中考数学试题分项汇编：动点综合问题（共32题）原卷版+解析

专题28动点综合问题（32题）

1.（2023・四川遂宁•统考中考真题）如图，在AABC中，AS=10,BC=6,AC=8,点尸为线段A3上的动

点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动,到达点B时停止.过点P作尸M，AC于点M、作PN±BC

于点N,连接MN,线段的长度y与点尸的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点

E的坐标为（）

时

c8k

10*

A.（5,5）B.［知（3224、<323

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图1，在RtZXABC中，动点尸从A点运动到8点再到。点后停止,

速度为2单位/s,其中8尸长与运动时间t（单位：s）的关系如图2,则AC的长为（）

;A”叮

BC11.5s7

图1图2

A.B.7427C.17D.5出

2

3.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，64=60°,AB=4,动点M,N同时从A点

出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-3-C向终点C运动;点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点

。运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为X秒，AAAW的面积为y个平方

单位，则下列正确表示y与无函数关系的图象是（）

B_____0

//

A

D

4.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）如图，在正方形ABC。中，AB=4,动点M,N分别从点A,B

同时出发，沿射线AB,射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接。暇，MN,ND.设点M运

动的路程为彳（。<*<4）,ADMN的面积为S,下列图像中能反映S与尤之间函数关系的是（）

5.（2023•河南•统考中考真题）如图1,点P从等边三角形A3C的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一

点，再从该点沿直线运动到顶点反设点尸运动的路程为无，—=y,图2是点尸运动时y随x变化的关

系图象，则等边三角形A3c的边长为（）

A.6B.3C.473D.2G

6.（2023・四川乐山•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xQv中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交

于A、8两点，C、。是半径为1的。。上两动点，且cr>=血，尸为弦。的中点.当C、。两点在圆上运

7.（2023・河北・统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M,A,C,N依次

在同一直线上，且AM=OV.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着轨道以大小相

同的速度匀速移动，其路线分别为AfOfCfN和NfCf33Af若移动时间为x,两个

机器人之间距离为》则y与x关系的图象大致是（）

8.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中,点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,

以OA,OC为边作矩形OABC.动点瓦尸分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿0A2C向终

点AC移动.当移动时间为4秒时，ACEF的值为（）

A.V10B.9MC.15D.30

9.（2023•山东滨州•统考中考真题）已知点尸是等边AABC的边BC上的一点，若NAPC=104。，则在以线段

AP,BP,CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

10.（2023•甘肃武威•统考中考真题）如图1,正方形A8CD的边长为4,E为8边的中点.动点P从点A出

发沿f匀速运动，运动到点C时停止.设点尸的运动路程为X,线段PE的长为y,y与X的函数图

象如图2所示，则点M的坐标为（）

A.（4,273）B.（4,4）C.（4,275）D.（4,5）

11.（2023•浙江绍兴•统考中考真题）如图，在AABC中，。是边8C上的点（不与点反C重合）.过点。作

交AC于点E；过点。作。/〃AC交A3于点b.N是线段即上的点，BN=2NF；M是线段DE

上的点，DM=2ME.若已知ACMN的面积，则一定能求出（）

A.几位话的面积B.VE）产的面积

C.ABQV的面积D.△DCE的面积

12.（2023・安徽•统考中考真题）如图，E是线段A2上一点，VADE和ABCE是位于直线A3同侧的两个等

边三角形，点尸,尸分别是CRAB的中点.若AB=4,则下列结论错误的是（）

A.R1+PB的最小值为36B.PE+尸尸的最小值为2不

C.ACDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为36

二、填空题

13.（2023・四川达州•统考中考真题）在AABC中，AB=A6,NC=60。，在边8C上有一点尸，且BP=gAC,

连接AP,则"的最小值为.

14.（2023•浙江宁波•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，E为45边上一点，以AE为直径的

半圆。与BC相切于点。，连接AD,BE=3、BD=3布.尸是边上的动点，当△位方为等腰三角形时,

AP的长为.

