基于高阶累积量的阵列校验

哈尔滨工业大学本科毕业设计（论文）哈尔滨工业大学本科毕业设计（论文）毕业设计（论文）题目基于高阶累积量的阵列校准摘要阵列幅相误差会严重影响MUSIC算法的测向性能；由于四阶累积量的盲高斯性以及阵列扩展等优良特性，近年来在阵列信号处理中得到了越来越多的应用。为此基于均匀线阵,给出了基于最大非冗余四阶累积量的阵列误差校正算法。本文首先介绍了高阶累积量的定义和性质，特别指出了高阶累积量对加性高斯(白色或有色)噪声的盲性，这是利用它进行波达方向估计的理论优势；其次，介绍了阵列信号误差模型和常见阵列误差校正方法，重点针对常见的阵列幅相误差问题，分别介绍基于协方差和高阶累积量两种阵列误差的自校正方法，两种方法都能将信源方位和阵列误差参数进行联合估计，文章中将对两种方法的阵列误差估计性能进行全面比较分析。关键词：高阶累积量；幅相误差；阵列校准；DOA估计；均匀线阵；AbstractTheamplitudeandphaseerrorsofanarraydegradeseverelytheperformanceoftheMUSICalgorithm,withtheadvantagesofblindnesstoGuassiannoiseandarrayextendingcapability,fourth-ordercumulanthasbeenwidelyappliedtoarraysignalprocessinginrecentyears.ThereforethisarticlepresentsanewcalibrationalgorithmbasedontheMaximalSetofNon-redundantcumulantsforamplitudeandphaseerrorsinuni-formlineararray.Firstly,thethesisintroducesthedefinitionsandtheattributesoftheHigher-OrderStatistics.Higher-OrderCumulantsareblindtoadditiveGanssiannoise(whiteorcolored)andthisisthetheoreticaladvantageofHigher-OrderCumulants.Secondly,theestablishedarraysignalerrormodelandseveralarraycalibrationalgorithmsarepresented.Importantly,astotheusualarrayerrorofarrayamplitudeandphase,wewillintroducetwokindsofalgorithmsseparatelybasedonusualMUSICandFOC-MUSICmethods.Thetwomethodscanbothgettheacuratesignaldirectionatthesametime.Lastly,thethesiswillmakeacomparionbetweenthetwomethods.Keywords:highordercumlants,arrayerrorsofamplitudeandphase,algorithm,doaestimation,lineararray目录摘要 1Abstract 2第1章绪论 51.1课题背景及研究的目的和意义 51.2本文主要研究内容 6第2章阵列幅相误差校正技术 72.1信号模型的建立 72.2阵列误差信号模型 92.3阵列误差的影响 92.4阵列误差校正常见方法 12第3章高阶统计量 163.1随机过程及其特征函数 163.1.1单个随机变量的特征函数 163.1.2多维随机变量的特征函数 163.2常用的高阶统计量 173.2.1单个随机变量和随机变量序列的高阶矩和高阶累积量 173.2.2随机过程的高阶矩和高阶累积量 183.2.3平稳过程的高阶矩和高阶累积量 193.3高斯过程的高阶矩和高阶累积量 193.3.1高斯随机变量和随机变量序列的高阶矩和高阶累积量 193.3.2零均值的高斯随机过程的高阶矩和高阶累积量 213.3.3高阶矩和高阶累积量 213.4高阶累积量的性质与特点 213.4.1高阶矩和高阶累积量 223.4.2高阶累积量的优势 24第4章阵列幅相误差校正技术 254.1阵列误差的基本模型 254.2阵列误差估计和校正的基于高阶累积量的MUSIC方法 264.2.1基于最大非冗余累积量集的空间累量阵 264.2.2基于最大非冗余阵的MUSIC方法 284.2.3存在幅相误差时基于的方向估计与阵列校正 284.2.4仿真分析 30结论 34参考文献 35致谢 37第1章绪论1.1课题背景及研究的目的和意义阵列信号处理这个学科的产生可以追溯到20世纪60年代现代雷达领域自适应干扰对消理论和技术的产生，是信号处理中一个年轻的分支，属于现代信号处理的重要研究内容之一，其应用范围十分广泛，可用于雷达、声纳、通信、地震勘测、射电天文和医用成像等众多领域。