841平面(典例精讲)-2021-2022学年高一下学期数学精讲检测(人教A版2019)(原卷版)

8.4.1平面典例精讲典例精讲本节课知识点目录：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换；三个基本事实及其推论。点、线确定平面证明点共线证明线共点做界面与交线一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l【典型例题】【例1】用符号语言表示下列语句，正确的个数是（

）（1）点A在平面内，但不在平面内：，．（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．A．1 B．2 C．3 D．0【例2】若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（

）A． B． C． D．【例3】如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（

）A．， B．，C．， D．，【例4】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（

）A．点平面 B．直线平面C．直线平面 D．平面平面【例5】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（

）A．， B． C．， D．，【例6】将下列符号语言转化为图形语言：(1)A∉α，a⊂α.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β.(3)aα，a∩α＝A(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.【例7】根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.【对点实战】1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（

）A．， B．， C．， D．，2.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（

）A．，，且， B．，，且，C．，，且， D．，，且，3.“点在直线上，在平面内”可表示为（

）A．， B．，C．， D．，4.如图所示，用符号语言可表述为（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，5.画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：(1)，，，；(2)，，，，；(3)，，，．二、三个基本事实及其推论1．三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l2.三个推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面【典型例题】【例1】给出下列判断，其中正确的是（

）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内【例2】下列说法正确的是（

）A．三点确定一个平面B．四条首尾相连的线段确定一个平面C．两条异面直线确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面【例3】下列说法正确的是（

）A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形一定是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面西藏自治区拉萨中学20212022学年高一上学期期末考试数学试题【例4】下列命题正确的是（

）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【例5】下列说法中正确的是（

）A．四边相等的四边形确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．空间任意两条直线可以确定一个平面D．梯形确定一个平面【例6】下列叙述中，正确的是（

）．A．因为，，所以B．因为，，所以C．因为，，，所以D．因为，，所以【例7】已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（

）A． B．C． D．【例8】正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（

）A．相交 B．异面C．平行 D．垂直【对点实战】1.下列条件中能确定一个平面的是（

）A．空间任意三个点B．空间相交于一点的三条直线C．两条平行直线D．一条直线和一个点2.下列命题：（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.其中正确的命题有（

）个.A．0 B．1 C．2 D．33.自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（）A．两条平行直线确定一个平面B．两条相交直线确定一个平面C．不共线的三点确定一个平面D．三点确定一个平面4.下列命题中正确的是（

）A．经过三点确定一个平面B．经过两条平行直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面5.．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（

）A． B．C． D．6.以下四个命题中，正确命题的个数是（

）①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．37.如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（

）A．点 B．点 C．点，但不过点 D．点和点三、点、线确定平面证明点、线共面问题的常用方法(1)先证部分点、线確定一平面，再整其余点、线属于该平面(2)可以通过不同点、线确定两个平面，再用归谬法证明重合【典型例题】【例1】过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【例2】从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．1【例3】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（

）A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对【例4】在空间内，可以确定一个平面的条件是（

）A．两两相交的三条直线，且有三个不同的交点B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．两条直线【例5】下列条件中，能够确定一个平面的是（

）A．两个点 B．三个点C．一条直线和一个点 D．两条相交直线【例6】空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（

）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【例7】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.【对点实战】1.下列命题正确的是（

）A．一条直线和一个点确定一个平面B．圆心和圆上两点可以确定一个平面C．两个平面相交，存在特殊位置关系使它们只有一个公共点D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合2.下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面3.一个平面经过空间四点中的三点，这样的平面个数最多为（

）A．1 B．3 C．4 D．64.经过同一条直线上的3个点的平面（

）A．有且仅有1个 B．有无数个 C．不存在 D．有且仅有3个5.空间的4个平面最多能将空间分成（

）个区域．A．13 B．14 C．15 D．165.(1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？(3)共点的三条直线可以确定几个平面？6.如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面，存在请证明，不存在请说明理由；（2）若，求三棱锥的体积.四、证明点共线问题证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．【典型例题】【例1】在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（

）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上【例2】在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点P.求证：三点在同一条直线上.【例3】如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且(1)求证：四点共面；(2)设与交于点，求证：三点共线.【例4】如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上.【例5】如图所示，在四边形中，已知，直线，，，分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点共线．【对点实战】1.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.2.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．3.已知，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：（1）D，B，E，F四点共面.（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.4.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.五、证明线共点问题证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．【典型例题】【例1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（

）A．P一定在直线上B．P一定在直线上C．P在直线或上D．P既不在直线上，也不在直线上【例2】平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（

）A．个 B．个C．个 D．个例3】如图，正方体中，，分别为，的中点．（1）求证：，，，四点共面；（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．【例4】如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且．（1）证明：E，F，G，H四点共面．（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．【例5】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.【例6】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．【对点实战】1.如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．2.空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．3.如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：（1）、、、四点共面；（2）与的交点在直线上．（1）求证：、、、、、六点共面；（2）求证：、、三线共点；（3）求几何体的体积．5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点．六、做截面与交线（1）平行线法（2）相交直线法【典型例题】【例1】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．【例2】已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.【例3】如图，在长方体中，P为棱的中点．(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；(2)画出平面与平面ABCD的交线．【例4】已知正方体，，分别是棱，的中点．（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．【例5】如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；（2）求的长．【例6】如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）（2）求点到平面的距离．【例7】如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.【例8】如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点，为线段的中点（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.【对点实战】1.在正方体中，试画出平面与平面的交线．2.若α∩β＝l，A