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第六章立体几何与空间向量第六节空间角·考试要求·1．理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的向量表示．2．能用向量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的大小．必备知识落实“四基”

√

√B

解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC.又∠BAC＝90˚，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB＝2，则AC＝2，PA＝4，所以P(0，0，4)，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)．

××√

大于90°

√

核心考点提升“四能”

√

√

求解异面直线所成角的方法(1)建系；(2)求两异面直线的方向向量的坐标；(3)求两向量的夹角的余弦值；(4)得结论．

√

(2)如图，△ADC和△DBC所在的平面互相垂直，且AD＝BD＝CD，∠ADC＝∠BDC＝120˚，则直线AB与平面ADC所成角的正弦值为________．

向量法求直线与平面所成角的主要方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

√

√B

解析：如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接DD1，AD，则DD1∥BB1，DD1⊥平面ABC，AD⊥BC.以D为原点，DA，DB，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

二面角【例2】(2023·新高考全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥A­BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60˚，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；证明：如图，连接AE，DE．因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC．因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60˚，所以△ACD与△ABD为全等的等边三角形，所以AC＝AB，从而AE⊥BC．因为AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE．而DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA．

(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．解：取A1B的中点E，连接AE.因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC.由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC，得AE⊥BC，BB1⊥BC.又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC

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