二次函数与面积有关的问题（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题03二次函数与面积有关的问题（知识解读）

【专验饯明】

二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识

点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的

常用解法。同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够

轻松答题。

【知佣立梳理】

类型一：面积等量关系

类型二：面积平分

方法一：利用割补

将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上

或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）

SAMDN=SAOEM*SAOEN

SADOC+SACOB

方法二：铅锤法

(1)求/、6两点水平距离，即水平宽;

(2)过点。作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C；

(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标;

(4)根据。坐标求得铅垂高

(5)5=工水平宽x铅锤高

2

方法三：其他面积方法

如图1,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.

如图2,同底三角形的面积比等于高的比.

如图3,同高三角形的面积比等于底的比.

如图1如图2如图3

【典例今新】

【类型一：面积等量关系】

【典例21](2022•盘锦)如图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点(A在

B的左侧)，与y轴交于点C(0,-4).点尸在抛物线上，连接3C,BP.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交无轴于点E,

连接CE,记△DCE的面积为Si,△08尸的面积为S2,当Si=S2时，求点尸的坐标;

【变式1](2022•泸州)如图，在平面直角坐标系尤0y中，已知抛物线＞=/+尤+c经过A

(-2,0),B(0,4)两点，直线x=3与无轴交于点C.

(1)求a,c的值；

(2)经过点。的直线分别与线段直线x=3交于点。，E,且△2D。与△OCE的

面积相等，求直线。E的解析式；

(3)产是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段0C和直线尤=3上是否分别存在点

F,G,使8,F,G,P为顶点的四边形是以BE为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

【类型二：面积平分】

【典例2】(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线3经过点8(6,

0)和点。(4,-3),与x轴的另一个交点为A,与y轴交于点C,作直线AD

(1)①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线AD的函数表达式；

(2)点E是直线下方的抛物线上一点，连接BE交A。于点R连接BDDE,△

2。厂的面积记为Si,△OEF的面积记为S2,当51=252时，求点E的坐标；

备用图

【变式2】(2022•内江)如图，抛物线y=o?+bx+c与无轴交于A(-4,0),B(2,0),

与y轴交于点C(0,2).

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；

(2)若点。为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点。到直线AC的距离的

最大值及此时点D的坐标；

(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形C8朋的面积分为1：5两部分，

求点P的坐标.

备用图

【典例3](深圳)如图抛物线y=axL+bx+c经过点A(-1,0),点C(0,3),且

=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴;

(2)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形C8B4的面积分为3：5两部分,

求点P的坐标.

【变式3](2021秋•合川区)如图，抛物线y=o?+6x+6(a#0)与x轴交于A(-1,0),

8(6,0),与y轴交于点C,点尸为第一象限内抛物线上一动点，过点尸作x轴的垂线,

交直线3c于点。，交x轴于点E,连接尸艮

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当与的面积之比为1：2时，求点P的坐标;

备用图

专题03二次函数与面积有关的问题（知识解读）

【专茎饯明】

二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识

点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的

常用解法。同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够

轻松答题。

【知狷立梳理】

类型一：面积等量关系

类型二：面积平分

方法一：利用割补

将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上

或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）

SAABP-+AB・PESAODC-4-OD・CE

SAMON-SAOEM*SAOEN

\*y/

,C

SIB小套ABCD=SAAOD+SWOECD+SAECB

=SAAOD+SADOC+SAOBC

方法二；铅锤法

(1)求/、方两点水平距昌，即水平宽；

(2)过点。作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C；

(3)求直线N6解析式并代入点〃横坐标,得点D纵坐标；

(4)根据C、D坐标求得铅垂高，

(5)S=L水平宽x铅锤高

2

方法三：其他面积方法

如图1,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.

如图2,同底三角形的面积比等于高的比.

如图3,同高三角形的面积比等于底的比.