15.（2023・四川凉山•统考中考真题）如图，边长为2的等边AABC的两个顶点AB分别在两条射线OM、ON

上滑动，若OMLON,则OC的最大值是.

16.（2023・四川泸州・统考中考真题）如图，E,F是正方形ABCD的边A3的三等分点，尸是对角线AC上

AP

的动点，当PE+PF取得最小值时，正的值是

17.（2023・河南•统考中考真题）矩形A3CD中，M为对角线8。的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当

以点。，M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为

18.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=y/l,动点尸在矩形的边上沿

CfQfA运动.当点尸不与点4B重合时，将AAB尸沿AP对折，得到连接CB',则在点P的

运动过程中，线段CB'的最小值为

19.（2023・广西・统考中考真题）如图，在边长为2的正方形A8CD中，E,尸分别是3C,CD上的动点，M,

N分别是所，的中点，则时V的最大值为,

20.（2023•山东・统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

点E在线段BC上运动，点尸在线段AE上，ZADF=ZBAE,则线段B尸的最小值为.

21.（2023・四川内江•统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数

学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小

图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形A3CD中，AB=5,AD=12,对角线AC与BD

交于点O,点E为2C边上的一个动点,EFJ.AC,EGLBD,垂足分别为点F,G,则EF+EG=.

22.（2023•山东烟台・统考中考真题）如图1,在“LBC中，动点尸从点A出发沿折线四一8CfC4匀速运动

至点A后停止.设点尸的运动路程为龙，线段AP的长度为九图2是＞与无的函数关系的大致图象，其中

点P为曲线DE的最低点，则AABC的高CG的长为.

图1图2

23.（2023・新疆・统考中考真题）如图，在YABCD中，AB=6,BC=8,/ABC=120。，点E是AO上一动

点，将ATWE沿班1折叠得到AA'BE，当点A恰好落在EC上时，DE的长为.

24.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（-8,6）,过点B分别

作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A,直线y=-2x-6与AB交于点。.与y轴交于点E.动点M

在线段3c上，动点N在直线y=-2x-6上，若AAMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点〃的

坐标为________

25.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-；x+2与x轴，y轴分别交于A,2两点，点D是线段

A8上一动点，点”是直线y=-gx+2上的一动点，动点矶根,0）,F（m+3,0）,连接BE,DF,HD.当

8E+D尸取最小值时，3BH+5nH的最小值是.

三、解答题

26.（2023・重庆•统考中考真题）如图，“1BC是边长为4的等边三角形，动点E,P分别以每秒1个单位长

度的速度同时从点A出发，点E沿折线Af3fC方向运动，点F沿折线AfC-3方向运动，当两者相

遇时停止运动.设运动时间为/秒，点E,尸的距离为y.

⑴请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质;

⑶结合函数图象，写出点E,F相距3个单位长度时/的值.

27.(2023•辽宁大连•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系尤0y中，直线y=%与直线相交于点A,

P&0)为线段上一动点(不与点8重合)，过点P作尸D_Lx轴交直线BC于点£).AOR与△DP3的重叠

面积为S.S关于/的函数图象如图2所示.

(1)03的长为.△OAB的面积为.

(2)求S关于f的函数解析式，并直接写出自变量f的取值范围.

28.(2023•河北•统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点

(x+2,y+l)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+l,y+2)称为一次乙方式.

例、点尸从原点。出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点”(4,2)；若都按乙方式，最终移动到

点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3).

03691215182124273033%

⑴设直线自经过上例中的点M,N,求人的解析式；并申谈写出将4向上平移9个单位长度得到的直线4的解

析式；

(2)点尸从原点。出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y).其中，按甲方式

移动了初次.

①用含机的式子分别表示x,y；

②请说明：无论必怎样变化，点。都在一条确定的直线上.设这条直线为4,在图中直接画出4的图象；

(3)在(1)和(2)中的直线4,附4上分别有一个动点A，8,C,横坐标依次为a,b,c,若A,B,C三点始终

在一条直线上，直接写出此时a,b,c之间的关系式.

