2025年新高考数学一轮复习：奔驰定理与四心问题【五大题型】解析版

奔驰定理与四心问题【五大题型】

►题型归纳

【题型1奔驰定理】...........................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................6

【题型3垂心问题】...........................................................................9

【题型4内心问题】..........................................................................12

【题型5外心问题】..........................................................................15

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容,

在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知P为△N8C内一点，且满足力+心丽+心反'=3,贝!］有/\APC.△2PC的面

积之比为心：省:九.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

---->--->--->今

②重心的向量表示：如图，在△N8C中，点尸为△48C重心台P/+P8+PC=0.

③重心坐标公式：设/。5)，8(X242)，为)，则△ABC的重心坐标为

'修+电+匕

,V1+V2+J3\

,3'37'

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△48C中，点尸为△4BC垂心二万1•无=瓦•记=译•记.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

~4RAC

②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量悬+告所在的直线上，点尸为^

网㈤

A8C内心今\AB\-PC+\BC\-PC+\CA\-PB.

Bc

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△/8C中，点尸为△/2C外心=|/|=|诟|=|四

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

(1)0是△45C的重心：S^BOC^^COA'S^AOB=1：1：1=OA+OB+OC=0.

(2)0是△ZBC的垂心：S^BOC'-SACOA,-S/^AOB—tan^4:tan^:tanC<^>tan^4OA+tanBOB+tanCOC=0.

(3)0是△45。的内心：S△BQC：SACQA：S△AQB=a\b\c^aOA+bOB+cOC=0.

(4)。是△ZBC的外心：

—>—>—>->

S^BOC-S^COA-S^AOB—sin2A:sin25:sin2Csin2AOA+sin25O8+sin2coe=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

【例1】（2024高三・全国•专题练习）已知点4B,C,P在同一平面内，PQ=^PA,QR=^QB,RP

RC,贝USA^BCS^PBC等于（）

【解题思路】先根据向量的线性运算得到4西+6而+9而=6,然后再利用奔驰定理即可求解.

【解答过程】由赤=融可得：熊-丽=脾-PQ）,

整理可得：而=癖+|而=婢+河，

由而=界可得而=*玩—而），整理可得：~PR=-^PC,

所以一河=婢+河，整理得：4PA+6PB+9PC=0,

由奔驰定理可得：S^ABC：SAPBC=(4+64-9):4=19:4,

故选：B.

【变式1-1］（23-24高一下•广西南宁•期末）已知。为△2BC内一点，且满足3万I+4而+5瓦=2话+3就

+CA,则爱丝=()

、△ABC

3

AB.C.D.

-I；4I5

【解题思路】由题意可得亚？+50B+30C=0,方法一：延长而至H点，令丽=颉？+到=|?0,从而

可得4口方三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可.

【解答过程】因为3瓦1+4砺+5万=2亚+3近+乙5,

所以3瓦？+4而+5沆=2（OB-OA）+3（OC-OB）+（OA-OC）,

-->-->-->—>

即404+5OB+3OC=0.

方法1：4OA+5OB=3CO,即铸+|oB=1CO,

延长万至H点，令而=数？+|而=痴，即4H,B三点共线,

则也g=也=士

S/MBCHC4

方法2：由奔驰定理，SBOc-.SAOC：SAOB=4:5:3,故蓑售=4+:+3='

故选B.

【变式1-2］（23-24高一下•湖北•期中）奔驰定理：已知。是△4BC内的一点，△BOC,△40C,AA0B

的面积分别为S.SB，SC,则山-OA+SB-OB+SC-OC=。.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形48C内一点,

且满足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,则沁=（）

3△ABC

【解题思路】直接根据向量的基本运算得到3m+OB+20C=0,再结合“奔驰定理”即可求解结论.

【解答过程】解：:。为三角形4BC内一点，且满足五5+2赤+3沆=3历+2而+ZX

•••OA+2OB+3OC=3（05-OX）+2（OC-OB）+（OA-OC）^3OA+OB+2OC=0,

,**S4•OA+SB,OB+Sc,OC—0.

