2024-2025学年河南省濮阳市高三上册第二次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省濮阳市高三上学期第二次月考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.1 B.0 C. D.3.已知平面上三个单位向量满足，则（）A B. C. D.4.一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（）A. B. C. D.5.由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（）A.无法确定采用哪种方案划算 B.两种方案一样划算C.采用第一种方案划算 D.采用第二种方案划算6.若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（）A.0 B.3 C.4 D.57.已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（）A. B. C. D.8.如图所示，直线与曲线y=fx相切于两点，其中．若当时，，则函数在0,+∞上的极大值点个数为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列的前n项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（）A. B.数列为等差数列C.数列中的最小项为12 D.数列的前2n项和为10.已知函数定义域为，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.方程有整数解C.是偶函数 D.是偶函数11.如图，在长方体中，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是（）A.线段长度的最小值为B.存在点，使C.存在点，使平面D.以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知的展开式中各项系数的和为4，则______．13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为______．14.在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为_______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角的对边分别为，其面积.（1）若，求；（2）若，求的最大值，并判断此时的形状.16.如图1，等腰中，底分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：平面；（2）为线段上靠近三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.17.贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．18.已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.（1）求的方程；（2）求弦长（用表示）；（3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.19已知函数，，（）．（1）求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）设，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点，且．

2024-2025学年河南省濮阳市高三上学期第二次月考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】解出集合，再根据交集与补集的含义即可.【详解】，则，则.故选：A.2.已知，则（）A.1 B.0 C. D.【正确答案】D【分析】把两个已知等式两边平方相加，结合两角差的余弦公式可求得结果.【详解】已知，则有，，两式相加得，则，所以.故选：D.3.已知平面上三个单位向量满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将平方后求出，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知平面上三个单位向量满足，则，即，则，故，故选：C4.一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为.故选：A.5.由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（）A.无法确定采用哪种方案划算 B.两种方案一样划算C.采用第一种方案划算 D.采用第二种方案划算【正确答案】D【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得.【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．第一种方案均价：，当且仅当时取等号；第二种方案的均价：,因，则，故，当且仅当时取等号.所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选：D．6.若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（）A0 B.3 C.4 D.5【正确答案】D【分析】根据题意，求得的值，得到数列an是周期为6的数列，结合，即可求解.【详解】数列an的前项和为，且满足，且，可得，，所以数列an是周期为6的数列，其中，所以.故选：D7.已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解.【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，联立解得，不妨取，同理可得，则，因为四边形是平行四边形，于是，由于点在上，所以，因此，故C正确.故选：C．8.如图所示，直线与曲线y=fx相切于两点，其中．若当时，，则函数在0,+∞上的极大值点个数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据斜率为的切线条数，结合图象直接判断即可.【详解】根据图象，可分别作出斜率为的另外三条切线：，切点分别为，如图所示：当时，；当时，；设，则，在上单调递增，在上单调递减，有，和三个极大值点.故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列前n项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（）A. B.数列为等差数列C.数列中的最小项为12 D.