数学同步训练：不等式的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.4不等式的实际应用5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.一元二次不等式ax2+2x—1有两个不相等的实数根,则a的取值范围是（)A.a＞1B。a＜1且a≠0C。a＜-1D。a＞-1且a≠0解析：一元二次不等式有两个不等的实数根，其判别式Δ=4+4a＞0，即a＞-1且二次项系数不能为0，即a≠0。答案：D2。某企业生产一种产品x（百件）件的成本为(3x-3）万元,销售总收入为（2x2-5）万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品数为_____________(百件).解析:要不亏本只需收入不小于成本,即2x2-5-（3x-3）≥0,即2x2-3x—2≥0,解之得x≤或x≥2，而产品件数不能是负数，所以，x的最小值为2。答案：23.已知不等式ax2+bx—2＞0的解集为（1，2)，那么实数a=__________，b=__________.解析：根据不等式解集的特点可知a＜0，且方程ax2+bx—2=0的两个实数根分别为1和2,代入方程或者利用根与系数的关系即可求出a，b的值.答案：-134.不等式x2—ax+b＜0的解集为｛x｜2＜x＜3｝，则a=__________，b=__________。解析：根据条件2和3是方程x2-ax+b=0的两个实根,由根与系数的关系可得即a=5,b=6.答案：5610分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.关于x的一元二次不等式x2-ax+2a=0有一个正根和一个负根,那么实数a的取值范围是（)A。a＜0B.a＞0C.a＞1解析：令函数f（x）=x2—ax+2a,则f（x）与x轴的两个交点分别在y轴的两侧,结合二次函数的图象可知，应有f（0）=2a＜0，即a＜0.答案：A2。乘某种出租车,行程不足4千米时，车票10.40元,行程不足16千米时，大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0。8元，计程器每0.5千米计一次价.例如当行驶路程x（千米）满足12≤x≤12。5时，按12。5千米计价;当12。5≤x＜13时，按13千米计价。若某人乘车从A到B共付费28元，则从A地到B地行驶的路程m千米满足（)A.10.5≤m＜11B。11≤m＜11。5C.14.5≤m＜15D。15≤m＜15。5解析：可以根据条件首先判断出m的大致范围，然后代入验证即可。当m=15时，付费10。40+（15—4）×2×0。8元=28元。答案：D3。建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价1m2分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为解析：设池底一边长为xm，水池的总造价为y元，则依题意得y=4×120+2（2x+2×)×80=480+320(x+)（x＞0）.因为x+≥=4，当且仅当x=，即x=2时,取等号。所以,y的最小值为1760。答案：17604。已知直线l过点P（2,1）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为___________.解析：设直线l为=1（a＞0，b＞0），则有关系=1．对=1应用二元均值不等式,得1=≥，即ab≥8．于是,△OAB面积为S=ab≥4．从而应填4．答案：45.定义域为［-1,1］的函数f（x)=kx+2k+1，其值域既有正数也有负数,则实数k的取值范围是______________.解析:由已知可得f(x)=kx+2k+1是单调函数,其值域既有正数也有负数，应有f（—1）·f(1）＜0且k≠0，即（k+1)(3k+1)＜0且k≠0。所以＜k＜—1.答案：＜k＜—16.若函数f(x）=的定义域为R,求实数k的取值范围。解:函数的定义域为R等价于函数y=kx2-6kx+k+8≥0对于一切x∈R都成立。(1)k=0时，y=8≥0恒成立;(2）当k≠0时，解之得0＜k≤1,所以0≤k≤1.30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1。不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|＜x＜｝，则a—b等于（)A。—4B.14C。-10解析:由ax2+bx+2＞0的解集是{x｜＜x＜｝，知、是方程ax2+bx+2=0的两根，且a＜0，由韦达定理得：∴∴a—b=-10.答案：C2。如图甲所示,P是球O的直径AB上的动点,PA=x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y,则y=f(x）的大致图象是图乙中的（）图甲图乙解析：不妨设球的半径为R（常数).∵PA=x，∴OP=R-x.∴截面圆的半径r=。∴y=πr2=2πRx-πx2（0≤x≤R）。∴选A。答案:A3.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下关系：y=-2x2+220x。若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量为(）A.41—49B。51—59C.61—69解析:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得—2x2+220x＞6000。移项整理，得x2—110x+3000＜0.因为Δ=100＞0,所以方程x2—110x+3000=0有两个实数根x1=50，x2=60.由二次函数y=x2-110x+3000的图象得不等式的解为50＜x＜60。因为x只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。答案：B4.若实数a、b满足a2+b2=1,且c＜a+b恒成立,则实数c的取值范围是_____________.解析：只需使c小于a+b的最小值，根据条件设a=cosθ，b=sinθ，则a+b=cosθ+sinθ=sin（θ+），所以a+b的最小值为，故只需c＜。答案：（—∞，）5。在△ABC中，三边a、b、c的对角分别为A、B、C,若2b=a+c，则角B的取值范围是___________。解析：因为2b=a+c，所以b=,所以,cosB=，所以，0＜B≤。答案:0＜B≤6。某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=_____________吨.解析:某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x万元，·4+4x≥160，当=4x，即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。答案：207.某种汽车购车时费用为10万元,每年保险、养路、汽油费用为9000元；汽车的维修费各年为：第一年2000元,第二年4000元,第三年6000元,以每年2000元的增量递增,问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用为最少）?(计算总维修费可用:×年数）解：设使用n年平均费用为y万元，则y=+1≥2+1=3(万元)。当且仅当，即n=10时等号成立.答：最多使用10年报废最合算。8。某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?（2）当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解:(1）当每辆车的月租金定为3600元时，租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆.(2)设每辆车的租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x）=（100-）（x—150)-×50,整理得f(x）=+162x-21000=（x—4050)2+307050。所以,当x=4050时，f（x)最大,最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大,最大收益为307050元。9.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800.蔬菜的种植面积S=(a—4）(b—2）=ab—4b—2a+8=808-2(a+2b）.所以S≤808—=648(m2).当a=2b,即a=40（m）,b=20（m）时，S最大值=648（m2）答：当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m210。（2006高考湖南卷,理20)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度〔含污物体的清洁度定义为:〕为0.8,要求清洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲:一次清洗；方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a（1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是（x＞a-1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8＜c＜0。99）是该物体初次清洗后的清洁度。(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(2)若采用方案乙，当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响.解：(1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0.99,解得x=19.由c=0。95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程：=0.99，解得y=4a，故z=4a+3。即两种方案的用水量分别为19与4a+3。因为当1≤a≤3时，x-z=4（4-a）＞0,即x＞z,故方案乙的用水量较少。（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（1）得x=，y=a（99-100c)。(＊）于