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专题突破练5利用导数研究函数的零点202512341.(13分)(2024·浙江杭州模拟)设函数f(x)=(x-1)2ex-ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)零点的个数.123412342.(15分)已知函数f(x)=alnx-2.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点,求实数a的取值范围.12341234x(0,e2)e2(e2,16]g'(x)+0-g(x)单调递增极大值单调递减所以函数g(x)在区间(0,16]上的极大值为g(e2)=,且g(16)=ln

2,作出g(x)的图象如图所示.12343.(15分)(2024·湖北黄石三模)已知函数f(x)=x-lnx+m有两个零点x1,x2.(1)求实数m的取值范围;(2)如果x1<x2≤2x1,求此时m的取值范围.解

(1)令f(x)=0,即m=ln

x-x,令g(x)=ln

x-x,则g'(x)=,当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又g(1)=-1,且x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-∞,又y=g(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以,实数m的取值范围是(-∞,-1).123412344.(17分)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)=exsinx(e是自然对数的底数).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)记g(x)=f(x)-ax,若0<a<3,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.12341234(2)由已知g(x)=exsin

x-ax,∴g'(x)=ex(sin

x+cos

x)-a.令h(x)=g'(x),则h'(x)=2excos

x.1234①当1-a≥0,即0<a≤1时,g'(0)≥0,∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.∵g(0)=0,∴g(x0)>0.又g(π)=-aπ<0,∴由零点存在定理可得,此时g(x)在(0,π)上仅有一个零点.1234又g(π)=-aπ<0,由零点存在定理可得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,即此时g(x)在(0,π)内有两个零点.综上,当0<a

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