第21章　第9课时　实际问题与一元二次方程(二)(互赠、握手、数字问题) 　教学设计　2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章第9课时实际问题与一元二次方程(二)(互赠、握手、数字问题)教学设计2024—2025学年人教版数学九年级上册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课围绕实际问题与一元二次方程的运用，以互赠、握手、数字问题为情境，引导学生通过建立方程解决现实生活中的问题。结合人教版数学九年级上册第21章第9课时的内容，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。课程设计以课本为核心，通过情境创设、问题引导、合作探讨、巩固练习等环节，帮助学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，提升学生的数学素养。核心素养目标培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，发展学生的逻辑思维与创新意识。通过解决互赠、握手、数字问题，使学生能够建立并运用一元二次方程模型，提升数学抽象与建模素养。同时，通过小组合作探讨，增强学生的团队协作与交流表达，提高学生的数学应用与问题解决素养。教学难点与重点1.教学重点

-掌握一元二次方程的标准形式和求解方法。例如，在解决互赠礼物问题时，学生需要能够将问题转化为求解ax^2+bx+c=0的形式，并运用求根公式进行解答。

-能够根据实际问题建立一元二次方程模型。如握手问题中，学生需要理解每个人握手的次数与总握手次数的关系，并据此列出方程。

-培养学生的数学建模能力。例如，在数字问题中，学生需要能够从题目中提取关键信息，构建方程，从而解决具体问题。

2.教学难点

-理解并运用一元二次方程的根与系数的关系。在解决互赠问题时，学生可能难以理解方程的根如何代表具体的人数或物品数量，需要通过具体例子进行讲解和练习，如设x为某人的互赠对象数，则方程的根即为具体的人数。

-突破方程建模的障碍。在握手问题中，学生可能难以理解为何总握手次数是偶数，以及如何通过方程表示这一关系。教师可以通过实际操作或图示来帮助学生形象地理解握手的对称性，从而简化建模过程。

-解决数字问题中的逆向思维。在数字问题中，学生可能不习惯从结果反推条件，如已知一个两位数的数字之和与数字之积的关系，需要逆向构建方程。教师应通过逐步引导，帮助学生建立逆向思维的解题习惯。教学方法与手段1.教学方法

-采用讲授法，系统地介绍一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用，确保学生掌握必要的理论知识。

-运用讨论法，组织学生针对具体问题进行小组讨论，鼓励他们提出解题思路，共同探讨解决问题的方法。

-实施问题驱动法，通过提出实际问题，引导学生主动发现并解决问题，培养他们的探究精神和解决问题的能力。

2.教学手段

-使用多媒体设备展示一元二次方程的图像，帮助学生直观理解方程的根与图像的关系。

-利用教学软件模拟实际问题的情景，如握手和互赠问题，让学生在虚拟环境中操作，增强实践体验。

-通过在线平台分享优秀解题案例，拓宽学生的解题思路，提高他们的自主学习能力。教学流程1.导入新课（5分钟）

以生活中的简单实例（如人数统计问题）引导学生思考如何用数学方法解决，自然过渡到一元二次方程的应用。提出问题：“如果你和你的朋友互赠礼物，如何计算总共需要准备多少礼物？”通过这个问题激发学生的兴趣，引出一元二次方程在实际生活中的应用。

2.新课讲授（15分钟）

-讲解一元二次方程的基本概念，包括标准形式、根的概念以及求根公式，结合课本中的例子进行演示。

-通过互赠问题，展示如何将实际问题转化为一元二次方程。例如，如果有5个人互赠礼物，每个人送出4份礼物，总共送出了多少份？引导学生列出方程并求解。

-利用握手问题，让学生理解方程的根与实际问题中的具体人数的关系。例如，如果5个人握手，总共会发生多少次握手？引导学生构建方程并解释为什么总握手次数是10。

3.实践活动（10分钟）

-让学生独立解决一个数字问题，如“一个两位数的十位数是个位数的两倍，且它们的和是12，求这个数。”学生需要建立方程并求解。

-通过小组合作，解决一个握手问题的变体，如“一个班级有30名学生，如果每两名学生之间都要握手一次，总共会有多少次握手？”

