《数学归纳法在中学解题中的应用研究》9000字（论文）

数学归纳法在中学解题中的应用研究摘要想要在命题中进行合理论证，必须了解和掌握数学归纳法且通晓其基本原理。数学归纳法可以解决比较复杂的问题，贯穿着整个数学体系，为了更好的让中学生了解并应用数学归纳法，我从数学归纳法的概念、分类着手，然后给出数学归纳法在解决问题时的具体步骤，最后再列出数学归纳法在数学解题中的一些列子，在各种题型中的应用。让学生意识到数学归纳法的重要性并且让他们运用数学归纳法去解决数学题中一些复杂的问题。通过对归纳法的了解及其在数学解题中的一些应用的研究，让更多的人认识并了解数学归纳法思想，并能运用它解决一些难以直接解决的数学问题。随着对数学归纳法深入，不仅有利于锻炼逻辑思维能力，还可以提升学生的观察力、分析力、创造力及归纳力。关键词：数学归纳法中学数学教学目录TOC\o"1-3"\h\u59501绪论 586431.1研究背景 533521.2研究目的及意义 5116131.3研究方法 6237922数学归纳法的基本概述 6142042.1数学归纳法的概念 6237393数学归纳法在中学解题中的具体应用 7154313.1.1原理 797243.1.2原理证明过程 8115853.1.3易错点 9291673.2数学归纳法在等式上的具体应用 9239013.2.1恒等式的基本原理 9214703.2.2应用过程 9221273.2.3小结 10110553.3数学归纳法在不等式中的应用 11111413.3.1不等式的基本概念 11130493.3.2放缩法证明不等式推导过程 11139943.3.3替代法证明不等式 127963.3.3小结 13261473.4数学归纳法在整除问题中的应用 13141253.4.1整除性问题概念 1372023.4.2整除性问题推导过程 14209213.4.3小结 14321303.5数学归纳法在几何问题中的应用 14262833.5.1基本概述 14120523.5.2数学归纳法证明几何问题推导过程 15117383.5.3小结 15159904数学归纳法在中学解题应用中的优化模式 16263764.1联系生活实际 1668034.2重视对问题的分类归纳 167304.3构建数学归纳法的学习网络 17248954.4创设学生学习数学归纳法的兴趣 18247215结语 1812936参考文献 20

1绪论1.1研究背景数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的王徐晨.借一道高考题谈高中生数学建模素养的培养[J].山海经：教育前沿,2021(15):0092-0093.。数学归纳法是高考数学中的一个难点，也是数学考试中常见的考点。看似简单的理论之下，却难以形成固定的形式，学生浅显的掌握容易，但是深入的在解题中进行实践则是十分的困难，更多的是通过生硬的理论记忆和模板的套用，虽在解决简单的归纳数学中足够使用，但是在各类重要的考试中，“生搬硬套”的解决模式难以良好的运用其中，学生难以理解到归纳法的核心应用思想，最终的考试成绩会有一定的差距。因此此项目的学习，如果把握的较好，对于提升学习成绩有着很大的帮助。因此本论文的研究目的，是通过研究数学归纳法在中学数学中的应用，进而研究出其中的优化途径，以此帮助王徐晨.借一道高考题谈高中生数学建模素养的培养[J].山海经：教育前沿,2021(15):0092-0093.1.2研究目的及意义研究数学归纳法的理解，应用，论述数学归纳法在不同题型中的实际应用方法，运用数学归纳法，将复杂繁琐的题逐渐变得简单，让学生可以真正的掌握数学归纳法，更好的理解中学数学学习的内容吴勇.数学“三种语言”转换能力的考查及启示——以2020年几道数学高考题为例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.吴勇.数学“三种语言”转换能力的考查及启示——以2020年几道数学高考题为例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.