阵列信号处理包括自适应空域滤波（也称为波束形成）和空间谱估计两个主要研究方向，其主要目的是提取阵列所接收的信号及其特征信息（参数），同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信息。与自适应空域滤波不同，空间谱估计侧重于研究空间中多传感器阵列所构成的处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的能力，其主要目的是估计信号的空域参数或信源位置。对信源方向的估计称为波达方向估计（或测向）。R.Schmidt在1986年提出的MUSIC(multiplesignalclassification)算法极大的提高了空间谱估计的性能，从而引起人们极大的兴趣。随后出现一大批基于子空间理论的空间谱估计算法，例如ESPRIT(estimationofsignalparametersviarotationinvariancetechniques)、root-MUSIC、WSF(weightedsubspacefitting)等。然而，这些经典的超分辨测向算法以及波束形成算法大多都是以阵列流形精确已知为前提的，因而性能优良。但是在实际工程应用中，真实的阵列流形往往会随着气候、环境、位置以及器件本身等因素的变化而出现一定程度的偏差或扰动。此时，通常的超分辨测向算法及波束形成算法的性能会严重恶化，甚至失效。己经有研究表明，利用精确己知的误差参数，很多现有的算法都可以得到很好的性能。因此，阵列误差的校正问题一直是阵列信号处理技术走向实用化的一个瓶颈，成为近年来的一个研究热点。高阶统计量已经广泛应用于现代信号处理的各个领域。其中一个主要的原因是现代信号处理的很大一部分是基于非高斯信号的，在过去，由于缺乏分析工具，人们在实际处理过程中多假设为正态分布或叫高斯分布。其结果不是很令人满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已经将注意力转向非高斯信号的处理上来了。对高斯信号而言，只需二阶统计量就能完全描述，而二阶统计量只包含少量的幅度信息，不包括相位信息，因此对非最小相位系统的辨识而言，二阶统计量便显得无能为力；与传统的信号处理不同，非高斯信号处理使用高阶统计量作为主要分析工具，高阶统计量含有十分丰富的信息，从而使得非因果、非最小相位、非线性系统的辨识成为可能，同时高阶累积量能够完全抑制高斯色噪声。高阶统计量分析在信号处理领域中的应用在20世纪80年代达到高潮，从那以后一直是国内外信号处理领域的热点。经过几十年的发展，高阶统计量已在雷达、声纳、通信、海洋学、电磁学等领域获得了大量的应用。国内的高阶累积量的研究始于20世纪80年代后期，但发展很快，已经在信号处理、系统理论和时间序列分析的领域取得了很大的应用。高阶累积量能够抑制高斯噪声，将高阶累积量应用于阵列信号处理，特别是用于波达方向估计，国内外已经有了很长时间了，西安电子科技大学的保铮院士和他的学生一起，做了很多工作，还有像空军雷达学院的王永良教授、吉林工业大学的刘若伦都在这方面作了不少工作。总之，波达方向估计有着十分广泛的用途，而以高阶统计量作为分析的数学工具能够得到很好的结果，因此展开这方面的理论研究有很大的现实意义。1.2本文主要研究内容本文首先介绍阵列侧向系统误差模型及其影响，主要研究基于高阶累积量的阵列校正技术，全文的主要内容安排如下：第一章综述了阵列误差校正的背景和研究意义，简述了该领域目前国内外的研究和发展现状，其次对高阶累积量在阵列信号处理方面的应用和理论发展做介绍。第二章首先分析了阵列的信号模型，在研究了阵列模型的基础之上介绍了超分辨的MUSIC方法，同时讨论了存在幅相误差时信号模型，并从理论上分析阵列误差对其算法性能影响，给出了仿真结果。同时简要介绍了一种幅相误差的有源校正方法和几种自校正方法。第三章首先介绍高阶累积量的定义和性质，其次是在阵列信号中的应用，其对于阵列孔径的扩展，如何构造累积量阵列，以及进一步构造最大非冗余累量阵。第四章是阵列误差和高阶累积量阵的集合。本章采用累积量矩阵用循环迭代的方法对有误差的阵列进行校正。分析其误差参数，同时也可得到对来波方向的估计。本章将对高阶累积量和协方差的校准方法进行比较，得出两者的优虐。最后是全文总结。第2章阵列幅相误差校正技术在研究阵列信号处理的问题时，阵列信号模型的建立是首要讨论的问题，它为信号处理技术提供了理论研究基础。正如绪论中所言，基于阵列模型的建立，出现了波束形成算法、基于特征分解的超分辨参数估计等各种阵列信号处理方法。但无论是波束形成还是高分辨方法都受到阵列误差的影响，性能有所下降。这就有必要来了解一下信号模型的建立情况。2.1信号模型的建立在建立信号模型时，我们假设阵列由N个全向性阵元构成，阵列结构形式任意，如图2.1所示，设定坐标系，则可知，在该坐标系下各阵元的坐标为（），（），……，（）。若以阵列的第一个阵元为参考阵元时，其位置为坐标原点，即（）=（0,0）。若该阵列接收p个窄带、独立、远场信号，假定第i个信号源波达方向与y轴的夹角为。