2025年物理新高考备考2025年（版）物理《三维设计》一轮总复习（提升版）第4讲　功能关系和能量守恒定律

第4讲功能关系和能量守恒定律考点一功能关系的理解及应用1.对功能关系的理解（1）做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。（2）功是能量转化的量度，功和能的关系；一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。2.常见的功能关系能量功能关系表达式势能重力做的功等于重力势能减少量W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹力做的功等于弹性势能减少量静电力做的功等于电势能减少量分子力做的功等于分子势能减少量动能合外力做的功等于物体动能变化量W＝Ek2－Ek1＝12mv2－12能量功能关系表达式机械能除重力和弹力之外的其他力做的功等于机械能变化量W其他＝E2－E1＝ΔE摩擦产生的内能一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能Q＝Ff·x相对电能克服安培力做的功等于电能增加量W电能＝E2－E1＝ΔE1.【功能关系的理解】神舟十四号飞船夜间返回时的某一红外照片如图所示，打开降落伞后，飞船先减速后匀速下降，最后安全着陆。若不计空气对飞船的作用力，则（）A.打开降落伞之后，飞船仍处于失重状态B.匀速下降阶段，飞船的机械能守恒C.减速下降阶段，飞船的机械能的减少量等于合力对飞船做的功D.匀速下降阶段，飞船的机械能的减少量等于重力对飞船做的功解析：D打开降落伞后，飞船减速下降时，加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；匀速下降阶段，飞船动能不变，重力势能减小，机械能减小，故B错误；减速下降阶段，飞船的机械能的减少量等于重力以外其他力做的功，等于克服阻力对飞船做的功，故C错误；匀速下降阶段，飞船的机械能的减少量等于飞船克服阻力做的功，而重力等于阻力，所以飞船的机械能的减少量等于重力对飞船做的功，故D正确。2.【功能关系的应用】如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时对轨道压力为12mg。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（A.重力做功2mgRB.合力做功34C.克服摩擦力做功12D.机械能减少2mgR解析：B小球能通过B点，到达最高点B时对轨道压力为12mg，则在B点速度v满足mg＋12mg＝mv2R，解得v＝32gR，从P到B过程，重力做功等于重力势能减小量，为mgR，动能增加量为12mv2＝34mgR，合力做功等于动能增加量34mgR，机械能减少量为mgR－34mgR＝功能关系的选用原则（1）在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。（2）只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。（3）只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。（4）只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。考点二摩擦力做功与能量转化1.静摩擦力做功的特点（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零。（3）静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。2.滑动摩擦力做功的特点（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：①机械能全部转化为内能；②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。（3）摩擦生热的计算：Q＝Ff·x相对。其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。【例1】（多选）如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中（）A.弹簧的最大弹力为μmgB.物块克服摩擦力做的功为2μmgsC.弹簧的最大弹性势能为μmgsD.