对于数学归纳法在中学解题中的应用仔细的研究后，可以帮助学生更好的认识到其中的原理，让学生能在理解的基础上，更好的学习这类方式。学生在日常的学习中，虽对于数学归纳法有一定的了解，但是多数是理论性比较强，在使用的过程中，技巧性较强，所以学生在运用数学归纳法的过程中，很容易出现错误。因此为了提升学生学习数学归纳法的效率，让学生可以熟悉在中学解题中运用数学归纳法，就数学归纳法在中学解题中的应用进行一个详细的降解，帮助学生提升学习数学的效率，建立起数学思维。1.3研究方法文献参考法:对相关的文献进行研究学习，对项目的研究返修改那个及结论进行指导和参考。实例分析法：通过分析示例，并且根据对应的实例进行相应的分析和解答，帮助学生能够正好的了解这一题型。2数学归纳法的基本概述2.1数学归纳法的概念从数学专业的角度来说，数学归纳法是为了证明自然数N有关的命题一种特殊的方法没他这个月太事故为了研究和正整数相关的数学类型的问题，虽然此类解题方法并非所有的数学题都通用，但是在高中数学总，经常迎来证明等式成立和数列通向公司成立。2.2数学归纳法的步骤在解题过程中，数学归纳法通常可以简单的证明为两个步骤，第一步，常数背景下，数学归纳法可以证明命题的成立；第二步骤，在任意数背景下，依旧需要证明等式的成立。数学归纳法可以看做一个递推的过程，最简单的数学归纳法证明当n属于所有正整数的一个表达式成立时，这种方法是由下面两步组成：递推的基础：证明当n=1时表达式成立。递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。3数学归纳法在中学解题中的具体应用3.1数学归纳法的原理3.1.1原理在中学解题中，数学归纳法是一种常用的论证方法。但数学归纳法并非通用在所有的题型当中，正整数相关的命题，数学归纳法可以作为一个常用的论证，进而进行学习。数学归纳法虽不是使用在所有的中学数学解题中，但是在中学数学中有着重要的地位。许多人高考卷中较为容易出错的题目通常也是和正整数有关的题目吴勇.数学“三种语言”转换能力的考查及启示——以2020年几道数学高考题为例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.吴勇.数学“三种语言”转换能力的考查及启示——以2020年几道数学高考题为例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.相比起其他的解题步骤，数学归纳法是比较简单的。但是在数学的学习中，越是简单的数学题目，越是容易出现错误，学生在学习过程中，无法具体的应用，难以真正的掌握，大部分学生是将数学归纳法的远离进行套用，并没有理解到其中的内涵，因此在数学学习中会有似懂非懂的想法。想要了解数学归纳法，首先需要了解数学归纳法的远离，并且将他放在具体的式子当中，仔细的了解。数学归纳法的核心是为了证明N∈正整数证明过程：若n=1可以推导出，n=1→n=k+1按照通俗易懂的降解，可以按照多米诺骨牌远离进行讲解。在一个相互想联系系统当中，一个很小的初量可能产生一系列连锁的反应。假设nnnnn为多米诺骨牌，多米诺骨牌的排列可以是无穷无尽的，但是只要某一个骨牌倒了，那么与其相邻的骨牌也会在第一块骨牌的倒下的时候配第一块骨牌碰撞，从而倒下，多米诺骨牌无论是排列多少块，都是一个循环往复的过程，只要第一块倒下，便会引起连锁反应。运用在数学归纳法中，可以理解为，只要（1）(2)这两项是成立，那么式子可以推导出来，所以要保障两个数字之间具有一定的传递性刘艳.数学归纳法的原理及应用[J].山西经济管理干部学院学报,2011,19(3):135-137.刘艳.数学归纳法的原理及应用[J].山西经济管理干部学院学报,2011,19(3):135-137.当我们去掉多米诺骨牌的第三块，是无法推到多米诺骨牌的第四块的，因为两块骨牌之间失去了连续性，同样在整数的式子中，如果想要数学归纳法推导出来，需要保障两个数字之间有连续性，可以都是加上1，但是不能第一个数字加上1，第二个数字加上8.两者之间的连续性是为了保障假设成立。