29.(2023•黑龙江•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，ZAOC=60°,

OC的长是一元二次方程/一4》-12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点直线AD分别交

x轴和y轴于点尸和点E,动点M从点。以每秒1个单位长度的速度沿0。向终点。运动，动点N从点尸

以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点£运动.两点同时出发，设运动时间为f秒.

(1)求直线AD的解析式.

(2)连接MN,求的面积S与运动时间f的函数关系式.

(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点。.使得以A,C,N,。为项点的四边形是矩形.若

存在，直接写出点。的坐标，若不存在，说明理由.

30.(2023•江苏苏州・统考中考真题)某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB,长度为1m的

金属滑块在上面做往返滑动.如图，滑块首先沿A2方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s,滑动开始

前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点8时，滑块停顿2s,然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到

滑块的左端与点A重合，滑动停止.设时间为《s)时，滑块左端离点A的距离为4(m),右端离点8的距离

为^m),记d=与/具有函数关系.己知滑块在从左向右滑动过程中，当r=4.5s和5.5s时，与之对

应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A,整个过程总用时27s(含停顿时间).请你

根据所给条件解决下列问题：

⑴滑块从点A到点8的滑动过程中，d的值________________;(填“由负到正”或“由正到负”)

(2)滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与/的函数表达式；

⑶在整个往返过程中，若d=18,求/的值.

31.(2023・天津・统考中考真题)在平面直角坐标系中，。为原点，菱形ABCD的顶点4(6,0),3(0,1),O(26,1),

矩形EFGH的顶点《0,•

(1)填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

（2）将矩形EFG”沿水平方向向右平移，得到矩形E'尸'G7T,点E,F,G,H的对应点分别为V，尸，G,

H'.设EE'=f,矩形E'产此印与菱形ABCD重叠部分的面积为S.

①如图②，当边EF与A2相交于点M、边G7T与BC相交于点N,且矩形EFGTT与菱形ABCD重叠部分

为五边形时，试用含有f的式子表示S,并直接写出t的取值范围：

②当2叵4/4凶时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

34

32.（2023・江西•统考中考真题）综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt^ABC中，ZC=90°,。为AC上一点，CD=也,动点

P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿Cf8fA匀速运动，到达点A时停止，以。尸为

边作正方形DPEF设点尸的运动时间为、，正方形DPEF的而积为S,探究S与f的关系

图1图2

(1)初步感知：如图1,当点尸由点C运动到点8时，

①当/=1时，S=.

②S关于t的函数解析式为.

(2)当点尸由点8运动到点A时，经探究发现S是关于f的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图

象信息，求S关于/的函数解析式及线段AB的长.

(3)延伸探究：若存在3个时刻。内々(:<^<%)对应的正方形DPEF的面积均相等.

①/j+=

②当6=气时，求正方形DPEF的面积.

专题28动点综合问题（32题）

1.（2023・四川遂宁•统考中考真题）如图，在AABC中，Afi=10,BC=6,AC=8,点尸为线段A3上的动

点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点8移动,到达点B时停止.过点P作尸M，AC于点M、作PN±BC

