中考数学三轮冲刺培优训练专题15猜想归纳与变式规律问题（原卷版）

专题15猜想归纳与变式规律问题（押题预测40题：代数式、图形、几何、函数）类型一、数与式的变化规律1．观察下列按一定规律排列的单项式：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，﹣11x6，…，按这个规律，第15个单项式是（）A．15x15 B．﹣15x15 C．29x15 D．﹣29x152．观察下列按一定规律排列的数：﹣3，1，9，1，﹣27，1，81，1，…，则第15个数为（）A．315 B．﹣315 C．38 D．﹣383．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（）A．∁nHn+3 B．∁nH2n+2 C．∁nH2n D．∁nH2n﹣24．观察下列各数的排列规律：3，54，79，916，1125，5．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（图1所示），把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2所示）．观察图1、图2，请你探究出洛书三阶幻方中的奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，并用这个规律，求出图3幻方中ab的值为6．人们把5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5−12，b=5+12，得ab＝1，记S1=11+a+11+b，S2=17．仔细观察下列各式：第1个等式：12+22+22＝（2+1）2；第2个等式：22+62+32＝（6+1）2；第3个等式：32+122+42＝（12+1）2；请你根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：；（2）写出第n（n为正整数）个等式，并证明等式成立．8．观察下列等式的规律，并解决问题：第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1……（1）请写出第4个等式：；（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．9．观察下列等式的规律，解答下列问题：第1个等式：12+22+32＝3×22+2．第2个等式：22+32+42＝3×32+2第3个等式：32+42+52＝3×42+2．第4个等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）请你写出第5个等式：．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．10．观察一下等式：第一个等式：12第二个等式：12第三个等式：12…按照以上规律，解决下列问题：（1）12+（2）写出第五个式子：；（3）用含n（n为正整数）的式子表示一般规律：12+（4）计算（要求写出过程）：32类型二、图形的变化规律11．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（）A．41 B．37 C．33 D．3212．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7 B．8 C．9 D．1013．把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（）A．12 B．14 C．16 D．1814．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，（1）（2）（3）（4）为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），则第（5）个图形中包含个小正方形．15．如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n﹣1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是．16．下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有个小正方形，第n个图中有个小正方形（用含n的代数式表示）．17．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2022B2022A2023的边长为．18．观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为；（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．19．用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．[观察思考]第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；第（2）个图形中有2×（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；第（3）个图形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；第（4）个图形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；……以此类推[规律总结]（1）第（5）个图形中有张正方形纸片（直接写出结果）；（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+……+n＝；（用含n的代数式表示）[问题解决]（3）根据你的发现计算：101+102+103+……+200．20．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律．①•→4×0+1＝4×1﹣3；②→4×1+1＝4×2﹣3；③→4×2+1＝4×3﹣3；④→；⑤→．（1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；（2）猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式为．类型三、周长与面积的变化规律21．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A'、B'、C'分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A'B'C'分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是（）A．64×(12)nC．32×(12)22．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（）A．12na B．13na C．1223．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…按此规律继续下去，则矩形ABn∁nCn﹣1的周长为（）A．3×（52）n B．3×（52）n﹣1 C．6×（52）n D．6×（5224．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1；按这样的规律进行下去，第2018个正方形面积为（）A．5×（32）4034 B．5×（32）2017 C．5×（94）2018 D．5×（25．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第2017个正△A2017B2017C2017的面积是（）A．34×（14）2016 B．34×C．34×（12）2016 D．3426．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、FG的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是．27．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为．28．如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以对角线OB1为边作第二个正方形OB1B2C2，再以对角线OB2为边作第三个正方形OB2B3C3，…，则第二个正方形OB1B2C2的面积为，第n个正方形OBn﹣1Bn∁n的面积为（用含n的代数式表示）．29．如图，已知OP＝1，过P作PP1⊥OP，且PP1＝1；再过P1作P1P2⊥OP1；且P1P2＝1；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1；又过P3作P3P4⊥OP3且P3P4＝1；…，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形Rt△OPP1，Rt△OP1P2，Rt△OP2P3，Rt△OP3P4，…，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，那么S2022＝．30．如图，△A1B1C1的面积为a，分别延长△A1B1C1的三条边B1C1、C1A1、A1B1到点B2、C2、A2，使得C1B2＝B1C1，A1C2＝A1C1，B1A2＝A1B1，得到△A2B2C2；再分别延长△A2B2C2的三条边B2C2、C2A2、A2B2到点B3、C3、A3，使得C2B3＝B2C2，A2C3＝A2C2，B2A3＝A2B2，得到△A3B3C3；…．按照此规律作图得到△AnBn∁n，则△AnBn∁n的面积为．类型四、函数与点的坐标变化规律31．二次函数y＝x2+x的图象与直线l1：y1＝2x有一个交点A1（1，2），与直线l2：y2＝3x有一个交点A2（2，6），与直线l3：y3＝4x有一个交点A3（3，12），……则与直线ln的一个交点An的坐标是（）A．（n，n2+n） B．（n，n2） C．（n+1，n2+n） D．（n，2n）32．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（2，0），A2（1，﹣1）A3（0，−2），…，则A2022A．（﹣1，1） B．(0，2) C．(−33．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（）A．（12）2021 B．（12）2022 C．（12）2023 D．（34．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），点A1，A2，A3，A4，A5，……按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点An（为正整数）的纵坐标为﹣2022，则n的值为（）A．4042 B．4043 C．4044 D．404535．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为（）A．（﹣22022，0） B．（22022，0） C．（22022，22022） D．（﹣22021，﹣22022）36．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从A（﹣1，0）跳到点P1（0，1），第二次跳到点P2（1，0），第三次跳到P3（2，﹣2），第四次跳到P4（3，0），第五次跳到P5（4，3），第六次跳到P6（5，0）．第七次跳到P7（6，﹣4），第八次跳到P8（7，0），第九次跳到P9（8，5），……，按这样的跳动规律，点P2022的坐标是（）A．（2020，0） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2023，0）37．如图，将边长为1，1，2的等腰直角△ABO沿x轴正方向连续滚动．点A依次落在点小A1，A2，A3，A4……的位置，则A2022的坐标是．38．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣5，0），C（5，10），点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点G的坐标为．39．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点