如图1如图2如图3

【典钠今苦】

【类型一：面积等量关系】

【典例21](2022•盘锦)如图，抛物线y=/+Zzr+c与无轴交于A,B(4,0)两点(A在

2的左侧)，与y轴交于点C(0,-4).点P在抛物线上，连接BC,BP.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸在第四象限，点。在线段BC上，连接尸。并延长交无轴于点E,

连接CE,记△OCE的面积为Si,△OBP的面积为S2,当Si=S2时，求点P的坐标；

【解答】解：(1)将2(4,0)、C(0,-4)两点代入y=?+6x+c得，

[16+4b+c=0,

10+0+c=-4

解得：片3,

lc=-4

二抛物线的解析式为：y=7-3尤-4；

(2)方法一：由y=/-3x-4可得，A(-1,0),

设点P(m,nr-3m-4),

则SABCE40CBE=2BE，SABPE4(m2-3m-4)BE'

,:SABCE=S\+SABDE,SABPE=S2+S4BDE,S\=SI,

:・SABCE=S^BPE,

・1/2、

•­—(m-3m-4)BE=2BE^

解得：m1=3,m2=0(舍去)，

：.P(3,-4)；

方法二：・.・Si=S2,

SAPBE=SACBE,

，尸C〃，轴,

点尸与C关于对称轴X=2■对称，

2

：.P(3,-4)；

【变式1](2022•泸州)如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知抛物线y=o?+x+c经过&

(-2,0),2(0,4)两点，直线x=3与x轴交于点C.

(1)求a,c的值；

(2)经过点。的直线分别与线段直线尤=3交于点。，E,且△2。。与△OCE的

面积相等，求直线QE的解析式；

(3)产是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段0C和直线尤=3上是否分别存在点

F,G,使8,F,G,P为顶点的四边形是以BE为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐

【解答】解：(1)把4(-2,0),8(0,4)两点代入抛物线>=依2+升。中得：14a-2+c=0

1c=4

'J

解得：a-万

,c=4

(2)由(1)知：抛物线解析式为：>=-1？+工+4,

2

设直线AB的解析式为：y=kx+b,

则(-2k+b=0,解得：(k=2,

\b=4\b=4

的解析式为：y=2x+4,

设直线。E的解析式为：y=twc,

.*.2x+4=mx,

・丫=4

m-2

当x=3时，y=3m,

：.E(3,3m),

,•,△BOO与△OCE的面积相等，CELOC,

，」・3・(-3m)=_1・4・4,

222-m

9m2-18m-16=0,

・•・(3m+2)(3m-8)=0,

*.m\=--,mi=—(舍),

33

直线DE的解析式为：y=-2x；

3

【类型二：面积平分】

【典例2】(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>="2+6尤-3经过点8(6,

0)和点。(4,-3),与龙轴的另一个交点为A,与y轴交于点C,作直线AO.

(1)①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线AD的函数表达式；

(2)点E是直线下方的抛物线上一点，连接BE交于点R连接瓦)，DE,△

2DF的面积记为Si,△OEF的面积记为S2,当51=2%时，求点E的坐标；

【解答】解：(1)①•..抛物线了二一+陵7经过点8(6,0)和点D(4,-3),

.(36a+6b-3=0

I16a+4b-3=-3

解得：『，

b=-l

...抛物线的函数表达式为y=l.?-x-3；

4

②由①得y=L：2-x-3,

4

当y=0时，A%2-x-3=0,

解得：xi=6,X2=-2,

AA(-2,0),

设直线AO的函数表达式为产入+d,则1-2k+d=0,

I4k+d=-3

解得：2，

,d=-l

直线AD的函数表达式为丫=,Ar-1；

2

(2)设点EG,A?-Z-3),F(x,y),过点E作EMLx轴于点M,过点F作FN

4

轴于点N,如图1,

：SI=2S2,即也晅=2,

^ADEF

•BF=9

EF

•BF=2,

"BET

：EM_Lx轴，FN_Lx轴，

：.EM//FN,

:.ABFNsABEM,

■BN=FN=BF=2

"BMEMBES''

