2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用（4）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用（4）教学教案新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教材分析《2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用（4）教学教案新人教A版必修4》课程内容在学生对三角函数基本概念、图像及性质有一定了解的基础上，进一步探讨三角函数在实际问题中的应用。本节通过引入实例，如物理摆动、周期现象等，使学生掌握正弦、余弦函数在描述物体周期运动中的应用。课程紧密联系教材，以必修4课本中三角函数应用案例为蓝本，结合实际生活情境，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，加强对三角函数模型的认识，提高数学思维及分析解决问题的能力。二、核心素养目标本节课旨在深化学生对三角函数应用的理解，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过分析实际问题中的周期性变化，培养学生将现实问题转化为数学模型的能力，加强数学抽象思维。在探讨三角函数解决具体问题时，强化逻辑推理和数学运算能力，使学生能够准确运用三角公式，进行数学证明和问题求解。此外，通过小组合作和问题讨论，提高学生的沟通与合作能力，促进学生综合素质的发展，与新人教A版必修4的教学要求紧密相连，确保教学内容与核心素养目标的有效融合。三、学情分析本节课的教学对象为高中一年级学生，他们在知识、能力、素质方面具备以下特点：

1.知识层面：学生在初中阶段已经接触过简单三角函数的概念，具备一定的三角函数基础知识。然而，对于三角函数在实际问题中的应用，尤其是运用三角函数解决具体问题，学生的掌握程度相对有限。此外，学生在初中阶段对周期性问题的认识主要停留在直观层面，缺乏深入理解和抽象概括。

2.能力层面：学生在数学逻辑推理和运算能力方面，经过初中阶段的学习，具备一定的数学思维和推理能力。但在将实际问题抽象为数学模型、运用数学知识解决实际问题时，能力仍有待提高。此外，学生在团队合作和沟通表达方面，能力参差不齐，部分学生表现较为内向，影响课堂讨论效果。

3.素质层面：学生在学习态度、自律性和学习方法方面存在一定差异。部分学生对数学学习充满热情，具有较高的自觉性和探究精神；而另一部分学生对数学学习兴趣不足，学习积极性不高，容易受外界因素干扰。这种差异对学生学习本节课内容产生一定影响。

4.行为习惯：学生在课堂上的行为习惯各异，部分学生能够积极参与课堂讨论，主动提问和回答问题；而部分学生习惯于被动接受知识，课堂参与度不高。此外，学生在课后作业和复习方面，习惯也有所不同，影响学习效果的巩固。

针对以上学情，本节课的教学策略如下：

1.强化基础知识：在教学过程中，教师应关注学生对三角函数基础知识的掌握，通过复习导入、实例分析等方式，帮助学生巩固已学知识，为学习新内容奠定基础。

2.激发学生兴趣：教师应结合生活实例，创设情境，激发学生对三角函数应用的兴趣，提高学生的学习积极性。

3.培养建模能力：在教学过程中，教师引导学生将实际问题抽象为数学模型，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。

4.分层教学：针对学生能力差异，教师应实施分层教学，关注不同层次学生的需求，提高课堂教学效果。

5.培养良好学习习惯：教师应关注学生的课堂行为和课后学习习惯，通过课堂纪律管理、课后辅导等方式，引导学生养成良好的学习习惯。

6.促进团队合作：教师组织课堂讨论和小组活动，培养学生的团队合作能力和沟通表达能力。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都提前准备好新人教A版高中数学必修4教材，以便在课堂上能及时翻阅到本节课相关的三角函数内容。同时，为学生提供课堂练习册和课后作业，以巩固所学知识。

