2025年高考数学一轮复习：数列中的奇偶项问题【导学案】

拓展拔高7数列中的奇偶项问题

【高考考情】数列是高中数学中非常重要的一个知识点，也是高考必考的内容.与

数列有关的题目类型较多，其中，分奇偶项求和问题比较常见.此类问题中奇数项

和偶数项的通项公式一般会有所不同，要解答此类问题，我们需要灵活运用分类

讨论思想和分组求和方法.

【解题思路】解答此类问题的基本思路：(D结合题意寻找数列中奇数项和偶数项

的规律，分别求出它们的通项公式.在求通项公式时，要注意把数列的项数间隔

开。)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和.(3)将所得的结果汇总、化

简,便可求得数列的和.

视角一含有(4)〃的递推公式

[例1]侈选题)已知数列｛。"｝满足。1=1,斯+2=(-1)/1(斯-〃)+凡记｛斯｝的前〃项和为Sn,

则()

A.Q48+a50=100B.。50-。46=4

C.S48=600D.*9=601

【解析】选BCD.因为。1=1,诙+2=(-1产1(斯-〃)+〃，所以当n为奇数时,。〃+2=。〃=。1=1；

当n为偶数时,为+即+2=2儿

对于A,由Cln+2=2”,所以<748+050=96,A错误；

对于B,因为。46+。48=92,。48+。50=96,两式相减可得Q50-Q46=4,B正确；对于

C,S48=Q1+〃3+Q5+…+〃47+[(〃2+04)+(〃6+〃8)+…+(Q46+〃48)]=24xl+2x(2+6+…+46)

=24+2x比产=600,C正确；

对于D,549=548+。49=600+1=601,D正确.

思维升华：含有(-1)"类型问题的解法

⑴通项公式中含有(-1)":

①等差数列的通项公式乘(/)〃,可用并项求和法求数列前n项的和；

②等比数列的通项公式中含有(-1)〃,其前n项和可写成分段的形式，考查最值问题,

如等比数列｛斯｝的通项公式为。〃=(-1产除则其前n项和为求的取值

2nSn

范围,几分奇偶讨论，求出取值范围；

③裂项相消法求和

如年(/)"•西考==(-1产(白+高)，求和时通过GD"实现正负交替

(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

⑵递推公式中有(⑴"：寻找间隔两项之间的关系坟口a〃+i+(-l)F=2”一〃为奇数

丁+=？=2：一一+2+诙=2;〃为偶数时,+On—2九

时,

aa-a

an+2'n+l~471十乙n+2n+l=2n+2

为+2+。"=4"+2一得到相邻两个奇数项或偶数项的关系.

迁移应用

n

数列｛斯｝中,。1=1,。2=2,数列｛bn｝满足bn=an+i+(-l)an,nGN*.

⑴若数列｛词是等差数列,求数列｛儿｝的前10。项和Sioo；

【解析】(1)因为｛斯｝为等差数列，且内=1,。2=2,

所以公差d=l,所以an-n.

bi」(册+厂。兀=1,九为奇数，

所以瓦尸J、

+an=2n+1,九为偶数

(1,九为奇数，

即bn-\

(2n+1,九为偶数

所以儿的前100项和

5100=(》1+九+…+仇9)+(62+64+…+6100)

=50+(5+9+13+...+201)

=50+50x5+T叫4=5200.

⑵若数列｛为｝是公差为2的等差数列,求数列｛劣｝的通项公式.

【解析】（2）由题意得,匕1=。2-。1=1,公差d=2,

所以bn=2n-l.

所以^2n-l=a2n~a2n-l=471-3,①

=aa

、b2n2n+l+2n=471-1,②

由②-①得,。2n+1+a2n-l=2,

所以a2n■+：1-2-a2n-l，

又因为0=1,所以〃1=〃3=。5=.•・=1,

所以。2加1=1,所以。2几=4八-2,

1,九为奇数,

综上所述口尸

2九-2,九为彳禺数.

视角二已知条件明确的奇偶项问题

凡九为奇数，

［例2］已知数歹U｛a,J的前n项和为Sn,a*=1n求Sm

（5）"九为偶数，

【解析】方法一：当n为偶数时,S"=Q1+Q2+.・・+Q”=(〃1+俏+・・・+a侬1)+(〃2+〃4+.・・+。〃)

Z1.o「/1\]/1\21.zlx[1+(侬1)吟杷-(手刃21巴

=(1+3+...+«-1)+[(-)1+(-)2+...+(-)2]=----------^^—+1n-(-)2.

1-2

当〃为奇数时兴1是偶数，

S〃=Sg+飙=竽+1_（》等+“=乎+1_e等

1n-1

(M产+]-(1)三"为奇数,

4

综上,S〃=（n

-+1-（5）5,九为偶数.

