数学同步训练：正弦函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3三角函数的图象与性质1．3。1正弦函数的图象与性质知识点一:正弦函数的图象1．正弦函数y＝sinx（x∈R)的图象关于______对称．A．y轴B．直线x＝eq\f（π，2)C．直线x＝πD．直线y＝02．函数f（x)＝x－sinx零点的个数为A．1B．2C．33．函数y＝sinx，x∈R的对称中心为__________．知识点二：正弦函数的性质4．下列四个函数中，为周期函数的是A．y＝3sinxB．y＝3xC．y＝sin｜x|（x∈R)D．y＝sineq\f（1，x）（x∈R且x≠0）5．函数y＝sin（x＋eq\f(π，4))在下列哪个区间上是递减的A．［eq\f（π,4),eq\f(5π,4)]B．［－π,0］C．［－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4）］D．[－eq\f(π，2)，eq\f(π，2)]6．函数f（x）＝cos（πx－eq\f（π,2）)－1,则下列命题正确的是A．f（x）是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数D．f（x)是周期为2的非奇非偶函数7．（2010江西高考,文6）函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为A．［－1，1]B．[－eq\f（5，4），－1]C．［－eq\f(5,4)，1]D．[－1，eq\f（5，4）］8．函数y＝eq\r（－sin\f(x,3））的定义域是__________．9．求使下列函数取得最小值的自变量x的集合，并写出最小值．(1）y＝－2sinx，x∈R；(2）y＝－2＋sineq\f（x，3），x∈R.知识点三:正弦型函数10．(2010湖北高考，文2)函数f(x)＝eq\r（3)sin(eq\f(x，2）－eq\f(π,4）），x∈R的最小正周期为A.eq\f(π，2）B．πC．2πD．4π11．（2010四川高考,理6)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动eq\f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是A．y＝sin(2x－eq\f(π,10））B．y＝sin（2x－eq\f（π，5）)C．y＝sin（eq\f(1，2)x－eq\f(π，10)）D．y＝sin（eq\f（1，2）x－eq\f(π,20）)12．用五点法作出函数y＝2sin(x－eq\f(π，3))＋3的图象,并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．能力点一:函数图象的应用13．已知简谐运动f（x)＝2sin(eq\f（π,3）x＋φ）（|φ|〈eq\f(π，2））的图象经过点(0,1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为A．T＝6，φ＝eq\f（π，6）B．T＝6,φ＝eq\f（π，3)C．T＝6π，φ＝eq\f(π,6)D．T＝6π，φ＝eq\f(π，3）14．(2010重庆高考，理6）已知函数y＝sin(ωx＋φ）(ω〉0，｜φ|<eq\f(π，2)）的部分图象如图所示,则A．ω＝1，φ＝eq\f（π，6）B．ω＝1，φ＝－eq\f（π，6）C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2,φ＝－eq\f（π,6)15．（2010江西高考,文12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin（x＋eq\f（π，6））,y＝sin（x－eq\f(π,3）)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是16．已知函数f（x）＝Asin(ωx＋φ)（A〉0,ω〉0)的图象如图．(1）求出f（x）的解析式;(2）若g(x)与f(x)的图象关于x＝2对称，求g（x)的解析式．能力点二：函数性质的应用17．把函数y＝sinx（x∈R)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度,再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是A．y＝sin（2x－eq\f（π，3）），x∈RB．y＝sin(eq\f（x，2)＋eq\f(π,6)），x∈RC．y＝sin(2x＋eq\f（π，3)),x∈RD．y＝sin(2x＋eq\f（2π,3）),x∈R18．函数f（x）＝（eq\f(1，2)）x－sinx在区间［0,2π]上的零点个数为A．1B．2C．319．函数f(x）＝sin(eq\f（π，4）－2x)的单调增区间为__________。20．方程sinx＝lgx的实根有__________个．21．求函数y＝sin2x－sinx＋1在x∈[eq\f（π，3)，eq\f（3π，4)］上的最大值和最小值．22．（2010广东高考，文16)设函数f(x)＝3sin（ωx＋eq\f(π,6）），ω＞0,x∈(－∞,＋∞)，且以eq\f（π,2）为最小正周期．（1)求f(0）；(2）求f（x)的解析式；(3）已知f(eq\f(α，4）＋eq\f(π，12）)＝eq\f(9,5)，求sinα的值．23．已知函数y＝eq\f（1,2)sinx＋eq\f（1,2)|sinx|。(1)画出函数的简图．（2)这个函数是周期函数吗?如果是，求出它的最小正周期．（3)指出这个函数的单调增区间．24．已知曲线y＝Asin（ωx＋φ)（A>0，ω〉0）上的一个最高点的坐标为(eq\f(π,8),eq\r(2）），且此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（eq\f（3π，8）,0）．若φ∈（－eq\f（π，2），eq\f（π,2）），（1）试求这条曲线的函数表达式;(2)用“五点法"画出(1）中函数在［0，π]上的图象．答案与解析基础巩固1．B2。A3.(kπ，0)，k∈Z4.A5．Ay＝sin(x＋eq\f（π,4)）的递减区间是2kπ＋eq\f(π，2）≤x＋eq\f(π,4）≤2kπ＋eq\f（3π，2），k∈Z,即2kπ＋eq\f（π，4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π，4），k∈Z，∴选项A符合要求．6．