噪声均值零、方差为的高斯白噪声，且各阵元上的噪声、噪声与信号之间不相关。图2.1阵列示意图则第k个阵元上t时刻接收到的数据为：（2-1）当阵列无误差时，阵列流形矢量（arraymanifold）为：（2-2）它依赖于阵列几何结构和波的传播方向、波长等参数，称为导向矢量（steeringvector）,为信号的波长。把（2-1）式写为矩阵形式：（2-3）其中A称为阵列的方向矩阵，是第i个窄带信号的复包络，T表示转置，分别是第k个阵元接收到的数据和观察噪声，各自独立，与信号不相关。因此，阵列的协方差矩阵为：（2-4）E[]表示求数学期望，H表示共轭转置，信号功率是噪声功率，I是阶单位阵。而实际中，通过有限次快拍实现R的估计（2-5）其中L为快拍数，X(t)为阵列输出端的t时刻的采样。下面介绍常用的特殊结构等距线阵：等距线阵就是将阵元均匀分布在一条直线上，相邻的两个阵元之间的间距为d，阵列示意图如下：图2.2N元均匀线阵示意图因此等距线阵的阵列流形为：(2-6)方向矩阵，具有范德蒙结构，这会给波达方向估计带来方便。很多阵列结构的方向矩阵可以转化成这种范德蒙结构形式求解。本文所做的研究也正是基于该阵列流形。2.2阵列误差信号模型在阵列信号处理的研究中，基本都是以不存在误差的阵列模型为研究基础的，也就是理想的阵列模型，但在实际应用中由于各种原因阵列接收信号不可能完全符合理想情况。下面我们就来建立存在阵列误差的信号模型，为下下一步校正阵列信号误差奠定理论基础。阵列误差来源大致上可以分为以下几类：阵元幅度和相位误差，包括各阵元性能吧不一致和通道间的幅频和相频特性不一致；同一接收通道的正交误差；阵元间的互耦；噪声引起的误差；波束指向误差；近场效应引起的误差及信号源的相关性引起的误差等等。而许多系统误差都可以归结为阵列幅相误差，如阵元位置误差、阵元通道误差等，这些因素对估计性能影响较大，因此我们讨论的重点是阵列幅相误差。在2.1节介绍了阵列无误差条件下的阵列信号模型，下面将给出阵列存在幅相误差时的信号模型，为进一步讨论阵列误差对信号处理方法的影响打下基础：当仅考虑阵元幅相误差时，阵列的信号模型为：（2-8）其中为第k个阵元的幅度误差，为第k个阵元的相位误差。一般都以第一个阵元通道作为相位和增益的基准，此时有。2.3阵列误差的影响在上一节中我们已经建立了有阵列误差的信号模型，在此基础上我们来研究一下阵列误差对MUSIC高分辨算法的影响，正是因为阵列误差存在使得高分辨算法性能恶化，我们才把阵列误差校正作为阵列信号处理的一个重要研究内容。MUSIC算法是一种最为经典的超分辨信号参数估计方法，并且以其优越的性能被广泛地应用于实际中。本节从理论上介绍了MUSIC算法原理、分析了阵列误差对MUSIC算法性能的影响。在超分辨信号参数估计方法中，MUSIC算法是其中一种最为经典的方法，该方法把线性空间的概念引入到波达方向估计中，将线性空间分为由信号导向矢量张成的信号子空间和其正交补空间即噪声子空间。首先，对阵列的协方差矩阵R进行特征分解：（2-26）将特征值从大到小排列，p(信源个数)个大特征值对应的特征矢量张成的子空间，称为信号子空间，它与阵列流形子空间相同。N-p个小特征值所对应的特征矢量所张成的子空间称为噪声子空间。显然。噪声子空间的投影矩阵为,其中。因而，可以给出MUSIC算法的谱函数为（2-27）在上式所形成的空间谱中对波达方向进行搜索。由于信号子空间和噪声子空间正交，所以当为某一信源的波达方向时，它对应的导向矢量向噪声子空间的投影长度为零，理论上趋于无穷大，但在实际中得到的是噪声子空间的估计，并不完全正交，此时谱函数将出现峰值。该算法的缺陷是要进行谱峰搜索，尤其在两维波达方向（方位角和俯仰角）估计中，其运算量相当大。阵元存在幅度和相位误差时的信号模型如式(2-8)所示：由上式可知，阵列的实际导向矢量可以表示为，因此，其实际的协方差阵位：（2-28）但是，在实际中未知，在MUSIC谱函数式中，只能用理论导向矢量去做搜索，误差的存在将导致理论导向矢量与噪声子空间的正交性变差。1、幅度(增益)误差对MUSIC算法的影响此时假设仅存在阵列增益误差，因此由2.1节中所示，阵列接收信号向量的协方差矩阵为：为便于分析，假设只有一个信号源，且来自于方向。此时对做特征分解，则有一个大特征值和N-1个小特征值，其对应的特征矢量分别是信号向量,因此有：（2-29a）（2-29b）如果不进行误差校正，而直接采用理想条件下的导向矢量作MUSIC谱峰搜索，可得MUSIC谱为,其中为噪声子空间，即，则此时有：（2-30）从式（2-30）可以得到，当时取得最大值，但此时分母不再为零，因此阵元增益误差的存在并不引起MUSIC谱中的谱峰位置相对于正确的波达方向产生偏移，其影响是降低了谱峰幅度。对于多源情形，虽然不同信源之间的互耦使分析变得复杂，但阵元幅度误差的影响类似于单源情形，即MUSIC谱的谱峰位置不会因为幅度误差的存在而改变。2、相位误差对MUSIC算法的影响当阵列模型中没有阵列增益误差，而只存在阵列相位误差时，由2.2节可知，。因此此时的谱函数形式与只存在增益误差的情形是一样的，只不过Γ矩阵由幅度矩阵变为相位矩阵。