系统的数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各个变量

系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。第二章控制系统的数学模型常用的数学模型有：微分方程、传递函数、频率特性、动态结构图、状态方程等。系统数学模型的建立方法：解析法、实验辨识回归法。用拉氏变换解微分方程示意图2-1拉氏变换一、拉氏变换的定义1.定义设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分存在，则由此积分所确定的函数可写为F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作

称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(t)数学表达式为其拉氏变换为

2.单位斜坡函数数学表达式为

其拉氏变换为

3.等加速函数数学表达式为

其拉氏变换为

4.指数函数e-at数学表达式为

其拉氏变换为

5.正弦函数sin

t

正弦函数定义为其拉氏变换为

6.单位脉冲函数(

函数)

函数的表达式为其拉氏变换为

三、拉氏变换的基本法则1.线性法则设F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则有2.微分法则

设F(s)=L[f

(t)]，则有一阶微分：二阶微分：三阶微分：其中f(0),f

(0),…为f(t)及其各阶导数在t=0处的值。当时的微分法则：此时，即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复数域中乘以s的运算。3.积分法则设F(s)=L[f(t)]，则有当时的积分法则：4.终值定理若F(s)=L[f(t)]，且当t

时，f(t)存在一个确定的值，则其终值

5.位移定理设F(s)=L[f(t)]，则有及分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。四、拉氏反变换

拉氏反变换的定义如下

一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。部分分式法:首先将F(s)分解成一些简单的有理分式之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。F(s)的一般表达式为其中n>m,系数ai、bj均为实数。部分分式法先将F(s)化成部分分式之和。(无重根)例2.1求的拉氏反变换。解：进行反变换得则其中五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：①对微分方程两端进行拉氏变换（注意初始条件），得代数方程。②解代数方程。③拉氏反变换，得微分方程的解。解：对微分方程两端进行拉氏变换例2-2

用拉氏变换求解微分方程。式中y(t)是输出量，x(t)为输入量。设求y(t).解上式得即故线性定常系统(或元部件)在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为系统(或元部件)的传递函数。一、传递函数的定义2.2传递函数

无源RC网络的微分方程为设初始值uc(0)=0，对上式取拉氏变换,得

求无源RC网络的传递函数令则传递函数设线性定常系统的微分方程一般式为

式中c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量，a0,a1,…,an

及b0

,b1,

…,bm均为系统结构参数决定的常数。设所有初始条件均为零的条件下，对上式两端进行拉氏变换，得

按照定义得系统的传递函数

二、对传递函数的说明

1.传递函数是复数域(s域)中的一个表达式，它与输入形式无关。只适用于线性定常系统。2.传递函数分母多项式阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。分母多项式的最高阶次为n，称该系统为n阶系统。如n＝1、2，称为一、二阶系统。3.传通函数只描述系统输入-输出之间的关系，不涉及内部信息。因此，不同的物理系统完全可能有相同形式的传递函数。4.同一系统不同输出信号对不同输入信号之间的传递函数具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多项式称为特征式，记为D(s)。5.传递函数与微分方程具有相通性。6.传递函数G(s)的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数g(t)。7.传递函数的描述有一定的局限性：

a.只能研究单入、单出系统，对于多入、多出系统要用传递矩阵表示；

c.只能研究零初始状态的系统特性，对非零初始状态的系统运动特性不能反映。四、传递函数的零点和极点pi:极点，用“

”表示零极点分布图zj:零点，用“”表示K*:为系统根轨迹增益若传递函数该传递函数的极点为p1

=−1，p2=−2;零点为z1=−0.5零极点分布图n阶系统有n个极点。传递函数也可化成如下形式：式中一次因子对应实数零极点，二次因子对应共轭复数零极点。为时间常数，为开环增益。时间常数形式、尾1形式或典型环节乘积形式。2.3动态结构图及其等效变换一、动态结构图(或称方块图、方框图)动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号动态传递关系的图形。1.定义2.组成①信号线②方框③引出点④比较点(综合点）前向通道反馈通道①信号线3.动态结构图的特点（1）动态结构图形象、直观，便于研究系统的动态性能；（2）同一系统可画出不同的动态结构图，即结构图不唯一。但由结构图对应的系统的传递函数是唯一的。4.系统动态结构图的建立(1)建立系统各元部件（或典型环节）的微分方程。(2)对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并做出各元部件的方框图。(3)按照系统中各信号的传递顺序，依次用信号线将各元件的方框图连接起来。系统的输入变量在左端，输出变量（即被控量）在右端，便得到系统的动态结构图。如RC网路的微分方程对上式进行拉氏变换，得绘制上式各子方程的方框图将方框图连接起来,得出系统的动态结构图。l.串联变换法则

n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。三、结构图的等效变换

2.并联变换法则

n个传递函数并联，其等效传递函数为该n个传递函数的代数和。

称为闭环传递函数3.反馈变换法则

单位负反馈：H(s)=14.比较点移动法则

原则：移动前后各输入到输出间传递关系不变。

前移后移1.图形特点2.数学式子5.引出点移动法则

前移后移原则：移动前后各输入到输出间传递关系不变。

6.相邻的比较点之间可以随意调换位置，亦可综合为一个比较点。相邻的引出点之间亦然。

7.相邻的比较点和引出点之间不调换位置。

一般不采用！动态结构图等效变换需注意的问题:(1)有交叉连接的，采用移动法先消除交叉。移动原则：将比较点或引出点向同类移动。(2)由里向外变换。对多回路结构，由内回路向外回路进行变换。

