专题2平面向量基本定理及平面向量的应用（知识点串讲）-2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019浙江）

20202021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江）专题2平面向量基本定理及平面向量的应用【知识网格】【知识讲练】知识点一平面向量基本定理定理条件e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量结论对于这一平面内的__任意__向量a，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__基底把__不共线__的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组__基底__例1.（2021·浙江高一期末）已知向量是不共线的两个向量，．（1）若，当时，求的值．（2）若三点共线，求实数t的值；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得的值.（2）由三点共线列方程，由此求得的值.【详解】（1）当时，，由于，所以，所以，解得.（2），，由于三点共线，所以.【变式训练11】（2021·浙江高一期末）已知在中，点M为上的点，且，若，则（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】用表示出，求得后可得．【详解】因为，所以，又，所以，所以．故选：B．【变式训练12】（2021·浙江高一期末）如图，在菱形中，，．（1）若，求的值；（2）若菱形的边长为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法法则可得出关于、的表达式，可得出、的值，进而可得出的值；（2）设，则，利用平面向量数量积的运算性质可得出，即可求得的取值范围.【详解】（1），，，因此，；（2）设，则，，所以，.【规律方法】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．知识点二平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和__a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差__a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__λa＝__(λx1，λy1)__向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1)__平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b．数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__模|a|2＝__xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)__或|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))模设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(a，b为非零向量)例2.【多选题】（2021·浙江高一期末）直角梯形中，是边长为2的正三角形，是平面的动点，，设，则的值可以为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【解析】先建立坐标系，再通过向量的相等求出，最后求出即可作出判断.【详解】以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，,可设取,因为，所以，，，因为，所以，因此可得，所以，可知1和2在此区间内.故选：BC.【变式训练21】（2021·浙江高一期末）设，p：向量与的夹角为钝角，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题知，进而根据题意得以且与的不共线，解得且，再结合集合关系判断即可得答案.【详解】由题知,因为向量与的夹角为钝角,所以且与的不共线,所以且,解得且因为是的真子集,所以p是q的充分不必要条件,故选:A【变式训练22】（2021·浙江高一期末）已知向量，则当________时，向量；当______时，向量．【答案】【解析】根据向量平行关系，得出关于参数的方程即可求解；若，则，根据平面向量数量积的运算律，计算可得.【详解】解：因为，所以，，当，所以，解得；当，所以，即，所以解得.故答案为：；.【方法技巧】1.向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．2.若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．3.两个向量共线条件的三种表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当b≠0时，a＝λb．这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．4.用坐标求两个向量夹角的四个步骤：(1)求a·b的值；(2)求|a||b|的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．知识点三平面向量的应用平面几何、物理1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．例3.（2021·四川成都市·树德中学高一月考）如图，在中，，分别为边，上的点，且，，为上任意一点，实数，满足，设，，，的面积分别为，，，，记，，，则当取最大值时，的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由长度关系可确定，由，结合基本不等式可求得的最大值，并得到当时取得最大值，由此确定为中点；根据向量线性运算可得到，由此得到的值，代入可得结果.【详解】，；，，且，，即，，又，即，（当且仅当时取等号），当时，为中点，则由得：，，.故选：D.例4.（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）某人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】用表示水速，用表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，则他实际前进的方向与水流方向的夹角为，求出即可.【详解】如图，用表示水速，用表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，则他实际前进的方向与水流方向的夹角为因为，所以故选：B【变式训练31】（2021·全国高一课时练习）已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（）A．(－2，－2) B．(2，－2)C．(－1,2) D．(－2,2)【答案】D【解析】根据向量加法运算坐标表示公式，结合相反向量的定义进行求解即可.【详解】因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)，所以F1F2F3，要想使该物体保持平衡，只需F4，故选：D【变式训练32】（2021·四川成都市·树德中学高一月考）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】7【解析】以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出，然后可得答案.【详解】以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当时取得最小值7故答案为：7【方法技巧】1.借助平面直角坐标系将平面几何问题转化为向量问题解决，是解决平面几何问题的一种重要方法．2.建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上．知识点四平面向量的应用正弦定理1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即__eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)__．2．由正弦定理导出的结论(1)a∶b∶c＝__sinA∶sinB∶sinC__．(2)由等比性质和圆的性质可知，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝__eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)__＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB．例5．（2021·浙江高一期末）在中，，则（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．【答案】D【解析】利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【详解】由题意，在中，，利用向量的数量积的定义可知，即即，即，设，解得，所以，所以由正弦定理可得.故选:D.例6.（2021·浙江高一期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且满足_______，试判断的形状，并写出推理过程．【答案】条件选择见解析，为等边三角形，理由见解析.【解析】根据题中已知条件、正弦定理以及余弦定理化简可得.选择①：利用正弦定理、二倍角公式化简可得的值，结合角的取值范围求出角的值，可判断出的形状；选择②：利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围求出角的值，可判断出的形状；选择③：利用正弦定理、两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围求出角的值，可判断出的形状.【详解】因为，由正弦定理可得，即，所以，，则，可得.选①：，由正弦定理可得，，则，故，故，，则，故，则，可得，得，所以，为等边三角形；选②：且，由正弦定理可得，，则，则，，则，故，所以，，则，得，所以，为等边三角形；选③：，由正弦定理可得，，则，故，即，整理可得，，则，所以，为等边三角形.【变式训练41】(全国卷Ⅲ真题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝____．【答案】75°．【解析】如图，由正弦定理，得eq\f(3,sin60°)＝eq\f(\r(6),sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)．又c>b，∴C>B，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°．【变式训练42】在△ABC中，A＝60°，sinB＝eq\f(1,2)，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．【答案】B＝30°或150°．C＝90°．∴b＝eq\r(3)．c＝2eq\r(3)．【解析】∵sinB＝eq\f(1,2)，0°<B<180°，∴B＝30°或150°．当B＝150°时，不合题意舍去．当B＝30°时，C＝90°．由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(3×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\r(3)．由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝9＋3＝12，∴c＝2eq\r(3)．【总结提升】1.用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？①__已知任意两角与一边，求其他两边和一角__．②__已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角__(从而进一步求出其他的边和角)．(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b__一解____一解____一解__a＝b__无解____无解____一解__a<b__无解____无解__a>bsinA__两解__a＝bsinA__一解__a<bsinA__无解__2.已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：知识点五平面向量的应用余弦定理余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和__减去__这两边与它们的夹角的余弦的积的__两__倍符号语言在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝__a2＋b2－2abcosC__推论在△ABC中，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋c2－b2,2ac)cosC＝__eq\f(a2＋b2－c2,2ab)__例7.（2021·浙江高一期末）在中，，若，则的最大值是____________．【答案】【解析】由，结合向量数量积的定义及余弦定理可得，进而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可【详解】解：因为，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为，所以的最大值是，故答案为：例8.（2021·浙江高一期末）中，角的对边分别为，（1）若为锐角三角形，其面积为，求a的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）结合已知条件和正弦定理先求解出的值，再根据三角形的面积公式求解出的值，最后根据余弦定理求解出的值；（2）根据已知条件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之间的倍数关系，结合倍数关系即可计算出的值，则的值可求，故的值可求.【详解】（1）因为且，所以且，所以，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以；（2）因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.【变式训练51】【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）A． B．为锐角三角形C． D．【答案】ACD【解析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误【详解】解：，所以，故A正确；若，则为锐角，无法得