.S^AOBSMOB1

公

SAABCS4AOB+SBOC+SAAOCSA+SB+SC3'

故选：D.

【变式1-3］（23-24高三上•河南南阳•期中）奔驰定理：已知。是44BC内的一点，ABOC,AAOC,440B的

面积分别为力，SB，SC，则山•Dl+SB♦砺+S0•祝=I“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若。是

锐角/力BC内的一点，A,B,C是448C的三个内角，且点。满足•砺=加・瓦=沅•瓦5,贝ij必有（）

_____X______X_____X—

A.sinZ•OA+sinB•OB+sinC-OC=0

B.cosA•OA+cosB,OB+cosC-OC=0

、、、—

C.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

D.sin2X-OA+sin2S-OB+sin2C-OC=0

【解题思路】利用已知条件得到。为垂心，再根据四边形内角为2兀及对顶角相等，得到44。3=兀一C,再

根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到|瓦?|：|而|：|沆|=cosAcosB:cosC,进而求出山与腌的值,

最后再结合“奔驰定理”得到答案.

【解答过程】如图，因为瓦I•丽=加・瓦=沆・瓦?，

所以福•（瓦？一沆）=On而•不=0,同理瓦？・丽=0,OC-AB=0,

所以。为4aBe的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以N40B=TT—C,

：.~OA-~OB^\OA\\OB\COS（TT-C~）=-\OA\\OB\cosC.

同理，.-.~OBOC=-\OB\\OC\cosA,

：.'OC-~OA=-\OC\\OA\cosB,

|OX||OB|cosC=|OB||OC|cos4=|OC||o2|cosS.

.西|函cos'_I函研cos/_西函cosB

••—»—•—•—»—>—»—»—•—），

\OA\\OB\\OC\\OA\\OB\\OC\\OA\\OB\\OC\

\OA\'.\OB\-.\OC\=cosA:cosB:cosC.

i—>—>i—»—>

又=和训"归皿兀_4=和B||OC|sinA

11

SB=2两|国sin（7r-B）="\OA\\OC\sinB

11

Sc=2I西明sin（7r-C）=-1询明sinC

sin/sinBsinCsin#sinBsinC

SS=tan>l:tanF:tanC.

"A-B-SC=两:两:而=coSi4'cosB'cosC

由奔驰定理得tanA•~0A4-tanB-OB+tanC-OC=0.

故选C.

【题型2重心问题】

【例2】(2024•贵州六盘水•三模)已知点。为△4BC的重心，AC=WA+^0B,则％+〃=(

A.-3B.-2C.1D.6

【解题思路】作出图形，将64折作为基底，先把前用瓦彳,被，配表示，再将品也用瓦《而表示，将等式整

理得到推导出照=—2刀一而，结合平面向量基本定理算出无〃的值，进而算出答案.

【解答过程】根据向量加法三角形运算法知前=同+阮=而+砺+近(*)；

产为中点，则前=2而=2（函+市）（**）；

点。为△48C的重心，则5?=|XO,

代入（**）得至U，BC=2（B0+|/i0）=2B0+AO,

代入（*）得至|J,AC=AO+~OB+2B0+A0=-20A-~0B,

结合力C=AOA+11OB,可得2=——1,所以2+[i——3.

故选：A.

【变式2-1](2024•陕西西安・一模)已知点P是△ABC的重心，贝U()

A.AP=|AB+B.AP=^AB+^AC

C.APIAC+^BCD.AP=^AB+|fiC

【解题思路】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】设BC的中点为。，连接4。，点P是△ABC的重心，则P在4。上，

且4P=|ao=(x+AC)=|(2XB+BC)=|&B4-|fiC

=I或+CB)+=|XC-|BC,

由此可知A,B,C错误，D正确，

故选：D.