D∵f（x)＝cos(πx－eq\f（π，2））－1＝sinπx－1，∴周期T＝eq\f(2π，π）＝2.又∵f（－x）≠±f（x)，∴f(x)为非奇非偶函数．7．C令t＝sinx，则t∈[－1,1］，y＝t2＋t－1＝（t＋eq\f(1,2）)2－eq\f（5,4），t∈［－1，1］，∴y∈[－eq\f(5，4）,1]．8．［6kπ－3π，6kπ］，k∈Z9．解:(1）因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）时有最大值1，所以对于y＝－2sinx,x∈R,当x＝2kπ＋eq\f（π,2)（k∈Z)时有最小值－2,x的集合为｛x|x＝2kπ＋eq\f（π,2),k∈Z}．(2)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ－eq\f（π,2)(k∈Z)时有最小值－1，把eq\f（x,3）当作一个整体，相当于上式中的x，则有当eq\f(x，3)＝2kπ－eq\f(π,2)（k∈Z)时，y＝－2＋sineq\f（x,3)有最小值，即当x＝6kπ－eq\f（3π,2)(k∈Z）时，y＝－2＋sineq\f(x,3）,x∈R有最小值－3，x的集合为{x｜x＝6kπ－eq\f（3π,2），k∈Z}．10．D11．C函数y＝sinx的图象上的点向右平行移动eq\f（π,10)个单位长度可得函数y＝sin（x－eq\f（π，10)）的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin（eq\f（1，2)x－eq\f(π，10））的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin（eq\f（1，2）x－eq\f(π,10））．12．解：(1）列表：x－eq\f(π,3）0eq\f（π,2）πeq\f（3π，2）2πxeq\f(π,3)eq\f(5π，6)eq\f(4π，3)eq\f（11π,6）eq\f（7π,3)y35313(2)描点．(3)作图，如下图．周期T＝2π，频率f＝eq\f（1，T）＝eq\f(1，2π），相位为x－eq\f（π，3），初相为－eq\f(π，3），最大值为5,最小值为1,函数的减区间为［2kπ＋eq\f（5π，6）,2kπ＋eq\f（11π,6)],k∈Z，增区间为[2kπ－eq\f(π,6)，2kπ＋eq\f(5π，6)]，k∈Z。将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin（x－eq\f(π,3）)＋3的图象．能力提升13．A14．D由图象知T＝π,∴ω＝2.∴y＝sin(2x＋φ）．又由于y＝sin(2x＋φ）图象过点(eq\f（π,3),1），∴sin(eq\f(2π，3)＋φ)＝1.∴eq\f(2π,3）＋φ＝2kπ＋eq\f（π,2），∴φ＝2kπ－eq\f（π,6)（k∈Z）．∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f（π,6）。15．C函数y＝sin2x取最小值－1时x的值为x＝kπ－eq\f(π,4)（k∈Z），y＝sin(x＋eq\f（π,6))取最小值－1时x的值为x＝2kπ－eq\f（2π，3）(k∈Z），y＝sin(x－eq\f(π，3))取最小值－1时x的值为x＝2kπ－eq\f(π,6)（k∈Z），因此三个函数中没有两个函数有相同的最低点，所以C错误．16．解：(1）由图知A＝2。周期T＝7－(－1)＝8，∴eq\f（2π,ω）＝8,ω＝eq\f(π,4）.∵点（1,2)在图象上，∴2＝2sin(eq\f（π,4)·1＋φ)，即sin(φ＋eq\f(π，4）)＝1。∴φ＝eq\f(π,4）.∴f(x)的解析式为f(x）＝2sin(eq\f(π,4）x＋eq\f（π，4)）．（2）在y＝g(x)的图象上任取一点P(x,y)，则点P关于x＝2的对称点P′(4－x，y)在y＝f（x）的图象上，∴y＝2sin［eq\f(π，4)·(4－x）＋eq\f(π，4)］，即y＝2sin(eq\f(5π,4）－eq\f(π,4）x）．∴g(x）的解析式为g（x）＝2sin（eq\f（5π,4)－eq\f(π,4）x）．17．C18．B19．［eq\f（3π，8）＋kπ，eq\f(7π，8）＋kπ］，k∈Zf(x）＝sin（eq\f(π,4）－2x）＝－sin(2x－eq\f（π,4）），由eq\f（π，2）＋2kπ≤2x－eq\f(π，4）≤eq\f(3π,2）＋2kπ,k∈Z,得eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f（7π,8)＋kπ,k∈Z。20．321．解：y＝sin2x－sinx＋1＝（sinx－eq\f（1,2)）2＋eq\f（3,4）。∵x∈[eq\f（π，3），eq\f(3π，4)]，∴由正弦函数的图象知eq\f（\r（2)，2)≤sinx≤1。而函数y＝（t－eq\f（1,2）)2＋eq\f(3,4）在［eq\f（\r(2),2)，1］上单调递增，∴当sinx＝eq\f(\r(2)，2)时，f(x)min＝eq\f(3－\r(2）,2）；当sinx＝1时，f（x）max＝1.22．解：（1)由题设可知f（0)＝3sineq\f(π，6）＝eq\f（3，2）。（2)∵f(x)的最小正周期为eq\f（π,2)，∴ω＝eq\f（2π,\f（π,2)）＝4.∴f（x）＝3sin（4x＋eq\f（π，3)）．(3)由f（eq\f（α,4)＋eq\f（π，12)）＝3sin(α＋eq\f(π，3）＋eq\f(π,6））＝3cosα＝eq\f（9,5)，∴cosα＝eq\f(3，5）.∴sinα＝±eq\r(1－cos2α）＝±eq\f(4，5).拓展探究23．解:（1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f（1,2）｜sinx|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx，，0))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈［2kπ，2kπ＋π］k∈Z，，x∈[2kπ－π，2kπ］k∈Z.))函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π。(3)由图象知函数的单调增区间为［2kπ，2kπ＋eq\f（π，2)］(k∈Z）．24．解：(1）依题意,A＝eq\r（2），T＝4×(eq\f（3π,8）－eq\f（π，8）)＝π.∵T＝eq\f(2π，