数列的前2n项和为【正确答案】ABD【分析】首先根据递推关系式以及与的关系求得an的通项公式，则AB可判断；列出的关系式，结合对勾函数的性质即可判断C；利用分组求和、并项求和的方法即可求出，则D可判断.【详解】依题意，，，满足，，，，A，B正确；，当时递增，当时递减，当时，，当时，，最小值为．C错；而，.D正确．故选：ABD．10.已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.方程有整数解C.是偶函数 D.是偶函数【正确答案】A【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得：，则取，得，则，取，得，则，故正确；对于B，取，得，则，当x>1时，有：，以上各式相加得，所以，而，故当时，有所以,所以当时，令，得，此方程无解，当时，，也无解，当x=−1时，，也无解，故B错误.对于C,若是偶函数，则应有，而，故C错误;对于D,若fx−1是偶函数，则应有，由，，取，得所以而，故D错误;故选：A11.如图，在长方体中，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是（）A.线段长度的最小值为B.存在点，使C.存在点，使平面D.以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为【正确答案】AC【分析】求出腰上的高判断A，把面沿摊平到平面上，通过平面的性质求解判断B，连接，设，过作交于点，证明线面垂直判断C，求出到截面的距离后再计算出截面圆半径、面积判断D．【详解】选项A，由已知，，如图1，是等腰三角形，，则，所以边上高为，A正确；选项B，把矩形沿摊平到平面上，如图2，则，，这是的最小值，显然，即，因此B错；选项C，连接，设，在平面上过作交于点，如图3，长方体中易知，由已知，，又且，因此，则，所以，所以，又长方体中与侧面垂直，侧面，因此，与是平面内两条相交直线，因此平面，又平面，所以，，且平面，所以平面，C正确；选项D，设，连接，作，垂足为，如图4，由平面，平面得，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以，，平面，所以平面，由已知，，则，平面截球所得截面圆半径为，则，所以截面圆面积为，D错．故选：AC．方法点睛：空间线段和的最小值问题，一般采用空间问题平面化，即通过翻折让各线段所成平面变成同一个平面，然后由平面两点间线段最短得出结论．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知的展开式中各项系数的和为4，则______．【正确答案】3【分析】赋值法，令代入得各项系数和，列式计算即可.【详解】令得展开式中各项系数和，则，解得.故3.13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为______．【正确答案】211【分析】设数列为,根据题意，累加法求出的通项公式，求出.【详解】设数列为,根据题意，则累加可得,所以，故.故答案为.14.在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为_______.【正确答案】【分析】假设抛物线，，，，，进而得到的坐标，代入抛物线即可得到，进而得到.将抛物线逆时针旋转个单位，则分别旋转到轴上的点，因此可以求旋转后的抛物线对称轴的斜率，又准线与抛物线对称轴垂直，因此斜率相乘等于，进而求出准线的斜率.【详解】设抛物线，，，，，如图所示，则，，即，又在上，，故，又，所以，故逆时针旋转后,分别旋转到轴上的点，此时抛物线对称轴斜率为，而准线与对称轴垂直，故.故答案为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角的对边分别为，其面积.（1）若，求；（2）若，求的最大值，并判断此时的形状.【正确答案】（1）（2）最大值为，等腰直角三角形【分析】（1）根据三角形的面积公式列方程，从而求得.（2）利用余弦定理、三角恒等变换等知识求得的最大值，再由此求得、，从而判断出三角形的形状.【小问1详解】由，得【小问2详解】由得，所以得最大值为，此时，所以（舍去）或，从而，故是以为直角顶点的等腰直角三角形.16.如图1，等腰中，底分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：平面；（2）为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得答案；（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图，由（1）知平面，取的中点，连接，则，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，可得，，由得，则，设n=x,y,z为平面则，即，令，则，所以，为平面的一个法向量，所以，由图可得平面与平面夹角的余弦值为.17.贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．【正确答案】（1）100（2）0.3（3）分布列见解析，1.4【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值；（2）由正态分布的对称性即可算出结果.（3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望.【小问1详解】；【小问2详解】因为，所以，所以．【小问3详解】设1人获赠贵妃杏的个数为，则．依题意可得的可能取值为，，，，，，则的分布列为012340.250.30.290.120.04所以.18.已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.（1）求的方程；（2）求弦的长（用表示）；（3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.【正确答案】（1）（2）答案见解析（3）【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）分和，当时，直接求出，当时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解；（3）根据题设，先求出和时，四边形的面积，再求出时，，从而得出，再通过化简，得到，令，通过求出的最大值，即可解决问题.【小问1详解】由题知，又，得到，所以，故椭圆的方程为.【小问2详解】设，因为直线经过点，且倾斜角为，当时，直线，由，解得，，此时，当，设直线的方程为，其中，由，消得到，又，所以，即，综上，当时，；当时，.【小问3详解】直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以，当时，易知，，此时四边形面积为，当时，可设，其中，同理可得，当时，，，此时四边形面积为，当且时，四边形面积为①，又，代入①化简得到，即