,:BM=6-t,EM--(Ar-f-3)--Az2+f+3,

44

：.BN=2L(6-r),FN=2(-Ar+/+3),

334

.'.x=OB-BN=6-—(6-f)=2+2/,y=--(-Af2+?+3)=A/2--2,

33-3463

：.F(2+Zf,Ar2-2?-2),

363

:点尸在直线A。上，

.'.A?2-Zr-2=-工(2+Zr)-1,

6323

解得：ti=Q,ti=2,

：.E(0,-3)或(2,-4)；

【变式2】(2022•内江)如图，抛物线y=cu2+bx+c与无轴交于A(-4,0),B(2,0),

与y轴交于点C(0,2).

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；

(2)若点。为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点。到直线AC的距离的

最大值及此时点D的坐标;

(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线C尸把四边形C8B4的面积分为1：5两部分,

求点尸的坐标.

【解答】解：(1):抛物线y=a^+bx+c与x轴交于A(-4,0),8(2,0),与y

轴交于点C(0,2).

16a-4b+c=0

,4a+2b+c=0，

,c=2

T

解得：Li.

b-

c=2

抛物线的解析式为y=-lx2-lx+2；

(2)过点。作。HLAB于X,交直线AC于点G,过点。作DELAC于E,如图.

设直线AC的解析式为y^hc+t,

则卜4k+t=0,

lt=2

fk=l

解得：/2,

t=2

/.直线AC的解析式为y=』x+2.

2

设点Q的横坐标为相，则点G的横坐标也为小,

：.DH=-工应-Am+2,GH=l.m+2

422

/.DG---n2-—m+2-—m-2=-Ln2-m,

4224

'：DE±AC,DH±AB,

：.ZEDG+DGE=AGH+NCAO=90°,

:NDGE=/AGH,

\ZEDG=ZCAO,

cosNEDG=cosZCAO=—-,4=-=2遥■,

AC4^25

.DE,275

"DG"5

:.DE=^l^-DG=2疾(-Am2-m)=~匹(m2+4/w)=-遮(%+2)2+lU_,

55410105

/.当m=-2时，点。到直线AC的距离取得最大值

5

此时yD=~Ax(-2)2-Ax(-2)+2=2,

42

即点。的坐标为(-2,2)；

(3)如图，设直线CP交x轴于点E,

直线CP把四边形C8以的面积分为1：5两部分，

又■:S&PCB：S/^PCA=—EBX(yc-yp)：1AEX(yc-yp)=BE：AE,

22

则BE：AE=1：5或5：1

则AE=5或1,

即点E的坐标为（1,0）或（-3,0）,

将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=nx+2,

解得：n=-2或2,

3

故直线CP的表达式为：尸-2尤+2或y=4+2,

3

2

y=-2x+2y=yx+2

o

联立方程组1191或，

y=^-x-yx+212

y~x-yx+2

解得：x=6或--,

3

故点尸的坐标为（6,-io）或（-」！，-12）.

39

【典例3】（深圳）如图抛物线y=a^+bx+c经过点A（-1,0）,点C（0,3）,且08

=oc.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴;

（2）点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBM的面积分为3：5两部分,

求点P的坐标.

【答案】（1）y=-/+2%+3；尤=1（2）P的坐标为（4,-5）或（8,-45）

【解答】解：（1）；OB=OC,；.点、B（3,0）,

则抛物线的表达式为：y=a(无+1)(%-3)=a(x2-2x-3)=ox2-lax-3a,

故-3a=3,解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-/+2x+3…①,

函数的对称轴为：x=l；

（2）如图，设直线CP交x轴于点E,

图2

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分,

又■:S&PCB：S/^PCA=—EBX(yc-yp)LEX(yc-yp)=BE：AE,

22