仍以单信号源情形为例，相位误差的影响取决于：（2-31）从上式可以看到由于附加相位项的影响，其最大值通常并不对应真实的信源方向。所以存在信道相位失配时，波达方向的估计是有偏移的。2.4阵列误差校正常见方法在上一节中分析了可以看出阵列误差对MUSIC算法的性能有影响，那么如何实现阵列误差校正就是阵列信号处理中一个重要的研究内容。早期的阵列校正是通过对阵列流形的直接离散测量、内插、存储来实现的，但该方法实现复杂度太大，而且实际效果也不理想。九十年代后，人们通过对阵列扰动进行建模，将阵列误差校正逐渐转化为一个参数估计问题。而参数类的校正方法通常可以分为有源校正和自校正。有源校正是指通过在空间放置方位已知的辅助信源来对阵列扰动参数进行估计，它要求已知校正源个数、方向等先验知识，包括有源远场校正、近场校正和使用馈源法校正。该方法的优点是不增加算法的复杂度，理论上可以消除各种误差的影响，但要求外置方位已知的辅助信源，增加了实现难度。在这里我们分别对有源校正和自校正做以介绍。有源阵列误差校正对一雷达天线阵列，在某一固定方位处有一个校正用的信号源，在雷达天线转动过程中间隔观察M次，而每次观察时雷达天线阵所转过的角度却是精确已知的。为此，我们可以假设天线不动，空间中有M个远场窄带信号源，在某一时刻只有一个信号源工作，只要知道第一个信号源的方向我们可以计算出M个信号源的方向。设阵列由个全向性阵元构成，阵列结构形式任意，存在阵列误差时，真实的阵列导向矢量为：(2-8)其中是理想导向矢量。由于并不是只有幅相误差，而是有其他阵列误差影响的误差矩阵，所以该矩阵并不像前文所述是一个对角阵，而是一个N×N的方阵。阵列接收到的数据为：则在分时工作的条件下，可以得到M个观测数据的协方差矩阵：其中：为第i个信号的功率，为噪声的功率。式(3-11)右边第一项为秩等于1的矩阵，对作特征分解，最大特征值所对应的归一化特征向量为，这时有：（2-34）我们很容易通过优化如下函数得到Γ和Λ的最小二乘估计：（2-35）其中，（为归一化的特征分解后最大特征值所对应的特征向量），表示矩阵的Frobenius范数，表示来波方向且当j时。最小化式(2-35)得到Γ的期望值（2-36）将式(2-36)代入式(2-35)得到优化问题变为：（2-37）其中表示方阵的迹。根据矩阵的相关原理我们可以将式(2-37)写成如下形式：表示Schur-Hadamard积。(2-38)很容易看出式(2-38)的一个平凡解为c=0但这不是我们所要求的解。由于误差校正源都是有限功率的，我们可以约束从而确定唯一的c。那么该问题就转化为寻找最小特征值和特征向量的问题，如下表示：（2-39）将所求得的最小特征向量c即代入式(2-36)，就可以得到阵列误差Γ。对于以上的参数估计问题，我们的测量量有2MN个，而有实数变量需要估计，所以当([S]表示取大于或等于s的最小整数），阵列误差估计性能恶化，不能正确估计阵列误差。该方法较其他有源幅相误差方法优点在于：由于信号模型加入的误差矩阵是一个方阵不限于其他方法中的对角阵，所以在误差中考虑到阵元位置误差和阵元互耦等情况。但由于该方法仍属于有源方法所以它也有着其他有源方法共同不足，要已知信源的参数，这就增加了该方法实现的难度。下来我们介绍实现较简单的自校正方法。阵列误差自校正方法自校正方法通常将空间信源的方位与阵列的扰动参数根据某种优化函数进行联合估计，它对信号以及阵列无需更多的要求，主要是利用阵列结构等先验知识对接收数据进行处理，得到校正结果。这种校正方法不需要方位已知的辅助信源，实现代价较小。但参数联合估计对应的高维、多模、非线性优化问题带来了庞大的运算量，不利于实时处理，而且参数估计的全局收敛性也往往得不到保障。本文主要讨论的就是这种自校正方法，下面我们给出一种经典的幅相误差自校正算法。我们还是以N个全向阵元组成的均匀线阵为例，与前面所述的阵列信号模型一致。阵列接受信号为（2-47）其中为第个阵元的幅度误差，为第k个阵元的相位误差。令，。一般都以第一个阵元通道作为相位和增益的基准，此时有。迭代算法如下：初始化设置迭代次数k=0；初始化阵列幅相误差这里设为即无阵列幅相误差，各阵元幅相误差系数为全为1；计算接受数据自相关矩阵，其中L是快拍数；计算噪声子空间矩阵即由对进行特征值分解，得到小特征值对应的特征矢量所组成的矩阵。Step1：DOA估计根据MUSIC算法原理，搜索得到M个谱峰，得到来波方向估计值；Step2：有了M个来波方向角度值下面优化代价函数（2-48）其中，由于我们约束取。该问题就变为线性约束的二次规划问题：（2-49）我们可以得到优化问题的解为（2-50）这里计算幅相误差矩阵（2-51）将计算好的带入MUSIC算法中，搜索谱峰得到新的来波估计方向，带入代价因子的计算（2-52）计算与否，若满足则说明算法没有收敛继续循环迭代，若不满足则说明算法已经收敛，得到阵列幅相误差。该方法的流程图如下所示初始化初始化MUSIC算法估计DOA优化代价函数计算幅相误差MUSIC谱峰搜索计算代价函数计算结束结束