3.1.2原理证明过程想要了解数学归纳法，必须要学习基础的推导方式，在此基础上，使用在不同的数学题型当中，才能得出最后的答案。但是总结来说，数学归纳法的应用和“拆、添、并、放”有关。不同的题型刘艳.数学归纳法的原理及应用[J].山西经济管理干部学院学报,2011,19(3):135-137.，使用不同的方法。可以证明整数的成立或者偶数的成立。也就是假设n=1→刘艳.数学归纳法的原理及应用[J].山西经济管理干部学院学报,2011,19(3):135-137.一般的，常用的步骤为（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。例1：12+122++证明：（1）当n=1时，n=12→n=1-1若n=k时，则是12+122++则当n=k+1时等式成立在推导的过程中，需要对于式子左边的步骤进行化简，达到最终运算的目的，在这这里为了讲述清楚，特别用左右进行标注左12+122++112k+12k+1=1-22k+1由（1）（2）数学归纳法中可以得知，对于一切N∈正整数都可以成立。3.1.3易错点初学者在进行数学归纳法的具体应用中，经常好出现的易错点为以下几步，这对于研究学生如何更好的学习数学归纳法有着重要的作用。数学问题的探索，虽然是为了寻求一般的规律。但是存在一些特例，对于最终的结果也会产生一定影响。所以需要先考察一些特例，进行归纳，才能形成进一步的猜想李昭平,李叶生.将数学高考题引入复习课堂——对2020年一道高考压轴题的探究设计[J].中学数学杂志,2021(3):63-65.，最终证明自己的猜想是否正确，也就是归纳特例规矩，进行猜想，最后论证的一个过程。数学归纳法可以证明一些等式，但是等式并不一定的直接给出的。李昭平,李叶生.将数学高考题引入复习课堂——对2020年一道高考压轴题的探究设计[J].中学数学杂志,2021(3):63-65.弄不清n=k到n=k+1式子之间的变化。在上述的例子中，虽然是为了证明数学题的变化，但是大部分的学生知识简单的看后面的因式变化，并未将左边的因式的变化放入到学习当中。学生在使用数学归纳法的时候，容易忽略假设条件，没有使用到“归纳假设”。3.2数学归纳法在等式上的具体应用3.2.1恒等式的基本原理在数学上，无论变量如何取值，算式永远是可以成立的等式。这是两个解析是之间的一种关系，假设已经给定了两个解析式，如果对于他们的定义区域内的任一一组数或者数组，都是相等的值，这两个解析式就是恒等式。3.2.2应用过程数学归纳法在恒等式中应用较多，其主要的目的是为了证明等式左右两边是相等的。例1：用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）证明过程（1）当n＝1时，左边＝1＝（2×1-1）2＝右边，等式成立（2）假设n＝k时，等式成立即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2那么，当n＝k+1时有（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）=｛k+1[3（k+1）-2]｝X[3（k+1）-2（k+1）+1]X1=（2k+1）X（2k+1）2=[2（2k+1）-1]2由（1）（2）数学归纳法中可以得知，即当n＝k+1时，等式也成立，故对于任意正整数n，等式都成立3.2.3小结数学恒等式应用数学归纳法的过程中，需要注意以下两点：命题的关键在于“先看项”，需要了解清楚两边之间的构成规律，在进行数学的题目解析。等式两边“项”的多少，这是决定了“n”的取值的一个重点项目。在n=k到n=k+1式子之间。可以发生多少的变化，增加的多少项，减少多少项。如在上述的例子当中，当n=k的时候，左边=k到n=k+1的时候，左边=k+1在进行递推过程中，也就是在第二步进行n=k到n=k+1的推导过程中，必须使用归纳假设，不适用归纳假设难以证明其实数学归纳法。在第二步骤中，需要突出假设和结论，明确目标，充分考虑到命题之间的联系。