18.2.2菱形的性质与判定(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)（原卷版）

18.2.2菱形的性质与判定菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.题型1：菱形的定义1.在▱ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（）A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD【变式11】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【变式12】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.题型2：菱形的性质求长度2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（）A． B．8 C． D．16【变式21】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（）A．3 B．4 C．2.5 D．5【变式22】如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为．【变式23】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为．题型3：菱形的性质求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【变式31】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．【变式32】如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°题型4：菱形的性质与等面积法4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（）A． B． C．4 D．8【变式41】如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）A．24 B．10 C． D．【变式42】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．题型5：菱形的性质简单综合5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．【变式51】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度数．菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.题型6：菱形的判定（条件选择）6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【变式61】如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD为菱形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD【变式62】已知O为▱ABCD对角线的交点，下列条件能使□ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°题型7：菱形的判定（四边相等）7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．【变式71】如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．（1）求证：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．【变式72】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形GMNH为菱形．题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）8.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．【变式81】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．【变式82】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．【变式91】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接EC，当∠BAC＝90°时，说明四边形ADCE是菱形的理由．【变式92】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．题型10：菱形的判定与性质最值问题10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【变式101】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是．【变式102】如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF＝CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．（1）求证：AC⊥EF；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．题型11：菱形的判定与性质多结论问题11.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正确结论的是（）①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式111】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式112】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC＝CE；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④四边形ABED的面积为AB2．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型12：菱形的判定与性质动点问题12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）当t为何值时，DF⊥ED；（2）当t为何值时，四边形AEFD是菱形？【变式121】如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，P点是底边BC上的一个动点．PD∥AC，PE∥AB．（1）求四边形ADPE的周长；（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形