专题265反比例函数（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题26.5反比例函数（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【知识点一】反比例函数的概念（1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式①；②；③.【知识点二】反比例函数的图象与性质y＝eq\f(k,x)(k为常数，)图象[来om][来所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K]一、三（x，y同号）二、四（x，y异号）增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性1.图象是中心对称图形，对称中心为原点；2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线．【知识点三】反比例函数表达式的确定待定系数法步骤：（1）设：设函数表达式为；（2）代：将已知点的坐标代入函数表达式；（3）解：求出k的值，得到函数表达式．【知识点四】系数k的几何意义（1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.（2）常见的面积类型：易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0.(3)越大，双曲线离原点越远.（4）求k的常用方法①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系.【知识点五】反比例函数与一次函数（1）确定交点坐标①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为.②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·重庆·统考中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·山东济南·统考中考真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）函数的大致图像是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或6．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023·湖南娄底·统考中考真题）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（

）

A．3 B．4 C．5 D．610．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（

）A．3 B． C．4 D．6填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·江苏·统考中考真题）若矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为．12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为．13．（2012·四川广安·八年级统考期中）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是．14．（2023·山东青岛·统考中考真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为．15．（2023·广东·统考中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为，当时，的值为．16．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，连接，则的面积是．17．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是．

18．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当为何值时，？20．（8分）（2023·青海·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示.

（1）求一次函数的解析式；（2）当时，直接写出不等式的解集.21．（10分）（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

（1）求的值．（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．22．（10分）（2022·浙江温州·统考中考真题）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当，且时自变量x的取值范围．23．（10分）（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．（1）求k的值及点D的坐标．（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．24．（12分）（2022·河南·统考中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．参考答案：1．D【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解.解：∵，∴点在反比例函数的图象上，故选：D.【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键.2．A【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答解：，反比例函数的图象经过第一、三象限，故点M可能在第一象限或者第三象限，的横坐标大于0，一定在第一象限，故选：A．【点拨】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．3．C【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．解：在反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，，点，在第二象限，，，函数图象在第二象限内为增函数，，．，点在第四象限，，，，的大小关系为．故选：C．【点拨】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．4．A【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项．解：函数自变量的取值范围为．对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意；对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除．5．B【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．解：∵把，直线与双曲线交于点和点，∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，∴不等式的解集是：，故选：B．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．6．D【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．解：①当时，，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；②当时，，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；故选：D．【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限．7．A【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为，∵，，且一定，∴随的增大而减小，∴．故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．8．C【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．解：∵当时，有，∴反比例函数的图象在一三象限，∴解得：，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．9．B【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．解：∵四边形是正方形，∵∵点为的中点，∴设点C的坐标为，则,∴，∵点C，E在反比例函数的图象上，∴，解得，，故选：B．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．10．C【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，∴，则，又∵，，∴∴（负值已舍去）解得：，故选：C．【点拨】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．11．【分析】根据题意列出反比例函数解析式，即可．解：∵矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，故，则，故答案为：．【点拨】本题考查了求函数解析式，解题的关键是根据矩形的面积公式推得．12．2【分析】将点的坐标代入函数解析式即可．解：将代入得：，解得：，故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键．13．【分析】直接根据反比例函数的性质即可得到结论．解：∵反比例函数的图像过一、三象限，∴．故答案为：．【点拨】本题考查的是反比例函数的性质．反比例函数的性质主要有：（1）反比例函数的图像是双曲线；（2）当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图像与坐标轴没有交点．根据反比例函数的图像判断出的取值范围是解答此题的关键．14．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，∴反比例函数的表达式为．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．15．4【分析】将代入中计算即可；解：∵，∴故答案为：4．【点拨】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．16．5【分析】根据反比例函数k的几何意义直接求解即可得到答案；解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，∴，故答案为：．【点拨】本题考查反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上一点与原点的连线和到坐标轴垂线围成的三角形面积是．17．【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．解：∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，∴∴，∴双曲线的表达式为：，，∵过点作轴，交轴于点，∴，∴，故答案为．【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．18．4【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．解：∵轴于点轴于点，∴点P的横纵坐标相同，∴可设点P的坐标为，∵为的中点，∴，∵在直线上，∴，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．19．（1）；；（2）【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．（1）解：将点代入，，，将代入，，，将和代入，，解得：，；（2）解：根据图象可得，当时，的取值范围为：．【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．20．（1）；（2）【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式．（2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集．（1）解：由图象知，一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，则交点的纵坐标为2．将代入得，．所以一次函数的解析式为：．（2）解：当，即图象在轴的右侧，观察图象发现：当图象在直线的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，所以不等式的解集为：．【点拨】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键．21．（1），；（2）见分析【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．解：（1）∵点的横坐标是2，∴将代入∴，∴将代入得，，∴，∵点的纵坐标是，∴将代入得，，∴，∴将代入得，，∴解得，∴；（2）如图所示，

由题意可得，，，∴设所在直线的表达式为，∴，解得，∴，∴当时，，∴直线经过原点．【点拨】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．22．（1），见分析；（2）或【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表