3.3数学归纳法在不等式中的应用3.3.1不等式的基本概念数学的基本思维是归纳和推理，因此在不等式证明中，数学证明法可以充分的利用这一思维，进行不等式的证明。在中学生时期，学生解答不等式的问题可以说是不可或缺的，不等式的解答能够让学生从许多的事实中能够了解到无穷的可能性，无论是在数学的探索当中，还是在数学的教学当中，不等式都被数学家视作一个重要的阶段程晓亮,曾琬婷.师范生培养模式的探索与实践——以数学学科为例[J].吉林师范大学学报：人文社会科学版,2013,41(3):112-115.程晓亮,曾琬婷.师范生培养模式的探索与实践——以数学学科为例[J].吉林师范大学学报：人文社会科学版,2013,41(3):112-115.新课改的实施为不等式的学习打开了新的路径，数学的学习途径更多，对于不等式这类较为复杂的学习模式，教师开始潜移默化的将数学归纳法的解题步骤应用在不等式当中。虽然数学不等式通常会以隐形的模式进入到数学归纳法的详细解析当中。在解答不等式的过程中，数学归纳法是不可缺少的方法之一，他可以通过无限次的假设和验证替代无限次的验证，以此来证明不等式命题之间的合理性，从理论上正式不等式的规律性，总结特定条件下，食物的规律，用这一方法也可以证明和不等式有关的大部分的问题。通过数学归纳法在解析不等式的过程中，可以通过分析不等式两边的形式，尤其是左边算式的形式构成等，找到两者之间的差异，为了弄清这一方式，通常可以使用放缩法。比较法等技巧，进行不等式的解析。3.3.2放缩法证明不等式推导过程数学归纳法应用在不等式的解析中，相较于其他的算是，不等式的证明较为复杂，例2:1+12+13++1n（1）当n=2时，左边=1+12，右边=4所以32>4所以不等式成立（2）假设当n=k时，（k≥2，k∈N）不等式成立即为1+12+13++1左边=1+12+13++1k+1k+1=2k+1k+1右边=2（k+1）k+1+1由（1）（2）数学归纳法中可以得知，即当n＝k+1时，不等式也成立，故对于任意正整数n，不等式都成立3.3.3替代法证明不等式归纳假设的利用可以尝试寻找不同的方式，在证明不等式的过程中，有时候需要使用不等式中的某些项，从而形成一个替代，使得问题可以成立例3：求证3n>3n+1（n≥4，n∈N）证明：（1）当n=4时，34>3*4+1，原不等式成立（2）假设n=k，3k>3（3k+1）那么3X3k>3（3k+1）3k+1>9k+3=3k+3+3k>3（3k+1）+1故n=k+1时，原不等式成立由（1）（2）数学归纳法中可以得知，综上所述，当（n≥4，n∈N），原不等式成立3.3.3小结以上仅使用两种证明方式，证明数学归纳法在不等式中的应用，数学不等式运用数学归纳法进行解题，其核心是为了理解，帮助学生领会其中的远离，逐渐的接受数学归纳法的技巧，进而扩展学生在不等式中的解题事业。在解题的过程中，可以锻炼其数学思维，在不等式的教学当中，教师可以根据学生的水平使用不同的数学归纳法解题方法，学生的水平不同，使用的数学归纳法的解题方式也是不尽相同的陈立强.数学归纳法综述[J].品牌：理论月刊,2015,0(6):281-281陈立强.数学归纳法综述[J].品牌：理论月刊,2015,0(6):281-281在使用数学归纳法解题的过程中，通常容易陷入三个误区，一是在不了解数学归纳法的具体应用，贸然将他运用到不等式当中。如在上述的题型当中，学生运用数学归纳法证明不等式，在涉及到3n+1时，并不能很好的理解3n>3n+1两者之间的联系，不理解数学归纳法的具体应用，导致难以正确的应有；二是认为这一方法比较困难，存在畏难心理。相比起数学归纳法在等式中的应用，数学归纳法在不等式的应用看似更加的困难，学生在解题过程中容易陷入难以理解的误区，长此以往学生对于数学归纳法的学习便不再抱有信心，因为不再愿意将数学归纳法运用在不等式的解题过程中；三是缺少课后的总结。处于中学阶段的学生已经开始初步建立自己的思维，在这一过程中，学生需要通过总结来确认自己的学习效果，大部分的学生在后期难以形成自己的总结模板，对于数学归纳法的学习没有真正的总结，忽略了其中的关键核心，进而影响了最终的使用效果。