物块在A点的初速度为2答案：BC解析：物块处于最左端时，弹簧的压缩量最大，然后物块先向右加速运动再减速运动，可知弹簧的最大弹力大于滑动摩擦力μmg，选项A错误；物块从开始运动至最后回到A点过程，由功的定义可得物块克服摩擦力做的功为2μmgs，选项B正确；物块从最左侧运动至A点过程，由能量守恒定律可知Ep＝μmgs，选项C正确；设物块在A点的初速度大小为v0，对整个过程应用动能定理有－2μmgs＝0－12mv02，解得v0＝2μgs，【例2】如图所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右匀速运动，现将质量为m的物体竖直向下轻轻地放置在木板上的右端，已知物体和木板之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，从物体放到木板上到它相对木板静止的过程中，须对木板施一水平向右的作用力F，那么力F对木板做功的数值是多少？答案：mv2解析：由能量转化和守恒定律可知，拉力F对木板所做的功W一部分转化为物体的动能，一部分转化为系统内能，故W＝12mv2＋μmgs相，s相＝vt－v2t，v＝μgt，以上三式联立可得W＝mv摩擦力做功的分析方法1.无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都应是用力与对地位移的乘积。2.摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程。考点三能量守恒定律的理解及应用1.内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。2.理解（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。1.能量转化问题的解题思路（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。（2）解题时，首先确定初、末状态，然后确定变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，再求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。2.涉及弹簧的能量问题两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：（1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。（2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。（3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。【例3】（多选）如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，轻弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b点对齐，质量为m的物块在斜面上的a点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c点时速度刚好为零，物块被反弹后返回b点时速度刚好为零，已知ab长为L，bc长为L4，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（A.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5B.物块接触弹簧后，速度先减小后增大C.弹簧具有的最大弹性势能为0.5mgLD.物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.6mgL答案：AD解析：物块在a点由静止释放，压缩弹簧至c点，被反弹后返回b点时速度刚好为零，对整个过程应用动能定理得mgLsinθ－μmgcosθ·L＋L4＋L4＝0，解得μ＝0.5，则整个过程因摩擦产生的热量为Q＝μmgcosθ·L＋L4＋L4＝0.6mgL，故A、D正确；物块接触弹簧后，向下运动时，开始由于mgsinθ＞μmgcosθ＋F弹，物块继续向下加速，F弹继续变大，当mgsinθ＜μmgcosθ＋F弹时，物块将向下减速，则物块向下运动时先加速后减速，向上运动时，由于在c点和b点的速度都为零，则物块先加速后减速，故B错误；设弹簧的最大弹性势能为Epm，物块由a点到c点的过程中，根据能量守恒定律得mgsinθ·L＋L4＝μmgcosθ·【例4】（2023·全国甲卷24题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的45。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求（1）小球离开桌面时的速度大小；（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。