考向14等差数列-2022年高考数学一轮复习考点微专题（原卷版）

考向14等差数列1．（2021·山东高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．2．（2020·山东高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.3．（2019·上海高考真题）已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为eq\f(an＋1,an)＝f(n)型，则采用累乘法.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝eq\f(x＋y,2).2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.一、单选题1．（2021·上海高三专题练习）椭圆上有10个不同的点，若点坐标为，数列是公差为的等差数列，则的最大值为（）A． B． C． D．2．（2020·上海高三专题练习）设函数，是公差为的等差数列，，则()A．0 B． C． D．二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）设公差不为的等差数列的前项和为.若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为___________.4．（2020·上海高三其他模拟）设数列的前项和为，，.已知，是双曲线：的左右焦点，，若对恒成立，则实数的取值范围是______.三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．（1）设，求数列的通项公式，并求的值；（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．6．（2020·上海高三专题练习）是等差数列，为数列前项和．求：（1）；（2）．7．（2020·上海高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.8．（2020·上海高三专题练习）数列满足，，求的值和.1．（2021·上海徐汇区·位育中学高三）已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为________.2．（2021·上海高三）等差数列中，，则______.3．（2020·上海市进才中学高三期中）设等差数列的前项和为，若，则=______.4．（2020·上海市七宝中学高三期中）已知数列为等差数列，且，则_________.5．（2019·上海闵行区·闵行中学高三期中）2和8的等差中项是________.6．（2021·上海民办南模中学高三）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.7．（2021·宝山·上海交大附中高三）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为__________.8．（2021·上海长宁·高三）在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则＝_____．9．（2021·上海虹口·高三）在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为___________.一、单选题1．（2021·上海民办南模中学高三）已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（）（1）､､可能成等差数列；（2）､､可能成等比数列；（3）中任意三项不可能成等比数列；（4）当时，恒成立.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题2．（2021·上海交大附中高三开学考试）下列五个命题中正确的是________（填序号）．①若为锐角三角形，且满足，则②在的二项展开式中，项的系数为③函数与函数关于直线对称④设等差数列的前n项和为，若，则⑤函数的最小值为23．（2021·上海高三）将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点.已知，将约束条件表示的平面区域内格点的个数记作，若，则___________.三、解答题4．（2022·上海）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．5．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）设抛物线的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线于两点，且．（1）求此抛物线的方程；（2）O为坐标原点，动点P在直线上，且满足，记动点P的轨迹为C，求C的方程；（3）数列为等差数列，前n项和记为，若点是（2）中的轨迹C上的点，且总有，试求满足条件的M的最小值．6．（2021·上海徐汇·）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；（3）设集合，判断集合C是否是α集，证明你的结论．7．（2021·上海长宁·高三）数列满足：，且对任意，都有．（1）求；（2）设，求证：对任意，都有；（3）求数列的通项公式．8．（2021·上海市奉贤中学）已知函数，，各项均不相等的数列满足：，令.（1）试举例说明存在不少于项的数列，使得；（2）若数列的通项公式为，证明：对恒成立；（3）若数列是等差数列，证明：对恒成立.9．（2021·上海市青浦高级中学高三）已知数列满足，，．（1）若，，，求x的取值范围；（2）设是公比为q的等比数列，，若，，求q的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列的公差．10．（2021·上海市实验学校）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.一、单选题1．（2021·北京高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．122．（2021·北京高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．1603．（2017·上海高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）A． B． C． D．二、填空题4．（2013·上海高考真题（文））在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=___．5．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.6．（2013·上海高考真题（理））设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差__________三、解答题7．（2021·湖南高考真题）已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.8．（2021·全国高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．9．（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.10．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明11．（2007·上海高考真题（理））若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前