3.4数学归纳法在整除问题中的应用3.4.1整除性问题概念在中学数学的学习中，整数性问题难度较高，因此运用数学归纳法可以帮助学生更好的理解整数性问题的内涵。在正整数有关的命题当中，数学归纳法是实现正整数解题的重要方法，但是数学归纳法在整数性问题的运用上有一定的局限性，只能证明命题是正确的。在使用数学归纳法证明正整数之前，需要总结出其中的规律，并且找出公式，进而用数学归纳法证明结论，3.4.2整除性问题推导过程例4：证明f（n）＝5n+2•3n+1能被8整除。证明：（1）当n＝1时，f（n）＝5n+2•3n+1＝8显然能被8整除，命题成立。（2）假设当n＝k时，原命题成立，即f（k）＝5k-1+2•3k+1能被8整除，那么，当n＝k+1时，f（k+1）＝5k-1+2•3k+1＝5•5k+6•3k+1+4•3k-1-4•3k-1＝5•5k+10•3k-1+5-4•3k-1-4＝5•f（k）-4（3k-1+1）由（1）（2）数学归纳法中可以得知，整除性问题成立。3.4.3小结整数性问题在数学规范法的使用过程中，可以最大程度上优化其中的解题步骤，更好的理解其中的解题方式。但是学生在学习整数性问题解题过程中，通常因为无法构建出学习网络，进而对于数学归纳法的使用一知半解。对于其中的公式运用等找不到具体的解题方法。3.5数学归纳法在几何问题中的应用3.5.1基本概述几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位。几何问题有着身后的发展历史，是数学重要的学习思想，在数学的其他学习内容中也常见几何的分析方式。3.5.2数学归纳法证明几何问题推导过程例5：证明凸n边形的对角线的条数f（n）＝n（n-3）.（n≥3）证明：（1）当n＝3时，f（3）＝0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。（2）假设：当n＝k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）＝k（k-3）。那么当n＝k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k－2个顶点A2，A3，A4，…，Ak－1可画出k－2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸边形的对角线条数为：f（k+1）＝f（k）+（k+1）＝k（k-3）+（k-1）＝（k2-k-2）＝（k+1）（k-2）＝（k+1）[（k+1）-3]由（1）（2）数学归纳法中可以得知，当n＝k+1时，命题也成立。3.5.3小结虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关命题的重要方法，但是由于使用数学归纳法证明过程中，过程较为繁琐，且难以操作。因此中学生在使用数学归纳法分析正整数问题的过程中能够，需很难避开数学的思维定式，无法参透命题个本身的特点。步骤的繁多性容易导致学生对于数学归纳法的学习失去兴趣。4数学归纳法在中学解题应用中的优化模式4.1联系生活实际大部分学生认为数学学习起来比较困难，其中最根本的原因是因为数学课程的教授比较抽象。特别是在讲授数学归纳法的学习中，大部分的学生一开始是完全听不懂的，并不能理解其中的内在含义，因此大部分的教师喜欢在讲授的过程中，将多米诺骨牌的原理告诉学生。通过多米诺骨牌在学生的思维中建立一个具体的形象，进而帮助学生理解数学归纳法应该如何在学习中使用卢小瑞.如何上好数学活动课[J].山西经济管理干部学院学报,2012,20(3):138-140.。卢小瑞.如何上好数学活动课[J].山西经济管理干部学院学报,2012,20(3):138-140.学生在学习数学的过程中，不应陷入抽象的困境中，将生搬硬套作为自己的学习中心，这样做的问题一是对于学习中等的学生而言，难以真正理解数学归纳法的内在含义。所以需要做大量的习题，不但浪费了时间，降低了数学学习的效率，还可能导致学生产生畏难的心理，认为数学归纳法的学习自己难以理解。