【变式2-2]⑵-24高一下•四川巴中•阶段练习)已知点G为△ABC的重心，D,E分别是边上一点，D,G,E

三点共线，产为BC的中点，若赤=2前+〃族，贝心+9的最小值为()

AM

927

A.6B.7C.-D.y

【解题思路】根据重心性质可得而=苑，再由三点共线得出与+?=1(2>0,〃>0),根据“1”的变形技

巧利用均值不等式求最值.

【解答过程】由点G为△ABC的重心，F为BC的中点知，

AF=^AG=AAD+/1AE,

所以正=争5+等花，

因为D,G,E三点共线，分别是48/C边上一点，

所以F+与=>0#>0)<即％+〃=熬>0,4>0),

海=|（4+4）（*）=|（5+竽+：）2|（5+2杵1）=6,

当且仅当y=1,即2=1,〃=树等号成立，

A.P-Z

故选：A.

【变式2-3］（2024高一下•上海•专题练习）设点。是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若市+砺+方=6,则。为△4BC的重心；

B.若+砺）•同=05+反）•前=0,则。为△ABC的垂心；

C•若儒+与・品=。，磊•焉4则△4'C为等边三角形;

D.若市+2OB+3OC=6,贝巾^^。。与&4BC的面积之比为S^BOCSAABC=1：6.

【解题思路】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判

断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△8OC与A48C的面积之比判断选项

D.

【解答过程】对于A,如图，取4B边中点£>,连接2B边上的中线CD,则初+而=2而，

又•.•51+丽+方=6,二2赤+瓦=6,.•.|OC|=2|OD|,

工。为△力BC的重心，故选项A正确；

对于B,如图，取4B边中点D,BC边中点E,连接OD,OE,

则瓦?+~OB=2OD,OB+OC=2OE,

•■•（OX+0B）-AB=（0B+0C）-BC=0,

：.20D-AB=2OE-~BC^0,

.■.OD-AB=OE-BC=0,■■.OD1AB,OE1BC,

.-.ODLAB,OEIBC,

.■.OD,OE分别是48,BC边上的垂直平分线，

,-.0A=OB=OC,。为△ABC的外心，故选项B错误;

c

对于c,作角a的内角平分线4E与BC边交于点E,

・••儡为四方向的单位向量，焉为前方向的单位向量，

.•.7=^7+7=S[=A.AE(A>0),

则\AC\

；.(篇+匐.BC=AAEBC=0(A>0),

.-.XE1BC,:.AELBC,:.AC^AB,△ABC为等腰三角形,

立瓦J瓦瓦?尻c1口n.、C冗

又：丽'丽=丽丽=cosB=5,且B6(0.7T),：.B=3'

.•.△ABC为等边三角形，故选项C正确；

对于D,设。=20B,0C=30C,

由35+2福+3瓦=6,^OA+OB'+OC=0,

则由选项A可知，。为△ABC的重心,设△289的面积S—nc-电

1

:^^AOC=SAAOB，=S△夕0C，=§a，

ii

又「08=5。用，OC=-OC,

111111

•••S/V10C=^/\AOC=9a,SAAOB~5s△408,=-CL?=^AB,OC=五

=SMOC+SMOB+S^BOC=/

11

•S△BOC：SAABC=/±aoqoa=1：6,故选项D正确.

B'

【题型3垂心问题】

【例3】（23-24高一下•上海浦东新•期中）。是平面上一定点，A,B,C平面上不共线的三个点，动点P满

S^OP=OA+A—^--+-^-—）,AeR,则P的轨迹一定通过△ABC的（）

\\AB\COSZ.ABC\AC\COSZ.BCAJ

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推

出向量垂直即可.

【解答过程】如图所示，过点4作4018C,垂足为。点.

国||函

则丽・丽居嬴cosgB)=一|府,

\AB\COSZ.ABC

同理说—=[BC\,

\AC\COSAACD11

动点P满足而=0A+2(——+——1ASR.