第3章高阶统计量本章是全文的基础，首先介绍随机过程的一些基本概念，然后重点介绍特征函数，由特征函数引出高阶统计量的基本概念。接着分析高阶统计量的性质及各种高阶统计量之间的关系，其中，重点考虑高阶矩和高阶累积量之间的关系和高阶累积量的性质。最后重点介绍高阶累积量的工程计算、计算误差及其理论优势。3.1随机过程及其特征函数定义1:设，T是实数集合，有穷或无穷、不可列或不可列均可，对于每一个为一随机变量，其中w代表某概率空间中的元素，那么，即为随机过程。通常简记为。特别，当T=N时，称为随机变量序列。特征函数是概率论与数理统计中的非常重要的概念，由其发展起来的特征函数方法已经成为了概率论与数理统计中重要的分析工具之一。3.1.1单个随机变量的特征函数设X为随机变量，其对应的概率密度函数为P(x)，则其特征函数定义为:（3-1）由该式可以看出特征函数实质上是概率密度函数的Fourier变换。概率密度函数的性质:1)由于，故特征函数的模在原点取最大值，即有:（3-2）2)由随机变量的均值的定义:（3-3）则由(2-1)可得到特征函数的最常见的形式:（3-4）3.1.2多维随机变量的特征函数首先定义两个随机变量的特征函数，设X和Y为两个随机变量，f(x,y)为其联合概率密度，则其联合特征函数定义为:（3-5）同样有（3-6）更一般地，对于N维随机矢量,其对应的概率密度为,则定义其特征函数为:（3-7）3.2常用的高阶统计量广义来讲，高阶统计量应该包括高阶循环统计量和高阶非循环统计量，包括高阶矩、高阶累积量、高阶矩谱、高阶累积量谱、高阶循环矩、高阶循环累积量、高阶循环矩谱、高阶循环累积量谱。但是，人们习惯上用高阶统计量代替高阶非循环统计量，即高阶矩、高阶累积量、高阶矩谱和高阶累积量谱。3.2.1单个随机变量和随机变量序列的高阶矩和高阶累积量为了讨论方便，我们把随机变量的特征函数的定义式(2-1)写成Lapalace的形式：（3-8）对该式子求k阶导数可得:（3-9）从而有（3-10）也即就是说:随机变量x的特征函数的k阶导数在原点的值等于x的k阶原点矩:（3-11）故人们常把特征函数称为随机变量的矩生成函数，又叫第一特征函数，这说明已知了随机变量的特征函数其各阶原点矩是唯一确定的。反过来，如果已知了随机变量的各阶原点矩，可以通过下面的Taylor展开式确定其特征函数:（3-12）而下式表示的函数:（3-13）称为随机变量的累积量生成函数(又叫第二特征函数)。有了上述的累积量生成函数，把随机变量X的k阶累积量气定义为累积量生成函数的k阶导数在原点的值，即:（3-14）类似地，已知了随机变量的第二特征函数，其各阶累积量是可以唯一确定的，反过来，当各阶累积量都已知的时候，可以通过下式唯一地确定:（3-15）先考察一阶、二阶累积量与一阶、二阶矩之间的关系，由:可得：（3-16）令s=0，结合，有：（3-17）即有：对于N维随机矢量,对应的特征函数为:，对其求偏导数可得：（3-19）令，得到随机序列的阶矩，即：（3-20）类似地，我们可以定义N维随机矢量的阶累积量（3-21）跟单个随机变量的情况一样，阶矩和阶累积量实际上分别是矩生成函数和累积量生成函数的Taylor展开式的次项的系数。特别地，取，就可以得到通常的N阶矩和N阶累积量，（3-22）3.2.2随机过程的高阶矩和高阶累积量设是零均值的N阶平稳随机过程，则其N阶矩和N阶累积量分为:（3-23）由平稳随机过程的性质，零均值的N阶平稳随机过程的N阶矩和N阶累积量与起始时间t无关，只与N-1个时间间隔有关，是含有N-1个变元的函数，零均值的N阶平稳随机过程的N阶矩和N阶累积量实质上是从平稳随机过程中挑选的N个随机变量所得到的N阶矩和N阶累积量。3.2.3平稳过程的高阶矩和高阶累积量对于N阶平稳随机过程，假设其N阶矩是绝对可求和的，即:（3-25）则其N阶矩谱定义为其N阶矩的N-1阶Fuorier变换，即有:（3-26）类似地，假如N阶累积量是绝对可求和的，即:（3-27）则其N阶累积量谱定义为其N阶累积量的N-1阶Fourier变换即有（3-28）高阶累积量谱是分析非高斯随机过程的主要的数学工具，最常用的是三阶谱和四阶谱，三阶谱又叫双谱，四阶谱又叫三谱。定义分别为:（3-29）（3-30）3.3高斯过程的高阶矩和高阶累积量高斯分布的随机信号和随机过程在信号处理领域起着十分重要的作用，下面推导高斯过程的高阶矩和高阶累积量。3.3.1高斯随机变量和随机变量序列的高阶矩和高阶累积量设X为高斯随机变量，且满足:,由特征函数的定义可求得其第一特征函数为:（3-31）第二特征函数为:（3-32）由N阶矩和N阶累积量的定义，其分别是和的Taylor级数展开式中的的系数。而第二特征函数是的二次函数，从而其三阶及三阶以上的导数恒为零。特别地，当高斯变量为零均值的随机变量时，即有:，由式（2-8）和（2-9）可得：而此时，高阶矩为:N维随机矢量，设其均值为，协方差矩阵为：,其中，，R是正定矩阵。