2.辅助材料：为提高学生对三角函数模型的理解，准备以下多媒体资源：

-图片：展示生活中常见的周期性现象，如荡秋千、摆钟等，帮助学生直观理解周期性变化。

-图表：制作正弦、余弦函数的图像，以及在不同相位下的变化，让学生更清晰地观察函数性质。

-视频：播放与周期性运动相关的物理实验或实际应用场景，如桥梁振动、声波传播等，增强学生对三角函数应用的认识。

-课件：制作包含本节课重点知识、例题和练习题的PPT，方便学生跟随课堂进度。

3.实验器材：针对本节课涉及的简单实验，如用荡秋千模拟正弦运动，准备以下器材：

-荡秋千模型：用于演示周期性运动，让学生观察和记录数据。

-计时器：用于测量周期时间，以便计算频率和角速度。

-测量工具：如刻度尺、量角器等，用于测量实验数据。

4.教室布置：

-分组讨论区：将学生分成若干小组，每组配备一张桌子、若干椅子，方便学生进行小组讨论和合作学习。

-实验操作台：在教室一侧设置实验操作区，确保实验器材的整齐摆放，便于学生进行实验操作。

-投影设备：确保教室内的投影仪、音响设备等正常工作，以便在课堂上展示多媒体资源。

为保证教学活动的顺利进行，教师应提前检查教学资源的完整性和适用性，确保各项资源与教材内容紧密相连，便于学生理解和掌握三角函数在实际问题中的应用。同时，关注学生在课堂上的参与程度，灵活运用各种教学资源，提高课堂教学效果。五、教学流程本节课的教学流程分为课前、课中、课后三个阶段，共计45分钟。

1.课前准备（5分钟）

（1）预习任务：布置学生预习新人教A版高中数学必修4教材中关于三角函数应用的相关内容，了解三角函数在实际问题中的简单应用。

（2）教学资源准备：检查教材、辅助材料、实验器材等教学资源的完整性和适用性。

2.课中教学（35分钟）

（1）导入（5分钟）

（2）知识点讲解（10分钟）

结合教材内容，回顾正弦、余弦函数的定义和图像，引导学生理解周期性变化与三角函数的关系。在此基础上，讲解三角函数在实际问题中的应用，如物体振动、声波传播等。

举例：物体做简谐运动，其位移x（t）=Asin（ωt+φ）或x（t）=Acos（ωt+φ），其中A为振幅，ω为角速度，φ为初相位。

（3）课堂讨论与练习（10分钟）

教师提出问题，引导学生进行小组讨论，共同探讨三角函数在周期性变化中的应用。

问题1：荡秋千的周期与摆长有什么关系？

问题2：如何利用三角函数解决物体在简谐运动中的位置问题？

在讨论过程中，教师给予适当指导，确保学生正确理解和运用三角函数。

随后，进行课堂练习，巩固所学知识。

练习1：已知一个周期性变化的函数f（t）=Asin（ωt+φ），求其周期、振幅、角速度和初相位。

练习2：荡秋千的周期为T，求摆长L与周期T的关系。

（4）实验操作（5分钟）

组织学生进行荡秋千实验，测量周期、振幅等数据，并利用三角函数进行分析。

实验步骤：

1）调整荡秋千的摆长，使周期T保持不变。

2）测量荡秋千的振幅A。

3）利用三角函数计算角速度ω和初相位φ。

4）讨论实验结果，分析摆长L与周期T的关系。

（5）总结与拓展（5分钟）

教师对本节课的知识点进行总结，强调三角函数在周期性变化中的应用，并对学生进行拓展，介绍其他应用场景。

3.课后作业与反思（5分钟）

（1）课后作业：布置与本节课相关的练习题，巩固所学知识。

（2）教学反思：教师对本节课的教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学方法，以提高教学质量。六、知识点梳理本节课的核心知识点围绕三角函数在实际问题中的应用，特别是周期性变化问题。以下是与新人教A版高中数学必修4教材相关的内容梳理：