答案：（1）2Epm（解析：（1）从释放弹簧到小球离开桌面的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，设小球离开桌面时的速度大小为v0，由机械能守恒定律有Ep＝12m解得v0＝2E（2）小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动，设弹起时小球的竖直速度为vy1，则由运动学公式有vy12设小球落地前的瞬间竖直方向速度大小为vy，则有vy1＝45v小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有vy＝gt其水平位移x＝v0t联立解得x＝52考点四功能关系中的图像问题常见图像的基本规律Ek－x图像Ep－x图像斜率：合外力①合外力沿＋x方向②合外力沿－x方向斜率：重力、弹力等①力沿－x方向②力沿＋x方向E－x图像E－t图像斜率：除重力、弹力以外的力①沿＋x方向②沿－x方向斜率：功率Ek－x图像【例5】汽车在平直的公路上以额定功率行驶，行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能Ek与位移x的关系图像如图所示。已知汽车的质量为1×103kg，汽车运动过程中所受地面的阻力恒定，空气的阻力不计。则下列说法正确的是（）A.汽车受到地面的阻力大小为200NB.汽车的额定功率为8000WC.汽车加速运动的时间为16.25sD.汽车加速过程中牵引力做的功为8×105J答案：C解析：关闭发动机后，根据动能定理得－fx＝0－Ek，解得f＝Ekx＝2×103N，故A错误；设汽车匀速运动的速度为v，则有Ek＝12mv2，匀速运动时牵引力与阻力大小相等，则汽车的额定功率为P＝fv，联立解得P＝80kW，故B错误；对于加速运动过程，根据动能定理得Pt－fs＝Ek2－Ek1，代入数据得t＝16.25s，故C正确；汽车牵引力做的功应大于汽车的动能增加量，所以汽车加速过程中牵引力做的功大于8×105J，Ep－x图像【例6】（多选）如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面上，质量为m＝0.1kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图乙中的图线①所示，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②所示，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度g＝10m/s2，则（）A.小球释放位置距地面的高度为0.7mB.小球在下落过程受到的风力为0.10NC.小球刚接触弹簧时的动能为0.50JD.弹簧对小球的最大弹力大小为10.8N答案：ABD解析：由图乙可知，小球在释放位置的重力势能为0.70J，故根据Ep＝mgh，可得0.70＝0.1×10h，解得h＝0.7m，故A正确；对下落的小球的运动状态分析，小球未接触弹簧前，做匀加速直线运动，此时小球受重力和竖直向上的恒定风力f，根据牛顿第二定律有mg－f＝ma1，在小球接触弹簧后，弹簧开始形变，此时小球受重力、风力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律有mg－f－T＝ma2，T＝kΔx，Δx在增大，则T在增大，a2在减小，此时小球做加速度减小的加速运动，直到mg－f＝T，即a2＝0时小球速度最大，之后小球继续向下运动，但此时T＞mg－f，而Δx在增大，小球做加速度增大的减速运动，直到小球速度减为0，由图乙可知小球速度减为0时小球下落0.6m，故0.6mg－0.6f－0.54＝0，代入数值解得f＝0.1N，故B正确；小球刚接触弹簧时，小球下落了h1＝0.5m，则mgh1－fh1＝12mv2，解得12mv2＝0.45J，故C错误；根据弹力做功跟弹性势能的变化关系知FΔx＝ΔEp，式中ΔEp＝0.54J，F＝Fm+02，Δx＝0.1m，解得Fm＝E－x图像【例7】（多选）如图甲所示，固定在水平面的倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体在沿斜面方向的力F的作用下由静止开始向下运动，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，物体的机械能E随位移x的变化关系如图乙所示。其中0～x1过程的图线是曲线，x1～x2过程的图线为平行于x轴的直线，重力加速度为g，下列说法中正确的是（）A.在x1～x2过程中，F等于摩擦力B.在0～x1过程中，F逐渐增大C.在x1～x2过程中，物体的加速度为gsinθD.