如果N维随机矢量是正态分布的，则其特征函数为:（3-33）则对应的累积量生成函数为:（3-34）从而由阶累积量的定义，可以得到N维高斯随机矢量的各阶累积量为:(1)=l，中只有一个为1，而其他的全为0，不妨设=1(2)=2，可以分为两种情况，情况1:中有两个为1，而其他全为0，不妨设，则：(3)，由于是自变量以的二次函数，所以关于自变量三次以及更高次的偏导数等于零，即有:3.3.2零均值的高斯随机过程的高阶矩和高阶累积量设是零均值的高斯随机过程，令,由随机过程的高阶矩和高阶累积量的定义，有:由此式和C-M公式可得:高斯随机过程的奇数阶的高阶矩为零，而偶数阶的高阶矩非零，即有:3.3.3高阶矩和高阶累积量高阶累积量与高阶矩之间存在确定的关系。对于均值为零的平稳随机序列X，经常用到的累积量与矩之间的转换关系如下:（3-35）式中，而且，经过归纳可得到以下一般的转换关系式:（3-36）式子(2-34)通常被称为累量—矩(CM)公式，式中I=(l，2，3，·，N)代表随机矢量的“指示符”集合，是由指示符构成的某种类型的子集，q表示将I划分成的某种类型的子集的元素，显然，根据划分的不同类型，q应取不同的值，其取值范围为，N是随机矢量的维数，则表示对所有类型的划分求和。类似地，可得到以下的矩-累积量(M-C)公式:3.4高阶累积量的性质与特点3.4.1高阶矩和高阶累积量高阶累积量之所以能够迅速发展，主要是因为其具有下面一系列优良的性质:1)是随机变量，若为任意常数，则:2)累量成对称性，即:其中是(l，2，·N)的任意不同的排列。3)变量对变元具有可加性，即:4)若C是任意常数，则有:5)随机变量，彼此统计独立，则:这是一条非常重要的性质该等式表明两个统计独立的随机过程之和的累积量等于各个随机过程的累积量之和。考虑到高斯过程的累积量恒为零，则有:如果一个非高斯信号是在与之相互独立的加性高斯噪声中进行观测，则观测的累积量等于非高斯信号的累积量，从而高阶累积量的能够完全抑制高斯噪声。6)为任意随机变量，由其元素可构成互不相交的子集，且彼此统计独立，则:为了简化计算，而又不失一般性，通常假设时间序列是零均值的。于是，对于一个零均值的平稳随机序列{X(n)}而言，由M-C公式可以的下列关系式:（3-37）上述等式表明零均值平稳随机序列的二阶累积量和三阶累积量分别与其二阶和三阶矩相等，而三阶以上的高累积量不等于其高阶矩。在实际的信号处理中，我们无法得到真实的高阶累积量。为了得到累积量的一致估计子，通常需要假设非高斯过程是2N绝对可求和的，即:（3-38）而且，X(i)=0，ori>N，N为样本数。可以证明，(3-38)只要对m=1，2，.，6成立，则按照(3-36)式，三阶累积量的均方一致有效估计可以通过计算下式得到:（3-39）类似地，若(3-38)只要对m=1，2，·，8成立，则按照(3-37)式，四阶累积量的均方一致有效估计可以通过计算下式得到:（3-40）其中，最后，介绍观测序列X(n)的三阶累积量渐进无偏估计量的计算步骤:Stepl：将N个样本x(l)，x(2)，·，x(N)分成K段，每段M个样本，并减去各自的均值，使得各段为零均值的随机过程;step2：设第l段数据为，然后对各段按照下式计算其三阶累积量的一致估计值:Step3:取各段三阶累积量的平均值作为整个观测的三阶累积量，即:对于一个零均值平稳随机过程{X(n)}，{g(n)}是一个与{X(n)}具有相同的功率谱密度的高斯过程，则{x(n)}的高阶累积量还可以定义为:该过程不仅显示了平稳随机过程（X(n)）的高阶相关程度，而且还提供了该过程偏离高斯过程的测度。显然，若平稳随机过程（X(n)）本来就是高斯过程的话，其高于2阶以上的累积量均为零。3.4.2高阶累积量的优势高阶累积量之所以能够获得如此大的发展，与它所具有的理论优势是密不可分的，其理论优势主要是通过与相关函数及其相关谱、高阶矩的对比中体现出来的。1、高斯过程的三阶以上的累积量全为零，非高斯过程则不全为零，这就为从高斯背景噪声中提取非高斯信号创造了一条途径;2、三阶以上的高阶普不但含有信号的幅度信息，而且还含有信号的相位信息，因此可用于辨识最小相位系统;3、累积量还可检测系统的非线性，是研究非线性系统的有力工具;4、尽管高阶矩和高阶矩谱也包含相位信息，但是，与高阶累积量相比，还是有不少不足，这也是我们选择用高阶累积量而不用高阶矩的原因;一方面，高阶累积量能够完全抑制高斯噪声的影响，而高阶矩不能，因为偶数的高阶矩非零;另一方面，高阶累积量满足:两个统计独立的随机过程之和的高阶累积量等于各个随机过程的累积量之和。这一性质对处理受加性噪声污染的观测信号时候非常有用，而高阶矩没有这一条性质。正是凭借这些优势，高阶累积量目前的应用范围已经涉及到通信、雷达、声纳、海洋学、天文学、电磁学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体力学等众多领域。我们深信它必将在更广泛的领域中，带来更多的突破。第4章阵列幅相误差校正技术4.1阵列误差的基本模型阵列误差模型有很多种，为了与后面的分布式小卫星系统相联系，我们考虑如下的阵列误差模型，设由M个阵元组成的阵列(不一定是线阵)，如图4.1所示。