1.三角函数的基本概念：

-正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的定义和图像。

-周期性：三角函数的周期性和频率的关系。

-相位：初相位的含义及其对三角函数图像的影响。

2.三角函数的性质：

-正弦函数和余弦函数的奇偶性。

-正弦函数和余弦函数的单调性。

-正弦函数和余弦函数的值域。

3.三角函数的应用：

-周期性变化问题：如物理摆动、机械振动、声波传播等。

-物理简谐运动：利用三角函数描述简谐运动的位移和时间的关系。

-周期性现象的数学建模：将实际问题抽象为三角函数模型。

4.实际问题的解决方法：

-确定周期和频率：根据实际问题的周期性特征，确定三角函数的周期和频率。

-确定振幅和初相位：通过实际测量或给定条件，确定三角函数的振幅和初相位。

-建立函数模型：利用已知的周期、频率、振幅和初相位，建立三角函数模型。

5.具体应用案例：

-摆钟问题：利用三角函数描述摆钟的摆动规律。

-桥梁振动问题：分析桥梁在车辆行驶作用下的振动，利用三角函数进行建模。

-声音传播问题：研究声波在空气中的传播，利用三角函数描述声压级的变化。

6.数学运算和证明：

-运用三角函数的基本关系式进行化简和证明。

-利用三角函数的性质解决实际问题中的计算问题。

7.数学建模能力：

-从实际问题中抽象出三角函数模型的能力。

-运用三角函数模型分析和解决实际问题的能力。七、课堂小结，当堂检测本节课我们学习了三角函数在实际问题中的简单应用，特别是在周期性变化问题中的应用。以下是本节课的课堂小结和当堂检测内容：

1.课堂小结：

（1）三角函数的基本概念：

-正弦函数和余弦函数的定义、图像和性质。

-三角函数的周期性、频率和相位。

（2）三角函数在周期性变化中的应用：

-利用三角函数描述物理摆动、简谐运动等周期性变化问题。

-建立周期性现象的数学模型。

（3）实际问题的解决方法：

-确定周期、频率、振幅和初相位。

-利用三角函数建立函数模型。

（4）数学运算和证明：

-运用三角函数的基本关系式进行化简和证明。

-解决实际问题中的数学运算。

2.当堂检测：

（1）填空题：

1）正弦函数的周期为____，余弦函数的周期为____。

2）物体做简谐运动时，位移x（t）=Asin（ωt+φ），其中A表示____，ω表示____，φ表示____。

3）荡秋千的周期T与摆长L的关系为____。

（2）选择题：

1）以下哪个选项是正弦函数的图像？

A.

B.

C.

D.

2）以下哪个选项表示简谐运动中的角速度？

A.周期T

B.频率f

C.振幅A

D.初相位φ

（3）解答题：

1）已知一个周期性变化的函数f（t）=Asin（ωt+φ），求其周期、振幅、角速度和初相位。

2）荡秋千的周期为T，求摆长L与周期T的关系。

（4）实验题：

1）进行荡秋千实验，测量周期、振幅等数据，并利用三角函数进行分析。

2）根据实验结果，讨论摆长L与周期T的关系。八、课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：提供与三角函数应用相关的科普文章，如《三角函数在工程中的应用》、《音乐中的三角函数》等，以丰富学生对三角函数实际应用的了解。

-视频资源：推荐观看与周期性变化相关的科学实验视频，如《简谐运动的模拟实验》、《声波传播的演示》等，帮助学生直观感受三角函数在现实世界中的运用。

2.拓展要求：

-鼓励学生在课后阅读推荐的科普文章，了解三角函数在不同领域的应用。

-学生观看视频资源，观察实验现象，思考视频中的周期性变化如何用三角函数来描述。

-教师提供阅读材料和视频资源的摘要或指导，帮助学生理解拓展内容。

-鼓励学生将拓展内容与课堂所学相结合，尝试解决实际问题，如分析生活中的周期性现象。

-教师在课后为学生解答拓展内容相关的疑问，指导学生进行有效的自主学习。板书设计1.条理清楚、重点突出：

①重点知识点：

-正弦、余弦函数的定义与图像

-周期、频率、振幅、初相位的概念

-三角函数在周期性变化中的应用

②关键词：

-周期性

-简谐运动

-数学建模

③重要句式：

-x(t)=Asin(ωt+φ)

-x(t)=Acos(ωt+φ)

-周期T与摆长L的关系

2.简洁明了：

①知识点概括：

-三角函数基本概念与性质

-周