-让学生尝试解决一个互赠问题的变体，例如，“一个团队有8名成员，他们决定互赠礼物，每个人送出相同数量的礼物，且每个人收到的礼物总数相同，求每个人送出了多少份礼物。”

4.学生小组讨论（10分钟）

-让学生讨论以下问题：“在解决握手问题时，为什么总握手次数是偶数？”学生需要通过讨论理解握手的对称性。

-讨论如何将一个复杂的实际问题简化为一元二次方程，例如，将一个涉及多个变量的问题转化为只含有一个变量的方程。

-让学生分享在解决数字问题时遇到的问题和解决方法，讨论如何从结果反推方程的建立。

5.总结回顾（5分钟）

回顾本节课的主要内容，强调一元二次方程在实际问题中的应用，总结解决互赠、握手、数字问题的方法和步骤。通过提问的方式检查学生对课程内容的理解，例如：“在解决互赠问题时，我们首先需要做什么？如何确保我们的方程是正确的？”确保学生能够将所学知识应用到实际问题中。教学资源拓展1.拓展资源

-一元二次方程的扩展：介绍一元二次方程的其他解法，如配方法、因式分解法等，以及它们在实际问题中的应用。

-实际问题案例：收集更多类型的实际问题，如投资问题、面积问题、速度问题等，这些问题都可以通过一元二次方程来解决。

-数学建模：介绍如何将现实生活中的复杂问题简化为一元二次方程模型，以及如何从实际问题中提取关键信息来建立方程。

-方程的历史背景：介绍一元二次方程在数学发展史上的地位，以及历史上数学家对方程求解方法的贡献。

-数学思维训练：提供一些数学思维训练题，如逻辑推理题、数学谜题等，这些题目能够帮助学生锻炼数学思维和解决问题的能力。

2.拓展建议

-鼓励学生在课后自主搜索相关的实际问题，尝试用一元二次方程解决，并分享解题过程和经验。

-建议学生阅读数学历史书籍或文章，了解一元二次方程的发展过程，增加对数学学科的兴趣。

-建议学生参与数学竞赛或挑战活动，通过解决更复杂的问题来提高自己的数学能力。

-推荐学生阅读数学杂志或期刊，特别是那些包含实际问题解决的专栏，以获得更多的数学知识和解题灵感。

-鼓励学生组建学习小组，定期讨论和解决一元二次方程相关的实际问题，相互学习和帮助。

-建议学生利用网络资源，如在线教育平台和数学论坛，与其他学生和教师交流一元二次方程的学习心得和解题技巧。

-提议学生在日常生活中注意观察，寻找可以用一元二次方程来解决的问题，将数学知识与实际生活紧密结合。课堂小结，当堂检测课堂小结（5分钟）

在课堂的最后，教师应引导学生回顾本节课的主要内容和学习目标。首先，教师可以简要复述一元二次方程在实际问题中的应用，包括互赠、握手和数字问题。接着，强调一元二次方程的建立和解法，以及如何从实际问题中抽象出数学模型。最后，教师可以总结学生在课堂上的表现，指出他们在理解和应用一元二次方程方面的进步，以及仍需改进的地方。

