数学素材：反证法与放缩法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨习题2。31．证明:方法一:假设(1－a)b＞eq\f(1，4），(1－b）c＞eq\f(1,4），（1－c）a＞eq\f（1,4）,则∵0＜a,b，c＜1,∴eq\r((1－a）b）＞eq\f(1,2），eq\r（（1－b)c）＞eq\f（1，2)，eq\r（（1－c）a)＞eq\f(1,2)，eq\r（（1－a）b）＋eq\r(（1－b）c)＋eq\r（(1－c)a）＞eq\f(3，2）.∵eq\r（(1－a）b)＋eq\r（（1－b）c）＋eq\r(（1－c)a）≤eq\f(1－a＋b，2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＝eq\f(3－（a＋b＋c）＋(a＋b＋c）,2)＝eq\f(3,2),∴矛盾，假设错误，原命题成立．方法二：设(1－a）b＞eq\f（1，4)，(1－b）c＞eq\f(1,4）,(1－c)a＞eq\f(1，4)，则三式相乘(1－a）b·（1－b）c·（1－c)a＞eq\f（1，64）.①又∵0＜a，b，c＜1,∴0＜(1－a)a≤eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（(1－a）＋a，2))）2＝eq\f（1,4).②同理（1－b）b≤eq\f(1,4)，③（1－c）c≤eq\f(1,4).④②③④三式左右两边分别相乘(1－a)a·(1－b）b·(1－c)c≤eq\f(1,64）,与①矛盾,∴原式成立．点拨：题目中出现了“不可能同时大于…”字样，而且三个式子地位相同,结合0＜(1－a)a≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f((1－a)＋a，2）））2＝eq\f（1，4),可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法．2．证明：∵eq\f（1,k)－eq\f(1，k＋1)＝eq\f（1，k(k＋1))＜eq\f（1，k2)＜eq\f(1,k(k－1））＝eq\f(1,k－1)－eq\f（1,k）,k＝2,3,4，…，∴eq\f(1,2）－eq\f(1，3）＜eq\f（1，22)＜1－eq\f(1,2)，eq\f（1,3)－eq\f(1，4)＜eq\f（1，32）＜eq\f(1,2)－eq\f(1,3),……eq\f（1，n)－eq\f（1，n＋1)＜eq\f(1，n2)＜eq\f（1，n－1）－eq\f（1，n）.将以上n－1个不等式左右两边分别相加,可得eq\f（1,2)－eq\f（1，n＋1）＜eq\f（1，22)＋eq\f(1，32)＋…＋eq\f(1，n2)＜1－eq\f（1，n）＝eq\f(n－1,n)。点拨：本题结论是以后经常要用到的，要记住eq\f（1，k（k＋1）)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k(k－1）），这是一种常见的放缩．3．证明：∵eq\r（k）－eq\r(k－1)＝eq\f（1，\r(k）＋\r（k－1））＞eq\f（1,\r(k）＋\r(k))＝eq\f（1，2\r(k)）,∴eq\f(1,\r(k）)＜2(eq\r（k）－eq\r(k－1))，k＝1,2,3，…，n.当k＝1，2，3，…，n时，1＜2（eq\r(1）－eq\r（0)),eq\f(1,\r（2）)＜2（eq\r(2)－1)，…,eq\f(1,\r（n）)＜2（eq\r(n)－eq\r(n－1））．将以上n个同向不等式相加，得1＋eq\f(1，\r（2))＋eq\f(1,\r（3））＋…＋eq\f（1,\r(n））＜2eq\r(n）。点拨：先构造其中一个式子eq\f(1，\r(k）)＜2（eq\r(k）－eq\r（k－1))，再相加得到要证的不等式．4．证明：假设eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，x2)－1）)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,y2)－1)）≥9不成立，则eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，x2）－1))eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，y2）－1））＜9。于是1－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,x2）＋\f(1，y2))）＋eq\f(1，x2y2）＜9，∴1－（x2＋y2）＜8x2y2。∵x＋y＝1，∴1＝（x＋y）2。∴2xy≤8x2y2。∴xy(1－4xy）＜0.①∵eq\r(xy）≤eq\f(x＋y，2)＝eq\f（1,2），∴xy≤eq\f(1，4）.∴1－4xy≥0。∴xy（1－4xy)≥0.②由①②可知矛盾,所以假设不成立，从而eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，x2)－1)）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，y2）－1)）≥9成立．5．解：∵V＝πr2h，∴S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋πrh＋πrh≥3eq\r（3,2πr2·πrh·πrh)＝3eq\r(3,2π3r4h2）＝3eq\r(3,2π(πr2h）2)＝3eq\r（3,2πV2)。∴表面积最小为S＝3eq\r（3,2πV2），当且仅当2πr2＝πrh＝πrh,即V＝πr2·2r＝2πr3.∴r＝eq\r(3，\f（V,2π））,h＝2eq\r（3，\f（V,2π)）.点拨:主要利用均值不等式来解决．6．解：设围成的圆锥的底面半径为r，高为h，则有R2＝r2＋h2＝eq\f（1，2)r2＋eq\f（1，2）r2＋h2≥3eq\r(3，\f(1，2)r2·\f（1,2)r2·h2)＝3eq\r（3，\f(1，4）（r2h）2).∵eq\f（1，4）（r2h）2≤eq\f（R6，27），∴(r2h)2≤eq\f（4R6,27）。∴r2h≤eq\f（2\r（3)R3，9）.∵V＝eq\f(1，3)πr2h,∴V≤eq\f(1，3)πeq\f(2\r（3）R3,9)＝eq\f（2\r（3)πR3,27）。∴容积最