专题38中点弧模型（原卷版）-2021-2022学年九年级数学（上册下册）常考题专练（北师大版）

专题38圆综合之中点弧模型题型一中点弧与相似【以下【以下五个条件知一推四】点C是的中点AC＝BCOC⊥ABPC平分∠APB(即)点P是优弧AB上一动点，则∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似 【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项题型二中点弧与旋转【模型解读】邻边相等+对角互补旋转相似模型题型三中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3

题型四弧中点与垂径定理知1推5知1推5AD平分∠CABD是的中点DO⊥CB题型五弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例题】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)证CO∥BD(2)AD＝CE(3)证：P是线段AQ的中点(4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB(5)tan∠DBC＝(6)若AD＝8，BD＝6，求AH的值(7)若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长。

【简证】（1）（2）(3)先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD⇒CP•CE＝AP•AD，△APH∼△ABD⇒AP•AD＝AH•AB（5）（6）法一

（6）法二（7）找到对应相似三角形是关键

【巩固训练】一．中点弧与相似（共8小题）1．如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则．2．如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是的中点，交于点，若，求的值．3．如图，已知的半径为2，为直径，为弦．与交于点，将沿着翻折后，点与圆心重合，延长至，使，连接．（1）求的长；（2）求证：是的切线；（3）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点，交于点与、不重合）．问是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．4．如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．（1）证明：；（2）若，求的度数；（3）设交于点，若，是的中点，求的值．5．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，与边交于点，点为的下半圆弧的中点，连接交线段于点．，，．（1）求证：是的切线；（2）求的半径；（3）设点是延长线上的一个动点，连接交于点，交弧于点与、不重合）．试问是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，，以为直径的交轴于、两点．（1）填空：请直接写出的半径、圆心的坐标：；，；（2）如图2，直线与，轴分别交于，两点，且经过圆上一点，，求证：直线是的切线．（3）在（2）的条件下，如图3，点是优弧上的一个动点（不包括、两点），连接、、，交于点．试问，是否存在一个常数，始终满足？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．7．如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）试判断与的位置关系，并说明理由；（3）若，求的值．8．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，（1）求的值及抛物线顶点坐标；（2）过、、的三点的交轴于另一点，连接并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点、，求直线的解析式；（3）在条件（2）下，设为上的动点不与、重合），连接交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．二．中点弧与旋转（共4小题）9．如图，在中，是上的一点，，弦，弦平分交于点，连接，．（1）求半径的长；（2）求证：．10．如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为A． B． C．2 D．11．在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是．12．如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．三．中点弧+内心可得等腰（共6小题）13．如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是A． B． C． D．不确定14．如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于．求证：．15．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长、相交于点，的平分线交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长．16．如图1，在中，，是的外接圆，过作，交于，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．17．如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．18．如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．四．弧中点与垂径定理（共5小题）19．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是A． B． C． D．20．如图，是的直径，点是上一点，连接，，点是的中点，连结并延长交圆于点．（1）求证：．（2）若，，求阴影部分的面积．21．如图，是的直径，，是上两点，，．（1）如图（1），若点是的中点，求的长；（2）如图（2），若点是的中点，求的长．22．如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．23．如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．五．弧中点与垂径模型（三等弧）（共6小题）24．如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求的长．25．如图，已知是的直径，是延长线上一点，切于点，是的弦，，垂足为．（1）求证：．（2）过点作交于点，交于点，连接，若，，求的长．26．如图，内接于半圆，为直径，过点作直线，若．（1）求证：是半圆的切线．（2）设是弧的中点，连接交于，过作于，交于，求证：．（3）在（2）的条件下，若的面积为4.5，且，，试求的面积．27．如图，为的直径，是延长线一点，切于点，是的弦，，垂足为．（1）求证：；（2）求证：；（3）过点作交于点，连接，若