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文档简介

无穷小的比较一、无穷小阶的定义根据无穷小的运算性质，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小.但两个无穷小的商，却会出现不同情况.例如，当x→0时，x，x2，sinx都是无穷小，而从中可看出各无穷小趋于零的快慢程度：x2比x快些，sinx与x大致相同，即无穷小之比的极限不同，反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.下面给出无穷小阶的定义.一、无穷小阶的定义定义14设α，β是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且α≠0.

(1)若limβα=0，则称β是比α高阶的无穷小，记为β=o(α).

(2)若limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小.

(3)若limβα=c(c≠0)，则称β与α是同阶无穷小，特别地，若limβα=1，则称β与α是等价无穷小，记为α~β.

(4)若limβαk=c(c≠0,k>0)，则称β是α的k阶无穷小.

一、无穷小阶的定义例如，就前述三个无穷小x，x2，sinx(x→0)而言，x2是比x高阶的无穷小，x是比x2低阶的无穷小，而sinx与x是等价无穷小.

一、无穷小阶的定义【例36】【例37】一、无穷小阶的定义【例38】【例39】二、等价无穷小根据等价无穷小的定义，可以证明当x→0时，有下列常用等价无穷小关系：

sinx~x,tan

x~x,arcsinx~x,arctan

x~x,1－cosx~12x2,ln(1+x)~x,ex－1~x,ax－1~xlna,n1+x－1~1nx.

二、等价无穷小当x→0时，x为无穷小.在常用等价无穷小中，用任意一个无穷小f(x)代替x后，上述等价关系依然成立.例如，x→0时，有sinx3~x3,e－x2－1~－x2,ln(1+4x)~4x，等等.注二、等价无穷小定理22设α，α′，β，β′是自变量在同一变化过程中的无穷小，且α~α′，β~β′，limβ′α′存在，则

定理22表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小代换.因此，若无穷小的代换运用得当，则可简化极限的计算.

二、等价无穷小定理23α与β是等价无穷小的充分必要条件是

β=α+o(α).

证必要性.设α~β，则二、等价无穷小【例40】二、等价无穷小【例41】应用等价无穷代换的原则是:乘除可用,加减慎用.也就是说,求两个无穷小相乘或相除的极限时,可以分别用它们的等价无穷小代换;但是,当出现两个无穷小相加或相减时,若分别用它们的等价无穷小代换来求极限,就有可能导致错误的结论,因此应慎用.请看下面的例子.

二、等价无穷小【例42】二、等价无穷小【例43】二、等价无穷小【例44】试证

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