\\AB\^COSABC\AC\COSZ.BCAJ

：.而='(一荏——+一———1AGR.

\\AB\COSZ.ABC\AC\COSZ.ACD)

...AP-BC=产荏+)=/1(-|BC|+|BC|)=0,

\\AB\COS/LABC\AC\COSZ-ACDJ

：.APL~BC,

因此P的轨迹一定通过△48C的垂心.

故选：D.

【变式3-1］（23-24高一下•广东东莞•期末）已知在△ABC中，。是△A8C的垂心，点P满足：3M=物+

|0B+20C,则AABP的面积与△ABC的面积之比是

i

AB.ID.

-1c12

【解题思路】根据向量加法可得观+婢=两，进而根据向量的线性运算可得询=2次，进而判断出

点P的位置，即可求解面积之比.

【解答过程】

如图，设的中点为M,

贝岭瓦5+”=的,

故由3加=翅+癖+2沅可得2加=两一而+2瓦，BP20P-20C=OM-OP,也即两=2斤，由

7

向量的共线定理可得C,P,M共线，且MP=E"C,

所以结合图形可得及=^=|,

'△ABCMC37

故选:A.

【变式3-2]（23-24高一下•山东•期中）设”是△ABC的垂心，且3而+4近+5近=6,贝|cosN4”B的值

为（）

A.—粤B.—亭C.—粤D.—等

105614

【解题思路】根据题意，由垂心的向量表达式可得笳-HB^HA-HC^HB-HC,结合条件即可分别求得

\HA\,\HB\,结合向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.

【解答过程】因为H是△ABC的垂心，所以瓦？•。万一近）=0,即瓦？,而=沅？♦沆，

同理可得而•（而一比）=0,

所以万1-~HB=~HA-~HC=~HB-~HC,

设瓦?~HB=HA-HC=~HB~HC=x,

因为37n+4HB+5HC=0,所以3方•~HB+4HB-HB+5HC•血=0,

所以|而|=7—2x,x<0,同理可得|万了|=V—3x,

所以cos乙=

|/M||HB|-V-2xxV-3x一

故选：c.

【变式3-3](2024高三下•全国・专题练习)如图，已知。是△4BC的垂心，且万？+2万+3沆=6,则

tanz_84C:tanZ718C:tanZJlC8等于()

A.1:2:3B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【解题思路】延长C。，B0,4。分别交边AC,于点尸，M,N,利用同底的两个三角形面积比推得

tanZ-BAC:tan/-ABC\Z.ACB=SABOC：S/\AOC：SAAOB，从而得解.

【解答过程】。是的垂心，延长CO,BO,4。分别交边ZB,AC,BC于点P,M,N,如图，

A

则CPJ.ZB,BMLAC,ANLBC,乙BOP=ZJBAC,/.AOP=2LABC,

S^BOC-zOCBPBPOPtan^BOPtan/LBAC

因此,

Sz\aoc-OCAPAPOPtanz.AOPtanz.ABC

I^AFOC_tanz.BAC

$乙408tan乙4cB

于是得tanz_BAC:tanZJlBC:tanZjlCB=S/^B0C:S^0C:Sf

XOA+2丽+30C=0

由"奔驰定理"有S4BOC•0A+S^oc,OB+SAAOB'℃=°

^9^B0C:S^A0C:S^AOB=1：2:3,ffyHktanZ.BAC:tanZ.ABC:tanZ.ACB=1:2:3,

故选：A.

【题型4内心问题】

【例4】（2024・四川南充•三模）已知点P在△ZBC所在平面内，若丽・（隽一累；）=丽•（篙一悬

“I网\BC\\BA\

)=0,则点尸是△48。的()

A.夕卜心B.垂心C.重心D.内心

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得4P平分NBAC,BP平分乙4BC,结合

三角形内心定义判断即得.