具体小结内容如下：

-回顾一元二次方程的标准形式和求解方法。

-强调在实际问题中建立方程的步骤和注意事项。

-分享学生在课堂讨论中的亮点和不足，鼓励他们在课后继续努力。

-提醒学生复习课本相关章节，巩固所学知识。

当堂检测（10分钟）

为了检验学生对本节课内容的掌握程度，教师可以设计一些当堂检测题目。这些题目应涵盖本节课的重点和难点，旨在帮助学生巩固所学知识，并能够立即反馈学习效果。

1.选择题：给出一个握手问题的情境，让学生选择正确的方程形式。

-一个班级有20名学生，每两名学生之间都要握手一次，请问总共会发生多少次握手？

A.190次B.210次C.220次D.240次

2.填空题：让学生完成一个数字问题的方程。

-一个两位数的个位数是十位数的3倍，且这个两位数是18的倍数，求这个数。（答案：72）

3.解答题：给出一个互赠问题的情境，要求学生建立方程并求解。

-有6个人互赠礼物，每个人送出5份礼物，求每个人收到多少份礼物。

4.简答题：让学生解释一元二次方程的根在实际问题中的意义。

-当我们解决握手问题时，方程的根代表什么？内容逻辑关系①一元二次方程的基本概念

-知识点：一元二次方程的定义、标准形式、根的概念。

-词：一元、二次、方程、标准形式、解、根。

-句：一元二次方程的标准形式是ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

②实际问题与一元二次方程的关联

-知识点：如何从实际问题中提取信息，建立一元二次方程模型。

-词：实际、问题、信息、提取、建立、模型。

-句：解决实际问题时，首先要识别关键信息，然后根据信息建立相应的一元二次方程。

③一元二次方程的求解方法

-知识点：求根公式、配方法、因式分解法等。

-词：求根、公式、配方法、因式分解、解法。

-句：一元二次方程可以通过求根公式或配方法、因式分解法来求解，具体方法取决于方程的特点。教学反思与改进在完成本节课的教学后，我进行了一系列的反思活动，以评估教学效果并识别需要改进的地方。以下是我的反思和改进措施：

在设计反思活动时，我首先回顾了学生的学习反馈。通过课堂问答和学生的作业，我发现大部分学生能够理解一元二次方程的基本概念，但在将实际问题转化为一元二次方程时，一些学生仍然感到困难。我也注意到，在小组讨论环节，一些学生参与度不高，可能是因为他们对于如何开始解题感到迷茫。

针对这些情况，我制定了以下改进措施：

1.加强实际问题的解析

在未来的教学中，我会更多地使用实际生活中的案例来引导学生理解一元二次方程的应用。我会详细讲解如何从实际问题中提取关键信息，以及如何构建方程。例如，在讲解握手问题时，我会更清晰地解释为什么总握手次数是偶数，以及如何通过方程表示这一关系。

2.提供更多的示例和练习

我会准备更多的示例和练习题，以帮助学生巩固一元二次方程的建立和解法。这些练习将包括不同难度的问题，以满足不同层次学生的需求。我还会鼓励学生在课堂上分享他们的解题过程，以便其他学生可以从他们的方法中学习。

3.改进小组讨论环节

为了提高小组讨论的效率，我会提前为学生提供一些引导问题，帮助他们开始讨论。我也会在课堂上更频繁地走动，观察小组讨论的情况，确保每个学生都参与其中。此外，我会考虑在小组讨论后增加一个小组汇报环节，让每个小组有机会分享他们的讨论成果。

4.强化数学思维训练

我会增加一些数学思维训练的环节，如逻辑推理题和数学谜题，以提高学生的逻辑思维和问题解决能力。这些活动不仅能够激发学生的兴趣，还能够帮助他们更好地理解数学概念。

5.定期复习和反馈

为了确保学生能够长期记住所学的知识，我会定期安排复习课，并让学生进行自我评估。我还会收集学生的反馈，了解他们在学习过程中遇到的困难，并根据反馈调整教学方法。课后作业1.数字问题

已知一个两位数的个位数是十位数的平方，且这个两位数大于20。求这个数。

解答：设十位数为x，则个位数为x^2。根据题意，有10x+x^2>20。解这个不等式，得到x>2。由于x是个位数，所以x的取值范围是3到9。通过尝试，发现只有x=3时，个位数x^2=9，得到的两位数是39，满足条件。

2.互赠问题

一个小组有8名成员，他们决定互赠礼物，每个人送出相同数量的礼物，且每个人收到的礼物总数相同。求每个人送出了多少份礼物。

解答：设每个人送出的礼物数为x。根据题意，每个人送出的礼物数乘以人数等于每个人收到的礼物数乘以人数，即8x=8x。这个方程的解是x=7，所以每个人送出了7份礼物。

3.握手问题

一个班级有25名学生，每两名学生之间都要握手一次。求总共会发生多少次握手？

解答：设学生人数为n，则握手的总次数为n(n-1)/2。将n=25代入公式，得到握手的总次数为25(25-1)/2=300次。

4.面积问题

一个矩形的长是宽的2倍，且矩形的面积是120平方厘米。求矩形的宽和长。

解答：设矩形的宽为x厘米，则长为2x厘米。根据题意，有x(