在0～x2过程中，拉力F做的功为WF＝E1－E2答案：ABC解析：根据图像可知，在x1～x2过程中，机械能不变，根据功和能的关系，可知拉力与摩擦力的总功等于零，则有（F－f）x＝0，解得F＝f，A正确；在x1～x2过程中，根据牛顿第二定律得F－f＋mgsinθ＝ma，F＝f，解得a＝gsinθ，C正确；根据图像，可知在0～x1过程中，机械能减少，根据功和能的关系，可知拉力F与摩擦力的总功小于零（F－f）x＜0，所以F＜f，又图像的斜率表示拉力和摩擦力的合力，即F合＝f－F，因为图像的斜率减小，所以合力减小，F逐渐增大，B正确；在0～x2过程中，根据功和能的关系，可知拉力F与摩擦力的总功等于机械能的增量，即WF－Wf＝E2－E1，解得WF＝E2－E1＋Wf，D错误。E－t图像【例8】在沿斜面向上的恒力F作用下，一物体从足够长的光滑斜面的底端由静止开始向上运动，在某一高度撤去恒力F。以地面为零势能面，设重力势能为Ep、机械能为E，则整个向上运动过程中，它们随时间t变化的图像正确的是（）答案：A解析：根据题意可知，撤去恒力F前，物体做初速度为零的匀加速运动，设加速度为a1，撤去恒力F后，物体做匀减速运动，设加速度为a2，匀加速后物体的速度为v，斜面倾角为θ，则重力势能Ep＝12mga1t2sinθ，可知重力势能与时间t为二次函数，Ep－t图像是开口向上的抛物线，撤去恒力F后，设匀加速运动的时间为t0，Ep＝mg·12a1t02sinθ＋mgv（t－t0）sinθ－12mga2（t－t0）2sinθ，可知重力势能与时间t仍为二次函数，Ep－t图像是开口向下的抛物线，故B错误，A正确；根据题意，由功能关系可知，撤去恒力F前，物体的机械能为E＝Fx1＝12Fa1t2，可知，机械能与时间t的图像为开口向上的抛物线，撤去恒力F后，只有重力做功，机械能保持不变跟踪训练·巩固提升1.（2024·湖北武汉模拟）如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定，小球从弹簧的正上方某一高度处由静止下落。不计空气阻力，则从小球接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（）A.小球的动能一直减小B.小球的机械能守恒C.小球的重力势能先减小后增加D.弹簧的弹性势能一直增加解析：D小球在刚接触弹簧时小球的加速度等于重力加速度，在压缩的过程中，弹簧的弹力越来越大，小球的加速度越来越小，直到弹簧的弹力等于小球所受到的重力，小球的加速度为0，速度最大，由于惯性，小球还是继续压缩弹簧，弹簧的弹力开始大于小球受到的重力，小球减速，直到小球的速度为0，这时弹簧压缩到最短，所以小球的动能是先增大后减小，弹簧的弹性势能是不断增加的，故A错误，D正确；压缩弹簧的过程中，弹性势能增加，故小球的机械能减小，故B错误；小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的高度不断减小，重力势能不断减小，故C错误。2.（2024·广东汕头模拟）如图所示，某跳水女运动员在三米板的训练中，她从高处落到处于自然状态的跳板上（A位置），随跳板一同向下运动到最低点（B位置），对于运动员从开始与跳板接触到运动至最低点的这个过程中，不计空气阻力，下列说法中正确的是（）A.跳板对运动员支持力先增大后减小B.运动员先是处于超重后处于失重状态C.跳板对运动员支持力做的功等于运动员机械能的变化量D.运动员的重力势能与跳板的弹性势能之和先增大后减小解析：C运动员从开始与跳板接触到运动至最低点过程中，开始重力大于跳板的弹力，运动员加速下降，后来跳板的弹力大于运动员的重力，运动员减速下降，所以运动员先失重后超重，跳板对运动员的支持力一直增大，故A、B错误；除重力之外的其他力做的功等于运动员机械能的变化，所以跳板对运动员支持力做的功等于运动员机械能的变化量，故C正确；运动员下降过程中，只有重力和弹力做功，运动员和跳板组成的系统机械能守恒，所以运动员的重力势能加跳板的弹性势能加运动员的动能等于恒量，由于运动员的动能先增大后减小，所以运动员的重力势能与跳板的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。3.（2024·四川巴中一模）小球以一定的初速度竖直上抛，在其向上运动过程中，空气阻力与速度大小成正比，则其机械能E（以抛出点为零势能点，抛出时机械能为E0）随小球上升高度h变化的规律下列图像正确的是（）解析：C根据功能关系ΔE＝fΔh，解得f＝ΔEΔℎ，即E－h图线斜率的绝对值等于空气阻力的大小，在上升过程中，h增大，小球的速度减小，在其向上运动过程中，空气阻力与速度大小成正比，所以空气阻力随之减小，图线的斜率应逐渐减小，直至为零。故C正确，A、B4.（2024·贵州贵阳模拟）篮球比赛中，进攻球队获得罚球机会。罚球时球员站在罚球线后面立定向斜上方抛球，投进一个空心球。球从离手到进入篮框为止的过程中，其动能Ek随距地面的高度h变化的图线最接近下列哪个图（图中箭头的方向表示过程的先后顺序）（）解析：D篮球离手后受重力和空气阻力作用，水平方向做减速运动；竖直方向在上升过程中最高点速度减到零，由于重力大于空气阻力，下落过程加速运动，所以在最高点时动能最小，动能先减小后增大，故A、B、C错误，D正确。