于点N,连接MN,线段的长度y与点尸的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点

E的坐标为（）

D.亲

【分析】如图所示，过点C作于。，连接CP,先利用勾股定理的逆定理证明AABC是直角三角形,

2432

即NC=90。，进而利用等面积法求出CO=w，则可利用勾股定理求出AD=^；再证明四边形CMPN是矩

2432

形，得到MN=CP,故当点P与点。重合时，CP最小，即最小，此时最小值为m，AP=^

3224

则点的坐标为

ET'T

【详解】解：如图所示，过点C作CDLAB于。，连接CP,

:在AABC中，AB=W,BC=6,AC=8,

/.AC2+BC2=6?+8?=100=102=AB2,

"RC是直角三角形，即ZC=90°,

C.S^^ACBC^ABCD,

.“ACBC24

AB5

.・・AD=^AC2-CD2=y；

•；PM_LAC,PN±BC,ZC=90°,

・・・四边形CMPN是矩形,

：.MN=CP,

...当MN最小时，即CP最小,

2432

，当点尸与点。重合时，CP最小，即MN最小，此时最小值为m，AP=AD=—

3224

•••点E的坐标为

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等

等，正确作出辅助线是解题的关键.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图1,在Rt^ABC中，动点尸从A点运动到8点再到C点后停止，

速度为2单位/s,其中成长与运动时间单位：s）的关系如图2,则AC的长为（）

【答案】C

【分析】根据图象可知/=0时，点P与点A重合，得到AB=15,进而求出点P从点A运动到点B所需的时

间，进而得到点尸从点8运动到点C的时间，求出的长，再利用勾股定理求出AC即可.

【详解】解：由图象可知：f=0时，点尸与点A重合，

/.AB=15,

；.点P从点A运动到点B所需的时间为15^2=7.5s；

点尸从点8运动到点C的时间为11.5-7.5=4s,

3c=2x4=8；

在RtZVLBC中：AC^yjAB2+BC2=17；

故选：C.

【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理.从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题

的关键.

3.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，NA=60。，AB=4,动点"，N同时从A点

出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-3-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段4。向终点

。运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为％秒，AAW的面积为y个平方

单位，则下列正确表示》与无函数关系的图象是（）

【答案】A

【分析】连接3。，过点B作班，AD于点E,根据已知条件得出是等边三角形，进而证明

当0</<4时，M在AB上，当44r<8时，M在BC上，根据三

角形的面积公式得到函数关系式，

【详解】解：如图所示，连接3D,过点B作班，AD于点E,

当0</<4时，河在上，

菱形ABC。中，NA=60。，AB=4,

：.AB=AD,则是等边三角形，

/.AE=ED=^AD=2,BE=6AE=26

*.*AM=2x,AN=x,

AMAB

6二族=2,又ZA=ZA

AAMNSABE

：.ZANM=ZAEB=90°

MN=4AM1-AN~=y/3x，

y=—xx^x=­x2

22

当4V，＜8时，M在BC上，

y=—ANxBE=—xx2^3=乖）x,

综上所述，0<f<4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当44r<8时，函数图象是直线的一部分，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾

股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4,动点M,N分别从点A,B

同时出发，沿射线A2,射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM,MN,ND.设点M运

动的路程为x（O<x<4）,ADMN的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是（）

N

BC

SA

107^

8乙一1

D.

O4""x

【分析】先根据S=S正方形45CD-SVAOM-Sv℃N-SVBMN，求出S与工之间函数关系式，再判断即可得出结论.

【详解】解：S=S正方形488-SVADM-SVDCN-S^BMN，

=4x4-gx4x-gx4（4一x）一;%（4一%）,

17

=—x—2%+8,

2

1

=-（X-2）912+6,

2

故S与x之间函数关系为二次函数，图像开口向上，x=2时，函数有最小值6,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S与x之间函数关系式，再

判断S与x之间函数类型.

5.（2023・河南・统考中考真题）如图1,点尸从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一

点，再从该点沿直线运动到顶点设点尸运动的路程为心器=，图2是点尸运动时y随尤变化的关

系图象，则等边三角形ABC的边长为（）

图1图2

A.6B.3C.4A/3D.2A/3

【答案】A

【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点。，再从点。沿直线运动到顶点5.结

合图象可知，当点P在40上运动时，PB=PC,A0=25易知NB4O=NC4O=30。，当点P在上

运动时，可知点P到达点8时的路程为4百，可知AO=OB=2石，过点。作解直角三角形可得

AD=AOcos30°=3,进而可求得等边三角形ABC的边长.