【解答过程】在△国中，由两儡-氤=。，得刀濡=刀湍，

.*ACABr.4二/BCBA、八PTBOBC__?BA

即nrI/P・-=7=ZP,=r,由尸8•(="-=■)=0,同理得BP•="=BP・=~,

\AC\\AB\V\BC\\BA\y\BC\\BA\

显然力P40,即P与4不重合，否则cosN4BC=l,同理BP70,

则|4P|cosNP4C=\AP\cosZ-PAB,即cosNP力C=cosZ.PAB,Z.PAC=Z.PAB,

于是力「平分ZB力C,同理BP平分N4BC,

所以点P是aaBC的内心.

故选：D.

【变式4-1](23-24高一下•四川成都•期末)已知点。是△A8C的内心，AB=4,AC=3,CB^XCA+fi

CO,贝1]4+“=()

457

A.-B.-C.2D.-

【解题思路】连接4。并延长交BC于点。，连接C。，则由角平分线定理得到CB,CD的长度关系，再由平面向

量基本定理，利用4。刀三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.

【解答过程】连接40并延长交BC于点。，连接C。,

因为。是△4BC的内心，所以4。为NB&C的平分线,

所以根据角平分线定理可得黑=桨=小

所以谓=薄，

因为4。,。三点共线，所以设方=tCA+(1-t)CO,

则方=级=普+%生了，

因为方=28？+〃万，

所以4+〃=当+竽*，

故选：D.

A

【变式4-2]（2023高三•全国•专题练习）在△ABC中，若sin/BAC•而+sin/NBC•而+sin/TlCB•无=

0,则点P是△ABC的（）

A.重心B.内心C.垂心D.夕卜心

【解题思路】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出P是△ABC的内心.

【解答过程】过点P分别作BC,CA,4B的垂线PD,PE,PF,其垂足依次为D,E,F,如图所示,

由于sin/BAC•PA+sinzXFC■PB+sinZ-ACB-PC=0,

根据奔驰定理就有：

S△BPC：S△CPA：SAAPB~sinz_B71C:sinZ_24BC:sinz_24CB=BC:AC:AB,

即@BCxPD）:（|XCxPE）:（^ABxPF）=BC:AC:AB,

因此PD=PE=PF,故点P是△ABC的内心，B选项正确.

故选：B.

【变式4-3]（2024高三・全国•专题练习）在△力BC中，|荏|=2,|而|=3,|丽|=4,。是△力BC的内

心，且而=4万+〃前，则；1+片（）

【解题思路】根据引理证明定理3,即可定理3的结论求解.

【解答过程】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1,o是△ABC内的一点，△BOC,△aoc,aaoB的面

积分别为L，SB，SC，贝以万？+SB而+So沆=6.

证明如图3,延长AO,与BC边相交于点D,

I|BO|_S&ABD_S^BOD_TWOD_S4ABD-S△BOD_

l℃lSMCDS^COD—S^COD^^ACD~^^CODSB'

记^^二九贝ijBo=aoc,即。。一。8二a（正一

所以一（1+A）OD+OB+WC=0,

又而=—a=—冷^，所以w（i+if）方+话+泓=机

.-->-->-->_>

从而S/OZ+SBOB+S（jOC=0.

接下来证明定理3O是△48C的内心=a方+b标+c瓦=6（其中a,瓦c是△2BC的三边长）

证明设△4BC的内切圆半径为r,。是△ABC的内心,

贝！JS^BocSAyiodSAyioB=万：5:5=a:b:c.

根据引理得，O是△力BC的内心oa石？+6而+c方=6.

由而=4屈+〃近，可得而=4（而一方）+〃（加一旗），

>>-->—>

即（1—%）。4+（/1_4）。8+〃0C=0,

因为O为△力BC的内心，|同|=2,|左|=3,|而|=4,

根据定理3,可知？=警=p解得a〃=|，故％+〃=：

故选:D.

【题型5外心问题】

【例5】（23-24高一下•天津北辰•期中）。为△48C所在平面内一点，且满足（市+丽）・瓦I=(OB+OC)-

方=（沆+51）•前，则。是△43。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解.