(3)多输入变换多次。系统有多个输入量，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。

(4)变换的最终形式:

例1：求第二章数学模型第二章数学模型例：求下图所示系统被控量C(s)对各输入信号的传递函数C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。G1G2G3R(s)C(s)N1(s)N2(s)+-+--解：(1)求C(s)/R(s)。N1(s)设N1=0，N2=0设N1=0，N2=0把比较点前移G1G2G3C(s)N1N2+-+--N1R(s)+N2-++把比较点前移再进行并联和内回路反馈变换G1G3R(s)C(s)-串联后再作反馈变换R(s)C(s)进行串联变换R(s)C(s)(2)求C(s)/N1(s)

，设R(s)=0，N2(s)=0，得

G1G2G3C(s)N1(s)+N2(s)---+R(s)G1G3+-C(s)N1(s)因此，G3C(s)N1(s)C(s)N1(s)(3)求，设R(s)=0，N1(s)=0所以，G1G2G3C(s)N2(s)N1(s)+-R(s)+--R(s)=0，N1(s)=0四、用梅森（S.J.Mason）公式求传递函数

结构图———

系统的传递函数等效变换梅森公式式中：(s)－系统的闭环传递函数－特征式，且=1-La+

LbLc-

LdLeLf+…梅森公式Pk－第k条前向通道的传递函数。

k－余子式，即在特征式中把与Pk接触的回路传函置为零后余下的式子。n－前向通道的个数。L－回路传递函数。指反馈结构的前向通道和反馈通到传递函数的乘积，且包含反馈正负号。明确几个概念：回路－闭合通道，即在结构图中信号可以沿箭头方向闭合流动且经过的任一元件不多于一次。互不接触回路－相互间没有共同部分的回路。即把一个回路去掉，另一回路不受影响，则为互不接触。前向通道－由输入端单向(沿箭头)传递至输出端的信号通道被称为前向通道。例

求图示系统的传递函数C(s)/R(s)。

解：(1)前向通道有1条:(2)单独回路有4个：有2个回路互不接触，所以有特征式：余子式：(不存在与P1不接触的回路)(3)闭环传递函数C(s)/R(s)为例利用梅逊公式求系统传递函数。解：①系统有两个前向通道：P1=G1G2G3，P2=G3G4②系统有一个回路：L1=-G2G3H

且与两前向通道均相接触。③系统特征式Δ=1-L1=1+G2G3H两前向通道的余子式Δ1=Δ2=1

④系统传函2.4典型环节的传递函数

任何一个复杂系统其传递函数都可化为如下形式。我们把其中的每个因子定义为一个典型环节。一、比例(放大)环节

比例环节方块图

其微分方程为

K为常数，称比例系数或增益。

传递函数为

运算放大器：电位器：二、积分环节

微分方程为

传递函数为

积分器电压的传递函数先列各元件的微分方程，再分别求拉氏变换，由变换后方程求传递函数，从而导出电网络传函的求法。用复阻抗法求电网络的传递函数将R、L、C元件的传递函数作为其复阻抗，应用电路理论可直接求出电网络的传递函数，而不必列写微分方程。三、理想微分环节

微分方程

传递函数

测速发电机四、惯性环节

微分方程

传递函数

运算放大器五、一阶微分环节

微分方程

传递函数

六、振荡环节

微分方程

传递函数

式中:

——相对阻尼比(无量纲)

n——无阻尼自然频率T为振荡环节的时间常数。例2-13RLC网络例2-14质量-弹簧-阻尼动力系统例2-15位置随动系统的传递函数在忽略次要因素的条件下，同样是具有震荡环节的传递函数。1.由以上三个例题可以看出，完全不同的物理系统却具有相同特征的数学模型，这使得用电网络模拟非电物理系统成为可能。2.同一传递函数可表示完全不同的物理系统，本门课程主要从数学模型（传递函数）出发研究控制系统的共性，不再指明具体物理系统。七、二阶微分环节

微分方程

传递函数

二阶微分环节的方框图典型环节是分析系统的基础，应牢固掌握！2.5控制系统的传递函数

闭环控制系统的典型结构图R(s)——指令信号，给定量，作用于系统输入端。N(s)——干扰信号，一般是作用在被控对象上。C(s)——被控量,输出信号B(s)——反馈信号E(s)——误差信号一、系统开环传递函数断开系统的主反馈通路。把G1(s)G2(s)H(s)之积称为该系统的开环传递函数。定义二、R(s)作用下的闭环传递函数令N(s)=0，此时C(