【详解】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点0,再从点。沿直线运动到顶点8.

PB

结合图象可知，当点P在A0上运动时，—=1,

/.PB=PC,AO=26,

又,:AABC为等边三角形，

AZfi4C=60°,AB=AC,

：.AAPB四△APC（SSS）,

ZBAO=ZCAO,

：.ZBAO=ZCAO=30°,

当点P在。8上运动时，可知点P到达点B时的路程为4A/3,

.,.08=26即AO=OB=25

ZBAO=ZABO=30°,

过点。作ODLAB,

:.AD=BD,贝！］AP=AO-cos30°=3,

AB=AD+BD=6,

即：等边三角形ABC的边长为6,

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件.

6.（2023・四川乐山•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交

于A、8两点，C、。是半径为1的。。上两动点，且C£>=&，尸为弦的中点.当C、。两点在圆上运

动时，ARAB面积的最大值是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】D

【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出3=08=2,确定AB=2应，再由题意得出当P0的延长线恰

好垂直A3时，垂足为点E,此时PE即为三角形的最大高，连接利用勾股定理求解即可.

【详解】解：.••直线y=-矛-2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

.•.当x=0时，y=-2,当y=0时，x=-2,

A（-2,0）,B（0,-2）,

OA=OB=2,

AB=V（M2+OB2=2A/2-

■:APAB的底边AB=272为定值，

.,・使得AE4B底边上的高最大时，面积最大，

点P为8的中点，当尸。的延长线恰好垂直AB时，垂足为点E,此时PE即为三角形的最大高，连接。0,

CD=72，。。的半径为1,

/.DP=—

2

OP=ylOD2-DP2=—,

2

•/OELAB,

OE=LAB=啦,

2

PE=OE+OP=^^,

2

SJAB=gx20x^^=3,

故选：D.

【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最

大值是解题关键.

7.（2023・河北・统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M,A,C,N依次

在同一直线上，且AM=OV.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着轨道以大小相

同的速度匀速移动，其路线分别为A—DfCfN和NfCf若移动时间为x,两个

机器人之间距离为》则y与x关系的图象大致是（）

【答案】D

【分析】设圆的半径为R,根据机器人移动时最开始的距离为AV+OV+2R,之后同时到达点A,C,两个

机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿AfD-C和。-8fA移动时，此时两个机器人之

间的距离是直径2尺，当机器人分别沿CfN和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大.

【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，

设圆的半径为R，

两个机器人最初的距离是AM+CN+2R,

:两个人机器人速度相同，

.,•分别同时到达点A,C,

...两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A,C；

当两个机器人分别沿A-D-C和CfA移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R,保持不变，

当机器人分别沿CfN和AfM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C,

故选：D.

【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键.

8.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,

以OAOC为边作矩形Q4BC.动点瓦尸分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿0ABe向终

点AC移动.当移动时间为4秒时，ACEF的值为（）

A.VioB.9MC.15D.30

【答案】D

【分析】根据题意，得出E（4,0）,尸（5,3）,勾股定理求得跖=布，AC=3V10,即可求解.

【详解】解：连接AC、EF

:点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（。,3）,以OAOC为边作矩形QASC.

，3（9,3）,AC=V32+92=3A/10

则OA=9,BC=OA=9

依题意，OE=4xl=4,BF=4x1=4

，AE=9-4=5,则E（4,0）,

CF=BC-BF=9-4=5

：.F（5,3）,

/.EF=^（5-4）2+32=^,

VC（0,3）,

AC•EF=3A/10xJ10=30

故选：D.

【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得瓦尸的坐标是解题的关键.

