河南省顶级名校2024-2025学年高二上学期10月检测试题数学试题含答案

河南省顶级名校2024-2025学年高二上学期10月检测试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（

）．

A．B．C．D．2．如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（

）A． B． C． D．3．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（

）A． B． C． D．4．若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（

）A．B．C．或 D．或5．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（

）

A． B． C．12 D．186．已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．7．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（

）A．B．C．D．8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．2二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（

）A．圆C的方程是B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为C．圆C与圆有四条公切线D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为10．已知直线，则（

）A．的倾斜角为B．与两坐标轴围成的三角形面积为C．原点到的距离为1D．原点关于的对称点为11．下列说法正确的是（

）A．若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B．已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则C．对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）12．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是．13．已知圆是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为.四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（14分）15．如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且．

(1)证明：；(2)若底面有一动点从点出发在圆上运动一周，过动点的母线与截面交于点，设，，求与的函数关系．（14分）16．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.（15分）17．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．

(1)直线与平面所成角的正弦值；(2)点到平面的距离.（16分）18．已知圆的圆心在轴上，且经过点．(1)求线段的垂直平分线方程；(2)求圆的标准方程；(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．（18分）19．如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.

(1)求证：平面；(2)设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值.数学答案1．A【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，．则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角，设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，

又为公共边，所以，即，整理得．2．A【详解】，故，，，.3．D【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则，所以.4．C【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，直线方程为，或，将点代入上式，解得直线的方程为或.5．A【详解】如图，交于点，则是中点且，由题意可得.故选：A．

6．D【详解】设,由可得：，据此可得：，同理可得：，则：，将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得：，即：，同理可得：，两式相加可得，故：，据此可得：.7．A【详解】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即8．D【详解】由题意知，水的体积为，如图所示，设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于由题意知，水的体积为，即，在平面内，过点作交于，则四边形是平行四边形，且又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为,在直角三角形中，.9．BD【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；10．BCD【详解】对于选项A：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A错误；对于选项B：因为直线与两坐标轴的交点分别为，所以与两坐标轴围成的三角形面积为；对于选项C：原点到的距离，故C正确；对于选项D：设原点关于的对称点为，则，解得，所以原点关于的对称点为，故D正确；11．BD【详解】对于A，，故A错误；对于B，，且向量是平面的法向量，所以，即，即，故B正确；对于C，因为，所以则P，A，B，C四点不共面，故C错误；对于D，因为为空间的一个基底，所以不共面，假设共面，则存在唯一实数，使，所以，无解，故不共面，故D正确；12．【详解】圆的圆心为，半径为，它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为，圆的圆心为，半径为，，由题意得，解得.13．【详解】根据题意得，，所以圆的半径为4，圆的方程为，如图，，则，所以，即，故，所以，在中，，当、、共线时最大，最大为.14．【详解】因为，所以，设圆的半径为，又，解得（负值舍去），过点作交于点，过点作交于点，则，所以，同理可得，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，高为，则上面球冠的表面积，下面球冠的表面积，球的表面积，上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积，所以几何体的表面积.15．(1)证明见解析；(2)，.【详解】（1）由题意，，∵为圆柱的母线，则垂直圆柱下底面圆O，∴直线l是平面与底面交线∴，又因为，平面∴平面，而平面，则.（2）因为且，所以为平面与底面二面角的平面角又因为，所以.过点M做MF垂直于直线l垂足为F，连接NF，则，作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形，∵，则底面圆O半径又因为，所以，，，又∵，∴，∴，16．（1）；（2）.【详解】解：（1）设圆的方程为：，根据题意得，故所求圆M的方程为：；（2）如图，四边形的面积为，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.17．(1)(2)【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，又面，故以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，

因为，，，且为中点，则，，，，，，故，，，设面的法向量为，则，令，则，，故，所以，故直线与平面所成角的正弦值为；（2）由（1）可知，面的一个法向量为，所以点到平面的距离，故点到平面的距离为．18．(1)(2)(3)或【详解】（1）设的中点为，则．由圆的性质，得，所以，得.所以线段的垂直平分线的方程是.（2）设圆的标准方程为，其中，半径为，由（1）得直线的方程为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为.（3）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，