26　第五章　5.3　5.3.1　第2课时　函数单调性的应用

第2课时函数单调性的应用第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性整体感知[学习目标]

1．进一步理解函数的导数和其单调性的关系．(数学运算)2．能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．(数学运算)

[讨论交流]

问题1．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(或递减)，则f′(x)满足什么条件？问题2．对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构

反思领悟

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．

[解]

f′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，且x∈(－∞，＋∞)．当a＝0时，f′(x)＝x2≥0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a＜0，x∈(－∞，a)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；x∈(a，－3a)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；x∈(－3a，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．综上，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(－3a，＋∞)；函数f(x)的单调递减区间为(a，－3a)．

探究2根据函数的单调性求参数的取值范围探究问题1如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)有什么特点？[提示]

f′(x)≥0，但f′(x)不可以恒为0．探究问题2如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在单调递增区间，则f′(x)有什么特点？[提示]

f′(x)＞0有解．[新知生成]导数的符号与函数单调性的关系(1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在D上________；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在D上________．(2)若函数f(x)在D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在D上单调递减⇒_________．需要检验f′(x)＝0不能恒成立．(3)若函数f(x)在D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解．若函数f(x)在D上存在单调递减区间⇒______________．单调递增单调递减f′(x)≤0f′(x)＜0有解【教用·微提醒】

(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间．(2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立．[典例讲评]

2．已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．

[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0且不恒为0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0．[母题探究]

1．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．

2．若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．

3．若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．

发现规律

利用函数的单调性求参数，常用方法如下：1函数f(x)在区间D上单调递增⇒___________在区间D上恒成立2函数f(x)在区间D上单调递减⇒___________在区间D上恒成立3函数f(x)在区间D上不单调⇒f′(x)在区间D上存在变号____f′(x)≥0f′(x)≤0零点4函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得___________成立5函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得___________成立6若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的________，从而求出参数的取值范围f′(x0)>0f′(x0)<0非空子集[学以致用]

2．已知a∈R，函数f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．(1)若曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围．

√

√

(2)由y＝f′(x)的图象知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1可转化为－2＜x2－6＜3，解得2＜x＜3或－3＜x＜－2．故选A．]反思领悟

(1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．(2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系．[学以致用]

3．(1)设函数f(x)＝2x＋sinx，则(

)A．f(1)＞f(2)

B．f(1)＜f(2)C．f(1)＝f(2)

D．以上都不正确(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f′(x)＜0，若f(lgx)＞f(1)，则x的取值范围是________．√

243题号1应用迁移√B

[由题意可得，f′(x)＝sinx＋a≥0恒成立，故a≥－sinx恒成立，因为－1≤－sinx≤1，所以a≥1．故选B．]1．若函数f(x)＝－cosx＋ax为增函数，则实数a的取值范围为(

)A．[－1，＋∞)

B．[1，＋∞)C．(－1，＋∞)

D．(1，＋∞)23题号14

√

23题号413．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝________．

243题号1

(－3，－1)∪(0，1)1．知识链：(1)求含参函数的单调区间．(2)由单调性求参数的取值范围．(3)函数单调性的应用．2．方法链：分类讨论、数形结合．3．警示牌：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．利用导数研究含参数函数的单调性，一般有哪几种情况？如何解决这几种情况？[提示]

利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：①区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．②区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．③最高次项系数不确定型此类问题一般要对最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．2．总结由函数的单调性求参数的取值范围的方法有哪几种？[提示]

①可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，根据已知条件，求出参数的取值范围，但最后要注意检验．②可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在区间(a，b)上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．③若已知f(x)在区间I上的单调性，且区间I含有参数时，可先求出f′(x)为正或负时的区间，令I是f(x)的单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围．课时分层作业(十九)函数单调性的应用题号13524687910111213√1415

题号135246879101112131415

题号213456879101112132．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是(

)A．f(b)＞f(a)

B．f(d)＞f(e)C．f(a)＞f(d)

D．f(c)＞f(e)√1415√√题号213456879101112131415ABD

[由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，所以f(b)＞f(a)，f(d)＞f(e)，f(c)＞f(e)．故选ABD．]题号32456879101112131

√1415

题号42356879101112131

√1415

题号24536879101112131

√1415题号24536879101112131

1415题号24536879101112131

1415

题号24537689101112131

1415

[－5，5]题号24538679101112131

1415

(－∞，2]题号92453867101112131三、解答题9．(源自人教B版教材)讨论函数f(x)＝alnx＋x的单调性，其中a为实常数．1415

题号9245386710111213110．若函数f(x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，0]

B．(－∞，－8)C．(－∞，－8]

D．[0，＋∞)√1415题号92453867101112131C

[因为函数f(x)＝ex(x2＋a)，所以f′(x)＝ex(x2＋2x＋a)．因为函数f(x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，所以f′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在[－2，2]上恒成立，即a≤－x2－2x在[－2，2]上恒成立．令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，则在[－2，2]上，tmin＝－8，则a≤－8，当a＝－8时，f′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex[(x＋1)2－9]不恒为零，也符合题意，所以实数a的取值范围是(－∞，－8]．故选C．]1415题号92453867101112131

1415

[0，1]题号92453867101112131当a＜0时，则g(x)的图象开口向上，g(x)≤0不恒成立，不符合题意，舍去．当a＞0时，要使g(x)≤0恒成立，则Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．综上可得，实数a的取值范围是[0，1]．]1415题号9245386710111213112．已知函数f(x)＝2x2－lnx，若f(x)在区间(2m，