9.（2023•山东滨州•统考中考真题）已知点P是等边的边8C上的一点，若NAPC=104。，则在以线段

尸为边的三角形中，最小内角的大小为（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】将AAB尸绕点A逆时针旋转60。得到AACQ,可得以线段AP,BP,CP为边的三角形，即△PCQ,最

小的锐角为NPQC,根据邻补角以及旋转的性质得出NAQC=NAP8=76。，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，将AAB尸绕点A逆时针旋转60。得到AACQ,

/.AP=AQ,ZPAQ=60°,BP=CQ,ZAQC=ZAPB,

•••△A尸。是等边三角形，

，PQ=AP,

，以线段AP,BP,CP为边的三角形，即△PCQ,最小的锐角为NPQC,

ZAPC=104°,

...ZAPS=76°

ZAQC=ZAPB=16°

：.ZPgC=76°-60°=16°,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

10.（2023•甘肃武威•统考中考真题）如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CO边的中点.动点尸从点A出

发沿ABfBC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为X,线段PE的长为y,y与X的函数图

象如图2所示，则点M的坐标为（）

A.（4,273）B.（4,4）C.（4,2君）D.（4,5）

【答案】C

【分析】证明AB=8C=CD=AD=4,NC=ZD=90。，CE=DE=2,则当P与A,B重合时，PE最长,

此时PE=+4?=2#＞，而运动路程为。或4,从而可得答案.

【详解】解：：正方形A3CE）的边长为4,E为CD边的中点，

/.AB^BC=CD^AD^4,"="=90。，CE=DE=2,

当P与A,8重合时，PE最长，

止匕时PE=A/22+42=275，

运动路程为。或4,

结合函数图象可得加卜,2石），

故选：C.

【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图

象上横纵坐标的含义是解本题的关键.

11.（2023•浙江绍兴•统考中考真题）如图，在“WC中，。是边8C上的点（不与点反C重合）.过点。作

交AC于点E;过点。作小〃4。交A3于点b.N是线段上的点，BN=2NF；M是线段DE

上的点，DM=2ME.若已知ACMN的面积，则一定能求出（）

A.△AFE的面积B.V&）尸的面积

C.ABCIV的面积D.△DCE的面积

【答案】D

FBFDNFBFFDNF

【分析】如图所示，连接ND,证明AEBDSA即。，得出受=帙，由已知得出黑=箸，则仁=黑,

EDECMEDEECME

又ZNFD=/MEC,则小NFIAAMEC,进而得出NMCD=NND3,可得结合题意得出

S^EMC=5S4DMC=5SAMNC，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接ND,

•：DE〃AB,DF//AC,

：./ECD=/FDB,/FBD=ZEDC,ZBFD=NA,NA=DEC.

・・・AFBD^EDC,ZNFD=ZMEC.

.FBFD

9ED~EC

•:DM=2ME,BN=2NF,

NF=；BF,ME=gDE,

.NFBF

••标一方.

.FDNF

又*：ZNFD=/MEC,

：・ANFD^AMEC.

・•・ZECM=ZFDN.

■:/FDB=/ECD

:.ZMCD=ZNDB.

:,MC〃ND.

・

,,"&qMNC.-°qAMDC•

•;DM=2ME,

••S^EMC=jSGMC=万S1MNC•

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键.

