(x)取得最大值g⑵=2?-2=2,

>=现工。-尤)单调递增，

2

所以“X)的图象如图所示，

令22十-2|_2=_],得尤=0或X=4,

当〃=0时，的值域为[一1,2],所以机e[2,4],故①正确；

当〃=(时，/1=嗔；=2,=

〃司的值域为[-1,2],所以根,故②正确；

③当“e0,R时，logi(l-x)el,log](l-zz),而1吗,。-〃)<2,

L4>5Li)2

所以机e[2,4],故③正确.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数/(x)的图象,

并根据最值，分析端点值的取值范围.

I

题型07指数函数和对数函数的综合问题

9

43.(23-24高一下•安徽阜阳•期末)已知函数/(无为奇函数.

1+2,

⑴求。的值；

(2)若对任意的x£(0,+8),关于X的不等式左"(%)f+(6k-2)/(%)+4左N0恒成立，求正实数人的取值范围.

【答案】⑴)=1;

⑵得.

【分析】(1)利用奇函数定义列式计算即得.

(2)由(1)的结论，结合指数函数的性质求出，(无)在(0,+8)上的值域，换元分离参数借助函数单调性求解即得.

2

【详解】(1)由函数/(%)=，-TF7为奇函数，

1+2》

2222•2X

得f(x)+f(-x)=2〃--------------------=2a--------------------=2a—2=0,解得a=1,

」八1+2"l+2-x1+2X1+2X

所以a=l.

22

(2)由(1)知，/(x)=l———,当x>0时，1+2龙〉2，贝1」0<丁二7<1,因此。v/(x)vl,

1+21+2

令.二/(%),/e(0,l),不等式上"(%)产+(6左一2)/(%)+4左之0,

22

等价于kt+(6k-2)t+4k>0f即(t+6t+4)左>2t,而r+6,+4>0,

k>___江=?4

因此V，£(0,l),一〃+6/+4—4；,而函数y=，+—+6在(0,1)上单调递减，