【解答过程】依题意，01+南）・瓦？=（万5+而）・（市—加）=\OA\2-\OB\2,

（OB+0C）-CB（OB+0C）■（OB-0C）\0B\2-\0C\2,

（0C+0A）-AC=（0C+0A）-（0C-0A）=|OC|2-|OX|2,

贝IJI方『-\0B\2=\0B\2-\0C\2=\0C\2-\0A\2,于是|市|=\0B\=\0C\,

所以。是△ABC的外心.

故选：B.

【变式5-1](23-24高三下•新疆•阶段练习)在△4BC中，AC=2^7,。是△ABC的外心，”为BC的中点,

AB-A0=8,N是直线0M上异于M、。的任意一点，则前•丽=()

A.3B.6C.7D.9

【解题思路】根据外心的性质得到0M1BC,设而=MM,根据数量积的运算律得到而-BC^-AO-AB

+A0-AC,再由数量积的定义及几何意义求出万•尼，从而得解.

【解答过程】因为。是△ABC的外心，M为BC的中点，设4C的中点为。，连接。£>,

所以。M1BC,0D1AC,设而=4丽，

则而-BC=(^d+ON")■~BC=J0-~BC+MM-BC

=A0~BC=A0-(BA+AC')

=A0-BA+A0-AC=-AO-AB+AO-AC,

又。是△ABC的外心，所以布•尼=|万|.|xc|coszC4O=(|而|cos/C40)•|Ic|

=||Zc|2=|x(2V7)2=14,

所以前-^C=-AO-AB+AO-AC-8+14=6.

故选：B.

【变式5-2](2024高三•江苏•专题练习)已知。为△ABC的外心，若2(0,0)4(2,0)/。=1/瓦1。=120。,且

AO=XAB+[iAC,则；1+〃=()

213

A.-B.2C.1D.―

5o

【解题思路】由图形在坐标平面内的位置，求出C点和。点的坐标，得而，荏，击的坐标，由同=4同+〃

AC,列方程组求出2和〃即可；或利用图形关系结合解三角形知识及平面向量基本定理即得.

【解答过程】解法一：

若力(0,0),B(2,0),4C=l^BAC=120°,则有《—［乌)，如图所示,

设的外心0(%,y),由|0*=|08|,得J%2+y2=Y(%—2)2+y2,解得％=1,

由|。*=|。。，得J12+y2=J(l+q2+(y_1)2,解得y=苧，

得。(1,竽)，则而=(1,竽)，

又就=(三,孚)，四=(2,0),

由而=2荏+HAC,即(I,苧)=2(2,0)+〃(_1,李)，

2A—i/z=1A=-|

得|V3_2V3，解得〃_8,

故2+〃=卷.

方法二：

过点力作4G1BC于G,过点。作。H1BC于H,

过点。作EF〃BC交4c的延长线于E,交力B的延长线于尸，

因为4(0,0),B(2,0)/C=1,/LBAC=120。,贝!JAB=2,

由余弦定理，CB2=4C2+AB2—24L4B-COSNB4C=1+4+2=7,则CB=V7,

而三角形△4BC的外接圆的半径为益示x：=亨，

所以。（亨）2一停）2=等,

且S"BC=/G-BC=^AC-AB•sinl200,所以2G=亨,

所以爷=桨=缶r=W得所以4C=&1EHB=W4K

76

故而=2XB+由=^AF+誓乐，

由于。，&F三点共线，有2+,=1,因此/+〃=?.

13136

故选：D.

【变式5-3](2024•辽宁抚顺•模拟预测)在锐角三角形4BC中，A=60°,AB>AC,〃为△ABC的垂心,

AH-AC=20,。为△口£1的外心，且京•而=|||斓“而，则BC=()

A.9B.8C.7D.6

【解题思路】作出辅助线，数形结合，利用向量数量积可求得be=40,再由。为△4BC的外心，可得

711

/.BAO=90°-C,从而可得N04H=C—"BC,解方程组cos(C-zXBC)=£与3(。+^ABC)=-轲得

sinCsin乙4BC的值，最后由正弦定理即可求解.