K个信号源和M个阵元共面，传感器阵元1位于坐标系的原点，K个独立窄带信号源照射到阵列上，为到达参考阵元上的信号波形，与y-轴所成的角分别为,阵元热噪声为高斯白噪声，第m个阵元的输出为，阵列输出的向量表达式为:（4-1）参数为第n信号源到达第m阵元所需要的传播时间与到达参考阵元的传播时间差，和是与第m个阵元相关的增益和延迟。正常情况下，应有:，，正是由于才导致了阵列的幅相误差，考虑到信号源信号的窄带性有:图4.1阵列结构图（4-2）写成向量形式为：其中：,，当没有幅相误差项时，以前的基于特征分解的方法能够得到很好的结果，但是存在阵列误差时，估计性能会受到很大的影响，甚至估计失败。下面介绍两种常见的处理这种问题的方法，这两种方法在对阵列误差进行估计的同时，也得到了信号源的波达方向估计。4.2阵列误差估计和校正的基于高阶累积量的MUSIC方法针对由上文描述的阵列误差估计和校正问题，Porat和Fridlnader提出了一种类一MUSIC算法，他们构造的空间四阶累积量包含了所有的空间四阶累积量元素，形成上与MUSIC算法相似。由于这种算法能几乎完全抑制高斯噪声，因此性能不错，但是这算法利用的四阶累积量阵包含了所有的累积量元素，其中含有大量的冗余元素，增加了计算量，于是吴恒和保铮等人提出了基于最大非冗余累量集的空间累量阵的方法，该方法可以经过改进后用于后面的小卫星分布式雷达方位向超分辨，下面详细介绍该算法。4.2.1基于最大非冗余累积量集的空间累量阵定义四阶累积量，其中的表示累积量算子，把这样计算得到的个元素保存到一个的方阵中，对应法则是使)对应于中的第行、第列个元素。这样得到矩阵就是Porat和Fridlnader构造的最大空间四阶累量矩阵，其向量形式为:（4-3）（4-4）其中，表示Kronnecker直积，由四阶累积量的性质可知:这样构造的矩阵中有大量的冗余元素。首先，和交换次序或和交换次序，cum的值不会变。其次，，与，交换次序cum的值共扼相等。针对上述的冗余元素，给出了下面的最大非冗余条件。命题1：当，，，满足:（4-5）时，他们对应的四阶累积量元素构成了最大非冗余四阶累积量集合，其元素个数为，而且这样的集合可以通过下面方法构造得到。定义:（4-6）（4-7）为的Hermitian矩阵。因此，主对角线以下的三角阵又去掉了共扼对称冗余元素，成为了最大非冗余累量元素集。这样就称为基于最大非冗余累积量集的空间累量阵。命题2:信号源独立时，由上述条件定义的空间累量阵具有如下形式:其中，（4-8）和都是阶的矩阵。·表示Hadamard乘积，实际就是两矩阵对应的元素相乘，同时B还可以写成(4-31)(4-9)显然有:当K<M时候，B是列满秩的，又故有。4.2.2基于最大非冗余阵的MUSIC方法对上述所得的空间累积量阵进行特征分解有:（4-10）可得到空间谱：（4-11）式中为)的酉矩阵，为空间累量阵对应的阵列流形。4.2.3存在幅相误差时基于的方向估计与阵列校正对于4.2节所述的阵列误差模型，为了方便，不妨令(4-12)(3-13)下面介绍存在阵元幅相误差的情况下，幅相误差和波达方向的联合估计算法。命题3:存在幅相误差时，由(4-7)式定义的空间累积量阵具有下列形式:(4-14)其中，跟前面定义一样，(4-15)(4-16)（4-17）为了估计出和的的估计值和，定义：显然，如果能够得到真实的和及其对应的噪声子空间，对于真实的和真实的波达方向角，显然应有:。但是，实际上我们只能得到和的估计值和，我们估计出和的估计值和。而该问题等价于下列的优化问题:（4-18）（4-19）则有：（4-20）==其中，（4-21）从而上述的阵列误差估计问题等价于：（4-22）类似于基于协方差的情形，上述问题可以利用迭代法分五步来求解:第一步:根据观测计算，并计算特征分解，为的个零特征值对应的特征矢量。第二步:设k=0；可以取为其名义增益和相位值或者是任意最新的校正信息;第三步:搜索空间谱函数:（4-23）的N个峰值点对应的N列适量为，选择使得(4-23)式在给定和的情况下的值最小。第四步:将第三步估计所得的反代入(4-19)、(4-20)和(4-21)，最小化代价函数，估计出（4-24）其中，（4-25）第五步:根据求出，这样求得的使得在给定的情况下，代价函数的值取到了最小。第六步:计算（4-26）如果，则，转入第二步；如果，停止。该算法与前一节描述的基于协方差的阵列误差估计和校正方法相比，优点在于能够抑制高斯噪声，同时阵列也得到了扩展，从而能够得到不错的估计性能;但是该算法仍没有克服“只能收敛到局部最优点，但不一定能收敛到全局最优点”的缺点，而且，在不加其他附加条件的情况下，该算法不能直接得到阵列误差的估计值，只能得到阵列误差的函数的估计值，而且，不能从中唯一地求出。但是在有些情况下，比如说分布式小卫星的阵列误差校正中，仅仅知道的估计值是不够的，为了估计出误差在三维坐标中的每一维坐标上的分量，需要求得的估计值。但是仔细观察(4-15)、(4-16)和(4-17)，我们会不难发现，只要阵列满足第一个阵列没有幅相误差，，我们就能从中估计出。