2024-2025学年高中数学第2章数列2.5第2课时等比数列前n项和的性质及应用学案含解析新人教A版必修5

PAGE9-第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标核心素养1.驾驭等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.驾驭等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)1.通过学习等比数列前n项和公式的函数特征，体现逻辑推理素养．2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培育学生的数学运算素养．1．等比数列前n项和的变式当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，它可以变形为Sn＝－eq\f(a1,1－q)·qn＋eq\f(a1,1－q)，设A＝eq\f(a1,1－q)，上式可写成Sn＝－Aqn＋A．由此可见，特别数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).思索：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？[提示]由题{an}是等比数列，∴3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为eq\f(1,3)，∴k＝－eq\f(1,3).2．等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则eq\f(S偶,S奇)＝q．②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思索：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？[提示]S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.1．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝．15[法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为eq\f(1－24,1－2)＝15.]2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝．2[q3＝eq\f(S6－S3,S3)＝eq\f(27－3,3)＝8，所以q＝2.]3．若数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，则{an}的通项公式是an＝．(－2)n－1[当n＝1时，S1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an－1＋\f(1,3)))＝eq\f(2,3)(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即eq\f(an,an－1)＝－2，所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]4．若等比数列{an}的公比为eq\f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为．80[令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：eq\f(Y,X)＝q＝eq\f(1,3)，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.]等比数列前n项和公式的函数特征应用【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}()A．肯定是等差数列B．肯定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列B[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满意上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴eq\f(an＋1,an)＝a，∴数列{an}是等比数列．]1．已知Sn通过an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通项an，应特殊留意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝．－eq\f(1,3)[明显q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).]等比数列前n项和性质的应用[探究问题]1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－[提示]Sm，S2m－Sm，S3m－S2m∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)·qm＝Sm·q同理S3m－S2m＝Sm·q2m在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么eq\f(S偶,S奇)等于何值？[提示]由等比数列的通项公式可知eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(S奇·q,S奇)＝q.【例2】(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为()A．28B．32C．21D．28或－21(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝．思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．(2)利用eq\f(S偶,S奇)＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．(1)A(2)24[(1)∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则eq\f(S1,S2)＝q＝3，即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴eq\f(4,3)S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”求S4[解]设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）2＝2（14－x），,（14－x）2＝（x－2）（y－14），))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－40))(舍去)，所以S4n＝30.2．(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的eq\f(1,2)，又它的首项为eq\f(1,2)，且中间两项的和为eq\f(3,128)”求此等比数列的项数．[解]设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，eq\f(S偶,S奇)＝q.则q＝eq\f(1,2)，又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝eq\f(3,128)，即a1qn－1＋a1qn＝eq\f(3,128)，又a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝eq\f(3,128)⇒eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,128)⇒n＝6.∴项数为2n＝12.则此等比数列的项数为12.1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则eq\f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q(S偶≠0).2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).分组求和法【例3】已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为eq\f(1,3)的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.思路探究：通过视察，不难发觉，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为eq\f(1,3)的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就简单多了．[解](1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(n))).(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)))＋…＋eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(n)))＝eq\f(3,2)n－eq\f(3,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(n)))＝eq\f(3,4)(2n－1)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1).分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤eq\a\vs4\al([跟进训练])2．求数列2eq\f(1,4)，4eq\f(1,8)，6eq\f(1,16)，…，2n＋eq\f(1,2n＋1)，…的前n项和Sn.[解]Sn＝2eq\f(1,4)＋4eq\f(1,8)＋6eq\f(1,16)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2n＋1)))＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,8)＋…＋\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n（2n＋2）,2)＋eq\f(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝n(n＋1)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2n＋1).1．在利用等比数列前n项和公式时，肯定要对公比q＝1或q≠1作出推断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．2．等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类探讨思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种状况探讨；②探讨等比数列的单调性时应进行探讨：当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0，0<q<1时为递减数列；当q<0时为摇摆数列；当q＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)(q≠1).设A＝eq\f(a1,q－1)，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，eq\f(a1,1－q)当成整体求解．1．推断正误(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2. ()(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1. ()(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列． ()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[提示](1)eq\f(S偶,S奇)＝q＝eq\f(120,240)＝eq\f(1,2)；(2)由等比数列前n项和的特点知eq\f(1,3)a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列知(4)错误．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3A[在等比数