【解答过程】

设△4BC的内角N,B,C所对应的边分别为a,b,c,

如图，延长5〃交/C于。，延长NH交8C于E,所以BD_L4C,

所以京-AC=\AD\-\AC\=|XB|cos600•\AC\=20,即be=40.

又。为△ABC的外心，所以N4OB=2C,即NBA。=90。-C,

又在aABE中，A.BAE=90°-^ABC,

故NCMH=90°-乙ABC-(90°-C)=C-AABC,

所以cos(C一4ABC)=cosZOAH=瑞狐=得,与cos(C+A4BC)=-：，相减得sinCsin乙4BC=',

所以由正弦定理得.「\”=(/)2=导,即BC2(=导，解得BC=7.

smCsinz.ABC\SIIL4，333

故选：C.

►过关测试

一、单选题

1.（2024・全国•二模）点。,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足方=方+而+无，则直线。P经

过△力BC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【解答过程】设BC的中点为点。，所以丽+而=2而，

则存-OA=AP=2OD,

若4P,。,。四点共线时，即点。户都在中线4D上，所以。P经过三角形的重心，

若4P,。,。四点不共线时，AP//OD,S.AP=2OD,连结AD,OP,交于点G,

如图，

券=黑=2，即点G是三角形的重心，即°P经过△48C的重心,

uUUU

综上可知，OP经过△ABC的重心.

故选：A.

2.（23-24高一下•河南安阳•期末）已知。是△4BC内的一点，若△BOC,△20C,△力OB的面积分别记为

5茂2品，贝⑸•+S2•成+S3♦沅=。.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其

为“奔驰定理如图，已知。是△力BC的垂心，且瓦5+20B+30C=0,贝!!tanNBAC:tanN28C:tanZ71CB=

)

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【解题思路】延长CO,BO,NO分别交边AC,2c于点尸，M,N,利用同底的两个三角形面积比推

得tan/B力C:tan乙4BC:tan/4CB=SiS2S3即可求解作答.

【解答过程】。是△力BC的垂心，延长CO,BO,N。分别交边N8,AC,8C于点P,M,N,如图，

贝IJCP1AB,BM1AC,AN1BC,乙BOP=Z.BAC,^AOP=^ABC,

EHSiBPOPtanz.BOPtanz.BAC0下m51tanz.BAC

因此，豆=而=朝值而=许而，同理豆=益1而，

于是得tanNBZC:tanZ>lBC:tanN24cB=51:52:53,

XO1+2OF+3OC=6,即觉=一那一卿，由“奔驰定理”有Si•旅+S2•砺+S3•觉=0,

则OC=—》04—308,而。Z与08不共线，有伺=!,即SiSS=1:2:3,

所以tanNB4C:tanzABC:tanNACB=1:2:3.

故选：A.

3.（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）点尸是锐角△ABC内一点，且存在R,使丽=2（荏+而），则

下列条件中，不能判断出AABC为等腰三角形的是（）

A.点P是△4BC的垂心B.点P是△ABC的重心

C.点P是△48C的外心D.点P是△4BC的内心

【解题思路】由已知判断点P在直线4。上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.

【解答过程】记BC的中点为。，则丽=4（荏+而）=24同，

所以，点尸在直线4。上.

A选项：若点P是△4BC的垂心，则4D1BC,

所以4B=4C,所以△ABC为等腰三角形，A正确；

B选项：若点P是△4BC的重心，则点P在BC边的中线上，无法推出4D1BC,B错误；

c选项：若点P是△asc的外心，则点P在边的中垂线上，

所以2D18C,所以△2BC为等腰三角形，C正确；

D选项：若点P是△ABC的内心，则4D为ABAC的角平分线，

所以NBA。=NC4D,

又SAABD=S^ACD，§9AB-ADsinZ.BAD=AC-ADsinZ.CAD,

i^AB=AC,D正确.

