2025年春新北师大版数学七年级下册课件 第一章 1.3 第3课时 完全平方公式的认识

第一章整式的乘除3乘法公式第3课时完全平方公式的认识北师大版-数学-七年级下册学习目标1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。【重点】2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。【难点】新课导入计算：(1)(x＋1)2；(2)(y－2)2。解：(1)原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。

(2)原式＝(y－2)(y－2)＝y2－2y－2y＋4＝y2－4y＋4。思考：由上述计算，你发现了什么结论？发现：原式是两数和(或差)的平方，结果是这两数平方和与它们2倍的和(或差)。新知探究知识点

完全平方公式1探究：计算(a＋b)2，(a－b)2，并归纳计算结果。解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)

＝a2＋ab＋ab＋b2

＝a2＋2ab＋b2。(a－b)2＝(a－b)(a－b)

＝a2－ab－ab＋b2

＝a2－2ab＋b2。新知探究归纳总结完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于

加上（或减去）两数积的

。两数的平方和2倍简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”。新知探究你能用下图解释上面的公式吗?直接求：总面积=(a+b)2

间接求：总面积=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2aabba²b²abab新知探究

a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+b2aabb(a-b)²b²b(a-b)b(a-b)直接求：蓝色正方形的面积=(a-b)2

间接求：蓝色正方形的面积=(a-b)2=a2-2ab+b2新知探究完全平方公式的特征：1.积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与原式中间的符号相同；4.公式中的字母a，b

可以表示数、单项式和多项式。

新知探究典型例题例1

利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；

(4)(a＋b＋c)2。解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。(4)原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。注意：当公式中的两个数的系数绝对值不为1时，平方时不要漏掉系数的平方。新知探究思考：(a+b)2与(-a-b)2

相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。(a-b)2与a2-b2不一定相等，只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2。新知探究针对练习

×(x＋y)2

=x2＋2xy＋y2

(x－y)2

=x2－2xy＋y2(－x＋y)2

=x2－2xy＋y2(2x＋y)2

=4x2＋4xy＋y2×××新知探究典型例题例2

如果36x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，求m的值。解：因为36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，所以mxy＝±2·6x·5y，所以m＝±60，所以m＝60或－60。注意：完全平方式要分清是哪两数的平方和加上或减去它们积的2倍，已知完全平方式求中间系数中字母值时要考虑两种情况。新知探究针对练习

CD新知探究知识点

完全平方公式的几何意义2典型例题例3

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab。那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(

)A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C课堂小结完全平方公式结果是三项，不要漏掉中间项(a±b)2=a2±2ab+b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍符号表示注意内容中间项的符号要正确图形变形前后阴影部分面积相等几何解释课堂训练1.若x＋y＝4，则x2＋2xy＋y2的值是(

)A．2

B．4

C．8

D．162.如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(

)A．2cm2

B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2DC课堂训练

3.若(3x－