对于能力较差的学生来说，甚至开始便不能理解，即使后期认真学习了，学生对于数学归纳法的印象也仅仅停留在抽象的学习当中，对于数学归纳法的学习无法得到实际的论证。学生需要理解数学归纳法中的具体知识，进而进行具体的应用。数学来源于生活，数学也应当应用在具体的生活中，一方面是为了提升学生的兴趣，使得学生在日常的生活中能欧了解数学归纳法的本质，另一方能够让学生注重学习的知识和生活的实际运用，运用学生能够接触到的生活实例帮助学生更好的理解数学归纳法黄东锋,姚顽强,史经检,张静,阮青山.序贯平差迭代公式再探讨[J].测绘地理信息,2018,43(4):88-91.黄东锋,姚顽强,史经检,张静,阮青山.序贯平差迭代公式再探讨[J].测绘地理信息,2018,43(4):88-91.4.2重视对问题的分类归纳对于问题的分类归纳，是决定了数学学习的关键。中学数学对于大部分的学生来说，学习程度偏向难度比较高，学生短时间内难以理解其中的内在含义，数学归纳法可以帮助学生建立对于问题的分类雏形，帮助学生提升数学学习的能力。中学学生为了提升自己解题的准确率，通常会选择做大量的习题，帮助自己建立起数学思维，但是大量的数学题并不代表学生能够学会，学生需要深度剖析数学题中的内容，将数学题吃透，进而将其进行一个分类归纳程晓亮,曾琬婷.师范生培养模式的探索与实践——以数学学科为例[J].吉林师范大学学报：人文社会科学版,2013,41(3):112-115.程晓亮,曾琬婷.师范生培养模式的探索与实践——以数学学科为例[J].吉林师范大学学报：人文社会科学版,2013,41(3):112-115.分类，是为了正确的区分不同习题之间的内在联系，归纳，是为了深化对于某种题型的联系，看看与哪些数学基础知识相联系，有没有出现一些新的功能或用途？再现思维活动经过，分析想法的产生及错因的由来，要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想，想到什么就写什么，以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法。即使是同一道题，也可以有不同的变化。如在上述的不等式的教学中，同样一道题，学生既可以数学归纳法中的两种解题方式进行详细的解题，进而得出更为优化的解题方式。学生在联系解题的过程中，需要落实自己的解题思维，将问题进行详细的分类归纳，进而落实到详细的解答过程当中。问题的分类归纳也为学生提供一个复习的空间，学生对于那一章节学习的程度不够好，学生可以清楚的了解到自己的弱势，进而有针对性的复习。有针对性的复习也是学生在学习过程中一种高效率的学习方法。想要学好数学，必须学会归纳总结，学生的总结可以帮助学生熟悉自己已经学过的知识，将其进行一个简单的归纳。将数学归纳法更好的运用到各类数学题的解析当中，还可清晰的展示数学归纳法解题之间个步骤之间的联系运用，帮助学生更好的运用数学归纳法解决问题。4.3构建数学归纳法的学习网络想要学习好数学归纳法，最重要是构建出数学归纳法的详细学习网络，中学生在利用数学归纳法解题的过程中，初期可能运用的不够熟练，认为数学归纳法学习起来较为困难，因此可以采用构建自己学习网络的方式，正确的帮助自己学习数学归纳法的使用。一是详细的了解数学归纳法的具体含义，对于其中涉及到的基础知识牢记于心，这需要学生在学习的过程中打好基础；二是参透基础题型的含义，在学好数学归纳法之后，学生需要从简单的习题运算开始学生，如12+122++12n阙小刚.对“直线与椭圆位置关系—中点弦问题(复习课)”的教学与思考[J].散文选刊：中旬刊,2020(12):16-17.只有探索知识间的联系，并且构建出属于自己的知识网络，才能使得学生在使用数学归纳法在证明不同的题型时，能清楚的考虑到其中的考点，选择合适的方法帮助自己解答题目。4.4创设学生学习数学归纳法的兴趣中学生在进行数学归纳法进行解题的过程中，由于数学归纳法学习较为困难，因此在初期的练习中，因为联系较为困难，所以学生常会有思路错误或者没有思路的困扰。因此除了解题之外，学生的兴趣也是学习的关键内容之一，学生将数学归