故选：B.

A

4.（2024•安徽•三模）平面上有△ABC及其内一点。构成如图所示图形，若将△Q4B,△OBC,AOCA

的面积分别记作S,，Sa,Sb,则有关系式S“D1+Sb•砺+Sc•沃=6.因图形和奔驰车的log。很相似，

常把上述结论称为“奔驰定理已知的内角C的对边分别为a,b,c,若满足a•旗+b•砺+c-

OC^O,则。为△斗吕。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】根据平面向量基本定理可得*=々盏=?,延长C。交4B于E,延长B。交ZC于F,根据面积比

3aa3aa

推出盘=搭，结合角平分线定理推出CE为乙4cB的平分线，同理推出8F是乙4BC的平分线，根据内心的

R七I1以1

定义可得答案.

【解答过程】由Sa•65+Sb・砺+s’•比=。得Ul=-OB-^oc,

^,a3a

由a•西+b•而+c•玩=。得DI=--OB-£0C,

aa

根据平面向量基本定理可得—记=—5，=

DaCL9a"

所以"T=^

3aCL3aCL

延长C。交4B于E,延长B。交力C于F,

贝陵瑞，璟/所以黑="黑，

所以CE为N4cB的平分线，

同理可得B尸是乙4BC的平分线，

所以。为△4BC的内心.

故选：B.

5.（23-24高一下•上海奉贤•期中）设。为△力BC所在平面内一点，满足函+2赤+2瓦=0,则△ABC的

面积与△BOC的面积的比值为（）

o

A.6B.-C.—D.5

【解题思路】延长。8到D,使OB=BD,延长0C到E,使。C=CE,连接则由已知条件可得。为

△4DE的重心,由重心的性质可得S&40D=S/XHOE=SMOE=S,再结合中点可求出S&4OB，SA40C,S^BOC的

面积，进而可求得答案

【解答过程】解：延长。B到D,使OB=BD,延长0C到E,使0C=CE,连接4D,DE,4E,

因为瓦5+2而+2沆=0,所以D1+而+岳=0,

所以。为△?!£）£1的重心，

=SAA0E=S^D0E=S,贝!|S44OB==/SAB0C=-S,

所以55o=3+15+斤=君,

所以产=g=5,

'△BOC-5

故选：D.

6.（23-24高一下•甘肃・期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC,AAMC,△的面积分别为山，SB,Sc,

且S4•凉+SB•丽+Sc•耐=0.若M为△4BC的垂心，3而+4丽+5标=0,贝IJCOSN力M8=（）

A

A—渔R—渔c胆D渔

・3663

【解题思路】根据〃•9+SB•丽+Sc・标=0和3拓？+4MB+5MC=O^SA-.SB-.SC=3:4:5,从而可以得

出器=4,券=3,设MD=x,MF=y,得AM=3x,BM=2y,再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.

【解答过程】

如图，延长力M交BC于点D,延长BM交AC于点F,延长CM交4B于点E.

由M为△ABC的垂心，3四+4丽+5流=0,且山•苏+SB•丽+Sc•流=0，

得SHSBSC=3:4:5,所以SB=^SA,SC=^SA,

又S0BC=S4+SB+SC，则等=4,同理可得筌=3,所以饯=4,需=3,

设MO=x,MF=y,贝=3%,BM=2y,

所以coszlBMO=/=cos乙4MF='BR3%2=2y2,1=孚,

所以cos/BMO=/=浮

所以cosZJlMB=cos（71—匕BMD）=—cosZ-BMD=—年.

故选：B.

7.（23-24高三上•辽宁沈阳•阶段练习）已知△ABC,/是其内心，内角4SC所对的边分别内瓦c,则（）

A.AI=^（AB+AC）B.屈=迦+恒

3aa

C.AI=D.司=空+画

a+b+ca