4.2.4仿真分析仿真实验1:考虑一个由8个各向同性的传感器阵元组成的均匀线性阵列，阵元间距为半个波长，两个独立非高斯信号源分别从两个方向入射到阵列上，阵元上的噪声为高斯白噪声，不考虑阵元的相位误差，只考虑阵元的幅度误差，阵元幅度误差取定为实验给定的一组值[1.0001.0231.2210.8930.9861.1071.0030.998]，快拍数为500，性噪比为snr=30，分别得到了下列几个图：图1无误差图2有幅度误差图3校准后阵元幅度误差1.0001.0231.2210.8930.9861.1071.0030.998校准后得1.0001.0211.2190.8930.9861.1061.0010.996仿真实验2:不考虑阵元的幅度误差，只考虑阵元的相位误差，阵元幅度误差取定为实验给定的一组值[1.000exp(-j*pi/30)exp(j*pi/45)exp(-j*pi/10)exp(j*pi/30)exp(j*pi/30)exp(-j*pi/90)exp(-j*pi/60)]，快拍数为500，性噪比为snr=30，其它条件同实验1，这时可以分别得到了下列几个图：图4无相位误差图5有相位误差图6校准后阵元相位误差1.0000.9945+0.1045i0.9976-0.0698i0.9511+0.3090i0.9945-0.1045i0.9945-0.1045i0.9994+0.0349i0.9986+0.0523i校准后得1.0000.9952+0.1070i0.9983-0.0672i0.9511+0.3136i0.9946-0.0993i0.9955-0.0963i0.9981+0.0436i0.9967+0.0615i仿真实验3:同时考虑阵元幅度相位误差，误差取定为实验给定的一组值[1.0001.023*exp(-j*pi/30)1.221*exp(j*pi/45)0.893*exp(-j*pi/10)0.986*exp(j*pi/30)1.107*exp(j*pi/30)1.003*exp(-j*pi/90)0.998*exp(-j*pi/60)]，快拍数为500，性噪比为snr=30，其它条件同上，得到了以下图形：阵元幅相误差1.0001.0174+0.1069i1.2180-0.0852i0.8493+0.2760i0.9806-0.1031i1.1009-0.1157i1.0024+0.0350i0.9966+0.0522i校准后得1.0001.0197+0.1074i1.2217-0.0823i0.8512+0.2781i0.9880-0.0999i1.1133-0.1119i1.0149+0.0397i1.0135+0.0607i仿真实验4:同时考虑阵元幅度相位误差，误差取定为实验给定的一组值[1.0001.023*exp(-j*pi/30)1.221*exp(j*pi/45)0.893*exp(-j*pi/10)0.986*exp(j*pi/30)1.107*exp(j*pi/30)1.003*exp(-j*pi/90)0.998*exp(-j*pi/60)]，依次使已有阵元缺失，个数分别为1,5,6,7个，快拍数为500，性噪比为snr=30，其它条件同上，其校准结果如下：仿真实验5:同时考虑阵元幅度相位误差，误差取定为实验给定的一组值[1.0001.023*exp(-j*pi/30)1.221*exp(j*pi/45)0.893*exp(-j*pi/10)0.986*exp(j*pi/30)1.107*exp(j*pi/30)1.003*exp(-j*pi/90)0.998*exp(-j*pi/60)]，快拍数为500，性噪比分别为40,35,30,25,20,15,10,5，其它条件同上，得到了以下图形及表格：SNR/dB403530252015105实际平均幅度1.02891.02891.02891.02891.02891.02891.02891.0289校正后平均幅度1.03431.03401.03331.03421.03611.01841.03921.03440.00540.00510.00440.00540.00890.01050.01180.0268实际平均相位0.02840.02840.02840.02840.02840.02840.02840.0284校正后平均相位0.03180.03240.03240.03470.03490.03410.02280.02370.00340.00410.00410.00630.00700.00610.00870.0160结论高阶统计理论与工具的飞速发展，为信号处理注入了新的活力，高阶累积量作为近年发展最为迅速的高阶统计量，已经广泛地用到了信号处理的各个领域。阵列信号处理作为信号处理的一个重要的分支，具有极其重要的理论意义和实际意义，已经广泛利用于雷达、声纳等重要的军事领域。将高阶统计量与阵列信号处理联合起来研究，具有非常重要的意义，既发挥阵列信号处理的长处，又能发挥高阶累积量的优点。针对阵列信号处理的中非常重要的波达方向估计问题，主要考虑了基于观测的特征分解的MUSIC方法，特征分解可以选择基于观测的协方差的特征分解，也可以选择基于观测的四阶累积量的特征分