.4

凡九为奇数，

方法二:因为斯=

（1）5m为偶数

所以。2加1=2n-l,a2n=(/,

所以S2n=Ql+〃2+.・・+。2九=(。1+。3+.・・+@271-1)+(。2+。4+.・・+。271)=(1+3+.・・+2〃-1)+

[(*+$+...+(｝〃]要出产+支捍中2+[_(#

1-2

111

S2n-1=S2n-a2n=/+1一”一()二"+1七产

综上所述，

(竺学+i-G)等，九为奇数，

工=12n

1+1-©)可71为偶数.

思维升华

(7(71)"为奇数

形如斯=的结构，可分为两种情况:(1)邻项等差、等比数歹I」,如已知

(g(n),九为偶数

(an+1，九为奇数〃“刀口工巾口公

ai-l,an+i-｛'的解题思路：

(2即,几为偶数

将"用2k-1或2左替代当n-2k-l时加=31+1；

当n=2k时,侬+1=2侬=2(侬-1+1)今侬+1+2=2(侬-1+2)今构造出以的+2为首项、2为

公比的等比数列,先求出Cl2kA的通项公式,再求出。2k的通项公式.

b711番攵

"'的解题思路:先求出其他数

(10g2%，九为偶数

列的通项公式，再求出｛的｝的通项公式.

迁移应用

已知数列｛以｝是等差数歹它的前〃("£N*)项和为，，数歹心为｝是等比数

列,bn>O,a1=3,加=143+82=12,。5-23=的.

⑴求数列｛服｝和｛bn｝的通项公式；

【解析】（D设等差数列｛劣｝的公差为4等比数歹U｛为｝的公比为q,

则由匕第;产得长+*"：；；

（附々/^—的，（3+4d-2q=3+2d,

解瞰:;蹴二倍去）,

n1

所以an=3+2（n-1）=2n+1,bn=2'.

!■刀为奇数

⑵若c”=，设数列｛0｝的前n项和为T”,求T2n.

味,正为偶数

【解析】（2）由（71=3,。“=2”+1,得力="（八+2）,

卜岛，九为奇数・

则Cn-卜侬、九为偶数.

u，伪奇数

）nn+2

即C"=12出1,九为偶数.

所以%z=(Cl+C3+…+C2〃-1)+(C2+C4+…+C2〃)=[(1])+(：])+…+

DD5Z71-1Z,YL+1

2(l-4n)_l+22n+11

(2+2%-+22”丁

1-4-32n+l

视角三数列中连续两项和或积的问题3〃+%+1或=/（«））

［例3］已知数列｛诙｝满足QI=1，。九+1+〃〃=4〃.

⑴求数列｛词的前100项和5100；

【解析】⑴因为。1=1，+1+Q〃=4",

所以5100=（。1+。2）+（。3+。4）+...+（。99+。100）

=4x1+4x3+…+4x99

=4*(1+3+5+…+99)

=4x502=10000.

（2）求数列｛诙｝的通项公式.

【解析】(2)由题意,册+1+。〃=42①

a?i+2+。?1+］-4(八+

由②-①得,即+2-斯=4,

由0=1,0+02=4彳导上2=3.

当n为奇数时,厩=。1+(等-l)x4=2〃-l,

当n为偶数时,。〃=。2+(1-1)x4=2”-1.

综上所述，斯=2〃-1.

思维升华

递推公式为呢+1+。〃=/5)或。〃+1“dm的形式，求通项公式或数列求和的方法

⑴求通项公式：由斯+2+丽1书”+1)与上式作差可得隔项递推公式

Z+2-。〃于5+1)-人叫对于后一种可由Q"+2S+1=/S+1)与上式作商可得隔项递推公式

皿=陪，然后求解.

a-n/(n)

⑵求前n项和S"：求出通项公式，则S"=S奇+S偶;或者利用可直接并项

求和.

迁移应用

在数列｛。〃｝中，已知==(),记S”为｛斯｝的前n项和力否a2n+a2n-l，八

EN*

⑴判断数列｛勿｝是否为等比数列,并写出其通项公式；

［解析］(1)因为二(5)〃,

所以斯+1S+2=G)〃+1,所以皿三，

2an2

1

BPan+2=-an.

因为瓦尸Q2n+侬-1,

11

所以匕n+1_。2九+2+02英+1_2“2九2@2n1

如a2n~^~a2n-l。2九+口271-12

所以数列｛6｝是公比为前勺等比数列.

因为防=1以1・6=3,

所以6=之力1=。|+。2=|,

所以儿=|x(yq,〃£N*.

(2)求数列｛诙｝的通项公式;

【解析】⑵由⑴可知a〃+2