2025年高考数学复习热搜题速递之复数（2024年7月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习热搜题速递之复数（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．设z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．2．若a为实数，且2+ai1+i=3+A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）4．设z=3-i1+2i，则A．2 B．3 C．2 D．15．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）6．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1 B．2 C．3 D．27．若z＝4+3i，则z|A．1 B．﹣1 C．45+35i 8．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．-45 C．4 D9．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3二．填空题（共5小题）11．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，则|z1﹣z2|＝12．i是虚数单位，则|5-i1+i|的值为13．已知a∈R，i为虚数单位，若a-i2+i为实数，则a的值为14．i是虚数单位，复数6+7i1+2i=15．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．三．解答题（共5小题）16．已知复数z满足|z|=2，z2（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．17．已知复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z及z；（2）若ω=z2+i，求复数ω的模|18．已知z为复数，z+2i和z2-i均为实数，其中（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．19．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i为虚数单位．（1）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若z=z1z220．已知z是复数，z+2i与z2-（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

2025年高考数学复习热搜题速递之复数（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．设z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．【考点】复数的模；复数的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】C【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．【解答】解：z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i则|z|＝1．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．若a为实数，且2+ai1+i=3+A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考点】虚数单位i、复数．【专题】数系的扩充和复数；数学运算．【答案】D【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai＝（1+i）（3+则a＝4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）【考点】纯虚数；复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【答案】C【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设z=3-i1+2i，则A．2 B．3 C．2 D．1【考点】复数的模．【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数．【答案】C【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3-i1+2i，得|z|＝|故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．5．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．【答案】A【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．【解答】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：m+3＞0m-1＜故选：A．【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力．6．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1 B．2 C．3 D．2【考点】复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即x=1y=x，解得x=1y=1，即|x+yi故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．7．若z＝4+3i，则z|A．1 B．﹣1 C．45+35i 【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．【答案】D【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则z|z故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．8．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．-45 C．4 D【考点】复数的除法运算．【专题】数系的扩充和复数．【答案】D【分析】由题意可得z=|4+3i|3-4i=5【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z=|4+3i故z的虚部等于45故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．9．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得a+1＜0【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴a+1＜01-a则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】复数的乘法及乘方运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．【答案】A【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．二．填空题（共5小题）11．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，则|z1﹣z2|＝23【考点】复数的模．【专题】计算题；转化思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．【解答】解：复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，所以|z1+z2|＝∴|z1∴8+z1z∴|z1﹣z2|2＝8﹣（z1z2又|z1﹣z2|＞0，故|z1﹣z2|＝23．故答案为：23．【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键．12．i是虚数单位，则|5-i1+i|的值为【考点】复数的运算；复数的模．【专题】计算题；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：5-i1+i=(5-∴|5-i1+i|＝|2﹣3i故答案为：13．【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．13．已知a∈R，i为虚数单位，若a-i2+i为实数，则a的值为【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a-i2+【解答】解：a∈R，i为虚数单位，a-由a-可得-2+a解得a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．14．i是虚数单位，复数6+7i1+2i=4【考点】复数的运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：6+7i1+2i=故答案为：4﹣i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．15．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得a+2=01-2a≠0，解得：故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．三．解答题（共5小题）16．已知复数z满足|z|=2，z2（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．【专题】综合题；对应思想；转化法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解可得复数z；（2）分类求得A、B、C的坐标，再由三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），由已知可得：a2+b解得a=1b=1∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）当z＝1+i时，z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=12×2×1当z＝﹣1﹣i时，z2＝2i，z﹣z2＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=12×2×1∴△ABC的面积为1．【点评】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．17．已知复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z及z；（2）若ω=z2+i，求复数ω的模|【考点】共轭复数；复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）把z＝3+bi（b∈R）代入（1+3i）•z，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件即可求出复数z及z；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简ω=z【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b∈R），∴（1+3i）•z＝（1+3i）•（3+bi）＝（3﹣3b）+（9+b）i又∵（1+3i）•z是纯虚数，∴3﹣3b＝0，且9+b≠0，∴b＝1，∴z＝3+i，z=3-（2）ω==7-∴|ω|=(【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是中档题．18．已知z为复数，z+2i和z2-i均为实数，其中（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】复数的混合运算．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和z2-i，根据两个都是实数虚部都等于（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）设复数z＝a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i∈R，∴b+2＝0，即b＝﹣2．又z2-∴2b+a＝0，即a＝﹣2b＝4．∴z＝4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z＝4﹣2i，∵（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴16解得a的取值范围为2＜a＜6．【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．19．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i为虚数单位．（1）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若z=z1z2【考点】共轭复数；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】（1）实数a的取值范围是（-13，（2）z=-1