12.（2023•安徽・统考中考真题）如图，E是线段A2上一点，VADE和ABCE是位于直线A3同侧的两个等

边三角形，点尸，尸分别是CRAB的中点.若AB=4,则下列结论埼误的是（）

A.9+PB的最小值为3百B.PE+尸尸的最小值为2石

C.ACDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3K

【答案】A

【分析】延长AD，BC,贝IJAABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与b重合时，则

Q,尸,尸三点共线，各项都取得最小值，得出B,C,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，

延长A£）,5C,

依题意NQAD=ZQBA=60°

・・・△ABQ是等边三角形，

•・,尸是8的中点，

:.PD=PC,

丁ZDEA=ZCBA,

：.ED//CQ

：.ZPQC=/PED,ZPCQ=ZPDE,

4PDE'PCQ

・・.PQ=PE,

・••四边形。EC。是平行四边形，

则尸为的中点

如图所示，

设AQ/Q的中点分别为G,H,

则尸

22

，当E点在AB上运动时，尸在G”上运动，

当E点与尸重合时，即AE=EB,

则。，尸，三点共线，尸厂取得最小值，止匕时A£=£B=；（AE+E3）=2,

则ZW®四△ECB,

...CD到AB的距离相等，

则CD〃A3,

此时尸尸=—AD=y/3

2

此时V43E和ABCE的边长都为2,则AP,尸2最小,

PF=—x2=^,

2

PA=PB=J22+(V3)2=6

:.PA+PB=2/，

或者如图所示，作点8关于GH对称点E,则=则当AP,2'三点共线时，AP+PB=AB'

AEFB

此时AB'=slAB2+BB'=J?+(2百『=2币

故A选项错误，

根据题意可得尸,。,尸三点共线时，最小，此时上£=尸尸=百，则尸E+尸尸=2岔，故B选项正确;

^CDE^^z^CD+DE+CE=CD+AE+EB^CD+AB=CD+4,

即当CD最小时，ACDE周长最小，

如图所示，作平行四边形GDMH,连接CN,

:NGHQ=6Q°,ZGHM=ZGDM=60°,则ZCHM=120°

如图，延长。E,庞，交于点N,

则NNGO=/QG"=60。，ZNDG=ZADE=6f)°

：.△NGQ是等边三角形，

:,ND=GD=HM,

在ANPD与AHPC中,

ZNPD=ZHPC

</N=/CHP=62。

PD=PC

・・・△NPD^HPC

：.ND=CH

：.CH=MH

：.ZHCM=ZHMC=30°

CM//QF,则CM_LOM,

•••△DMC是直角三角形，

在LDCM中，DC>DM

，当。C=DM时，0c最短，DC=GH^AB=2

；CD=PC+2PC

.♦.△CDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确;

•：ANPD^AHPC

+

四边形ABC。面积等于2ADE+SSBC+SQEC=S4ABE§平行四边NEBH

...当△BGD的面积为。时，取得最小值，此时，2G重合，C,〃重合

，四边形ABCD面积的最小值为3*q、22=3#)，故D选项正确，

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与F重合时得出最小值是解题的关键.

二、填空题

13.(2023•四川达州・统考中考真题)在AABC中，AB=46,NC=6O。，在边3C上有一点P,且8尸=；AC,

连接AP,则AP的最小值为.

【答案】2岳-2

【分析】如图，作AABC的外接圆，圆心为M,连接AM、过M作于。，过B作3NLAB,

交族的垂直平分线于N,连接AN、BN、PN,以N为圆心，BN(PN)为半径作圆；结合圆周角定理及垂

径定理易得A〃=E0=CM=4,再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得

ZAMC=ZPNB,从而易证可得要==即RV=：CM=2勾股定理即可求得AN=2jF在

rNPB12

△APN中由三角形三边关系即可求解.

【详解】解：如图，作AABC的外接圆，圆心为连接AM、BM、CM,过M作于。，过B

作交3尸的垂直平分线于N,连接4V、BN、PN,以N为圆心，BN(PN)为半径作圆；

VZC=60°,M为AABC的外接圆的圆心，

:.ZAMB=120°,AM=BM,

:.ZMAB=ZMBA=3O°,

:.MD=-AM,

2

.MD上AB,

AD=-AB=2y/3,

2

在Rt/XADAf中，

AM2=MD2+AD1

.-.AM2=QAM^|+(2可，

:.AM=4,

^AM=BM=CM=4,

由作图可知BN_LAB,N在成的垂直平分线上,

:.ZPBN=ZBPN=900-ZABC,

ZPNB=180。一(NP3N+ZBPN)=2ZABC,

又为人45。的外接圆的圆心，

:.ZAMC=2ZABC,

.\ZAMC=ZPNB,

CMAM

•P/V-B2V，

:.^AMC〜*NB,

.CMAC

'PN~PB1

・・・BP=-AC,

2

.CM