专题突破09最值问题与范围问题-2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性）

专题突破——09最值问题与范围问题题型一距离类问题1．设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．设，求导得：．令得；令得，所以当时，有最小值为，故选：．2．已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为A．4 B．8 C．12 D．18【解答】解：实数，，，满足，，，点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，，求出上和直线平行的切线方程，令，解得，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，故的最小值为．故选：．3．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上点到直线的距离为设则由可得，由可得函数在单调递减，在，单调递增当时，函数故选：．4．已知直线分别与函数和交于，两点，则，之间的最短距离是A． B． C． D．【解答】解：依题意，设，，，，则，即，由指数函数及根式函数的图象及性质可知，，，设（a），则，易知函数（a）在单调递减，在单调递增，，即，之间的最短距离是．故选：．5．已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最大值是A．0 B．2 C． D．【解答】解：由于，故函数单调递增，则原问题等价于函数有两个不相等的实数根，，且，求的最大值．绘制函数的图象如图所示，观察可得，不妨设，则，关于的函数单调递增，故的最大值为．故选：．6．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为A．2 B． C．2 D．【解答】解：，该函数的定义域为，值域为，，函数与互为反函数，其图象关于直线对称，两曲线上点之间的最小距离就是与上点的最小距离的2倍．设上点，处的切线与直线平行，则，，，点，到的距离为，则的最小值为．故选：．7．设动直线与函数，的图象分别交于点，，则最小值的区间为A． B． C． D．【解答】解：画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．设，求导得：．（1），，所以存在，，使得，，，函数是减函数，，，函数是增函数，所以函数的最小值在与（1）之间．，（1），故选：．8．若实数，，，满足，且，则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：实数，，，满足，，．，．，，（a），当且仅当时取等号．当时，（a），（a），令（a），．当时，（a），函数（a）单调递增；当时，（a），函数（a）单调递减．函数（a）最大值，．的最小值为．故选：．9．已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最小值是A．2 B． C． D．【解答】解：的定义域为，且，可得为奇函数，，，，当时，，递增，可得，递增，可得，即在递增，进而在上递增，作出的图象；作出的图象．设，由，可得，即有，且，可得，则，，由的导数为，当时，递增，时，递减，可得处取得极小值，且为最小值，则的最小值是．故选：．10．已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为．【解答】解：当点是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，取得最小．故令解得，，故点的坐标为，故点到直线的最小值为．故答案为：．题型二分离参数法11．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为A．， B． C． D．，【解答】解：函数，且在上恒成立，函数，，令，只要求得的最大值即可，，，，，，在上为减函数，（1），在小于0，在上为减函数，（1），又，可以等于，．故选：．12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是，．【解答】解：由题意：在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，易知时，；时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故即为所求．故答案为：．13．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是，．．【解答】解：函数的导数，所以由得，，即成立．设，则，则函数，因为，所以当时，有最大值3，所以．即实数的取值范围是，．故答案为：，．14．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是，．【解答】解：由，得，得恒成立，设，则，对于，，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以，当且仅当，即，时，取“”号，故，的取值范围是，，故答案为：，．题型三参数的范围问题15．已知函数，（Ⅰ）求函数在，上的最小值；（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，①，时，函数在上单调递减，在，上单调递增，函数在，上的最小值为，②当时，在，上单调递增，，；（Ⅱ），则题意即为有两个不同的实根，，即有两个不同的实根，，等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，在上单调递减，在，上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当时，，存在，且的值随着的增大而增大而当时，由题意，两式相减可得代入上述方程可得，此时，所以，实数的取值范围为；16．已知函数，为的导数．（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若，时，，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：，，令，则，当时，，当时，，当时，极大值为，又，，在上有唯一零点，即在上有唯一零点；（2）由题设知，，可得．由（1）知，在上有唯一零点，使得，且在为正，在，为负，在，递增，在，递减，结合，，可知在，上非负，当，时，，又当，，时，，，的取值范围是，．17．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若方程在，上有且只有一个实根，求的取值范围．【解答】解：（1）函数得定义域为，因为，所以．①若，则．当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．②若，则．当时，，此时函数单调递减；当和，，此时函数单调递增．综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，单调递减区间为，的单调递增区间为和．（2）令，显然有的单调性与保持一致．由（1）可知：①当时，在单调递减，在，单调递增，此时，为使在，上有且只有一个零点，根据零点的存在性定理，则需满足（1）或（2），解得：或，②当时，在单调递增，在单调递减，在，单调递增．因为（1），所以当时，总有，因为，所以，所以在上必有零点．因为在上单调递增，所以当，在，上有且只有一个零点．综上，当或或时，方程在，上有且只有一个实根．18．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【解答】解：（1）当时，，，设，因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，，所以的增区间为，减区间为；（2）当时，恒成立，①当时，不等式恒成立，可得；②当时，可得恒成立，设，则，可设，可得，设，，由，可得恒成立，可得在递增，在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在递增；时，，在递减，所以（2），所以，综上可得的取值范围是，．19．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，，，令，则，当且仅当时取等号，因此，是增函数，即是增函数．又因为，所以当时，；当时，，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）可知，，令，则，令，则，①当时，，令，则，令，则，因此是增函数，即是增函数．又因为，所以当时，；当时，，则在单调递减，在单调递增．于是，，进而有，是增函数，即是增函数，又因为，所以当时，；当时，，则在单调递减，在单调递增．于是，，符合题意；②当时，，因为当时，，所以即在，上是减函数，则当时，，进而在，上是减函数，于是，当时，，不合题意．综上，实数的取值范围为，．20．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）已知，若函数与图像有两个交点，求的取值范围．【解答】解：（1）定义域为：，，①若时，当，，递增；，，递减，②若时，则，当，，递增；当，，递减；当，，递增．③若时，则，时，递增．④若时，，当，，递增；当，，递减，当，，递增，综上所述：若时，为递增区间，为递减区间，若时，，为递增区间，为递减区间，若时，为递增区间，无递减区间，若时，，为递增区间，为递减区间．（2）由得，即，即，所以，令，问题等价为直线与函数的图像有两个交点，令，显然在递增，（1），即时，，递增；当时，，递减，故极大，当时，，当时，取，，故符合题意的必要条件是：，又当，由，而，这说明，在两个交点的横坐标位于区间和内，所以是充分的，故符合题意的必要条件是：．21．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解答】解：（1），，①当时，恒成立，在上单调递增，②当时，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，③当时，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在，上单调递减，在，上单调递增，（2）①当时，恒成立，②当时，由（1）可得，，，③当时，由（1）可得：，，，综上所述的取值范围为，．22．已知常数，函数．（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）．，，