5.（多选）（2024·北京海淀一模）如图所示，两个质量均为m的物块用劲度系数为k的轻弹簧相连，竖直放置在水平面上静止。现用竖直向上的力F拉着物块M缓慢向上提，直到物块N刚好要离开地面为止。重力加速度为g。上述过程中，下列判断正确的是（）A.拉力F的大小从零逐渐增大到2mgB.拉力F做的功等于M的重力势能的增加C.弹簧的弹性势能逐渐增大D.该过程的初状态和末状态弹簧的弹性势能相同解析：ABDF拉着物块M缓慢向上提，直到物块N刚好要离开地面为止，此时，对M、N整体有F＝2mg，可知整个过程拉力F的大小从零逐渐增大到2mg，故A正确；初始对物块M分析得弹簧的压缩量x1＝mgk，物块N刚好要离开地面时，弹簧的伸长量为x2＝mgk，可知初态弹簧的压缩量与末态弹簧的伸长量相等，所以该过程的初状态和末状态弹簧的弹性势能相同，弹性势能变化量为零，由功能关系可知拉力F做的功等于M的重力势能的增加量，故B、D正确；弹簧由压缩到伸长，弹性势能先减小后增大，故6.滑沙运动类似滑雪和旱地雪橇，一游客从斜面上距水平地面h高处以g6的加速度由静止滑至地面，游客连同滑板质量为m，斜面倾角为θ＝30°，当地重力加速度为g。下列说法中正确的是（A.游客连同滑板克服摩擦力做功13B.游客连同滑板的机械能减少23C.游客连同滑板的动能增加16D.斜面对滑板的作用力不做功解析：B游客连同滑板沿斜面做匀加速直线运动，根据v2＝2ax，滑至地面的速度为v＝2ax＝2×g6×ℎsin30°＝2gℎ3，设克服摩擦力做的功为Wf，根据动能定理得mgh－Wf＝12mv2，解得Wf＝23mgh，故A错误；根据能量守恒定律知，游客连同滑板机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，为23mgh，故B正确；动能的增加量为ΔEk＝12mv2＝13mgh，故C错误；斜面对滑板的作用力为支持力和摩擦力7.（多选）（2024·贵州贵阳模拟）如图所示，倾斜成与水平面夹角为45°角的固定直杆上套有一质量为m的小球（可视为质点），小球可沿杆滑动，轻质弹性绳一端固定于O点，另一端连在小球上。将小球从与弹性绳水平的位置M（此时弹性绳的长度为L）由静止释放，当小球运动到弹性绳与杆垂直的位置P时，弹性绳长度刚好为原长，小球沿杆下滑到弹性绳竖直的位置N时速度减为零。若弹性绳始终在弹性限度内且弹性绳弹力与其形变量成正比，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（）A.小球在P点时的加速度大小为22B.从M到P，小球克服摩擦力做的功为12C.小球在P点的动能等于从M到P弹性绳减小的弹性势能D.小球从M到P的过程中损失的机械能小于从P到N的过程中损失的机械能解析：BC根据题意可知，小球运动到P点时，沿杆方向除重力的下滑分力以外，还受到摩擦力的作用，由牛顿第二定律可知，其加速度a＝gsin45°－fm＝22g－fm，故A错误；根据题意，小球从M到N的过程中，由动能定理有mgL－Wf＝0，根据小球受力及对称性可知，当小球位于关于P点对称的两个位置时，杆对小球的支持力大小相等，故其所受摩擦力大小也相等，因此小球从M到P的过程中摩擦力对小球做的功等于从P到N的过程中摩擦力对小球做的功，则有W1＝12Wf＝12mgL，故B正确；结合B项分析可知，从M到P，重力对小球做的功的大小等于小球克服摩擦力做的功，故弹性绳减小的弹性势能转化为小球的动能，故C正确；根据上述分析可知，小球从M到P的过程中摩擦力对小球做的功等于从P到N的过程中摩擦力对小球做的功，因此小球从M到P的过程损失的机械能等于从P到N8.（2023·辽宁高考13题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80m/s时离开水面，该过程滑行距离L＝1600m、汲水质量m＝1.0×104kg。离开水面后，飞机攀升高度h＝100m时速度达到v2＝100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g＝10m/s2。求：（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。答案：（1）2m/s240s（2）2.8×107J解析：（1）飞机在水面滑行阶段，由匀变速直线运动规律有v12＝解得a＝2m/s2又v1＝at解得t＝40s。（2）整个攀升阶段，对飞机汲取的水分析，则其机械能的增加量为ΔE＝mgh＋12mv22－解得ΔE＝2.8×107J。9.如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝34，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