3.3 抛物线-(选择性必修第一册) (教师版)

抛物线1定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.如图，P在抛物线上，2几何性质 标准方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)图象顶点(0,0)对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(F(−F(0,F(0,−准线方程x=−x=y=−y=离心率e=13一些常见结论①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A,B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即|AB|=2p②若A、B在抛物线y2=2px上，F【题型一】抛物线的定义与方程【典题1】与圆x－22+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是【解析】由圆x－22+y2=1可得：圆心F(2，设所求动圆圆心为P(x,y)过点P作PM⊥直线l：x+1=0，则|PF|－r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L：x=－2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F(2,0)为焦点，定直线L：x=－2是准线．∴抛物线的方程为：y2∴所求轨迹方程是y2【点拨】①直线l与圆O相切⇔圆心O到直线l的距离d=r;②根据抛物线定义求方程，要确定好焦点与准线.巩固练习1(★)到直线x=－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是()A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线【答案】C【解析】动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x=－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，故选：C．2(★★)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是．【答案】y2【解析】∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1∴点P到直线x=－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x=－4为准线的抛物线，∴p=8，∴P的轨迹方程为y2故答案为：y2【题型二】抛物线的图象及其性质【典题1】设抛物线C：y2=8x的焦点为F，A是C上的一点且在第一象限，以F为圆心，以FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且【解析】∵A，F，B三点共线，∴AB由抛物线定义知|AD|=|AF|=1又抛物线C：y2=8x∴在Rt△ADB中，可得|AD|=4|OF|=8．设A的横坐标为x0，则|AD|=x【点拨】①在抛物线中，遇到过焦点的直线，特别要注意抛物线定义的运用；②若A、B在抛物线y2=2px上，F【典题2】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M，N在抛物线上，且M，N，F三点共线点【解析】如图，分别过M，N作ME，由PN→=由抛物线定义可知NF=NG再由△PNG∽△PME，得∴MF=2NF，则NF=1∴p故答案为：23【点拨】①本题主要利用了相似三角形的性质(A字型)与抛物线的定义得到各线段的比值关系，平时解题中要多观察图象；②题中线段过多，显得有些乱，其实在考试的非解答题中，遇到这类似问题，由于题目中没出现任一线段长度，确定p|MF|=FKME后，可设某一线段等于一具体数值，比如本题设PN=1(其实令【典题3】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点【解析】如图所示：连接MF，∵y2=4x的焦点为F，准线为∴FH=2∵M，N分别为PQ∵PQ垂直l于点Q∴四边形MQFR是平行四边形，∵PQ=PF，∠∴MF⊥PQ，∴四边形MQHF是矩形，∴FR=MQ=2，故答案为：2．【点拨】①△PQF为等边三角形⇒三线合一：MF⊥PQ②M，N分别为PQ，【典题4】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，其准线为l，过F的直线交抛物线于M，N两点，作MS⊥l，NT⊥l，垂足分别为S，T．若A．y2=±x B．y2=±2x C．【解析】如图所示，过点N作NH∥l交直线MS于点H，交x轴于点P设点M(x当焦点在x轴的正半轴时，设抛物线C：y∵MF→∴∴－y1=3由①②可解得x1∴y∴∴S△STF=此时抛物线C的方程为y2同理，当焦点在x轴的负半轴时，可得p=－2，此时抛物线C的方程为y2综上所述，抛物线C的方程为y2故选：D．【点拨】①本题处理向量MF→②遇到“△STF的面积为833”，想到把△STF的面积用p表示，从而求出p;关键在于ST=y1【典题5】已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设∠①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在点P，满足其中正确结论的序号是．【解析】①由于对称性，不妨设点P在第一象限，设点P(m,n)，则n当直线PK与抛物线相切时，可使β取得最大值．可设直线PK方程为y=k(x+p由y=k(x+p2则∆=k∵β是锐角，∴tanβ=k=1⇒β=π4②过P作PQ⊥x轴于点Q，在Rt△PQK中在Rt△PQF中，∴tanβ=sinθ，即②③在△PKF中，由正弦定理知，若α=2β，则m+p故存在点P符合题意，即③正确．故答案为：①②③．【点拨】第一问是通过几何法确定直线PK与抛物线相切时，可使β取得最大值；第二问，涉及到三角函数tanβ、sinθ之类的，可想到构造直角三角形；第三问，是否存在点P，用了假设法确定m是否在自身范围之内，即m>0与否.巩固练习1(★★)【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(xA．x1x2=1C．|PQ|=254 D．l1与【答案】ABC【解析】如图所示，由题意可得，点P的坐标为(14,1)∴x1x∴kPQ=由抛物线的定义可知，|PQ|=x1∵l1与∴l1与l2之间的距离d=|故选：ABC．2(★★)如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若A．2 B．32 C．3 D．6【答案】B【解析】过A，B|BC|=2|BF|=2BM，∠MCB=30°所以F为AC的中点，故选：B．3(★★★)【多选题】已知抛物线x2=1A．点F的坐标为(18，B．若直线MN过点F，则xC．若MF→=λNF→，D．若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x【答案】BCD【解析】抛物线x2=12y的焦点为F根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2若MF→=λNF→，则|MN|抛物线x2=12过点M、N、P分别作准线的垂线MM'则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|所以|PP'|=所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP'|−18=故选：BCD．4(★★)已知点A(0,4)，抛物线C：x2=2py(0<p<4)的准线为1，点P在C上，作PH⊥l于H，【答案】x2【解析】设抛物线的焦点为F(0,p2)，∵|PH|=|PA|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q则Q为AF的中点，∵∠APH=120°，∴∴|PQ|=3∴点P的坐标为(∵点P在抛物线C上，化简得5p2+112p－192=0∴抛物线方程为x25(★★★)如图，点A是曲线y=x2+2(y≤2)上的任意一点，P(0,－2)，Q(0,2)，射线QA交曲线y=18x2于B点，BC垂直于直线y=3A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确【答案】A【解析】曲线y=x2为双曲线y22−x2由双曲线定义知，||AP|－|AQ||=22，又曲线y=18x2即抛物线x过B作BD垂直直线y=－2于D由抛物线定义，知|QB|+|BC|=|BD|+|BC|=|CD|=5，②故选：A．【题型三】最值问题【典题1】如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x－22+y2=16的实线部分上运动，且【解析】抛物线的准线l：x=－2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|=xA圆x－22+y2=16∴△FAB的周长=由抛物线y2=8x及圆x－22∴【点拨】△FAB的周长是由点B确定的，结合抛物线的定义利用几何法把△FAB周长用xB表示，求出x【典题2】已知O是坐标原点，A，B是抛物线y=x2A．|OA|∙|OB|≥2B．|OA|+|OB|≥2C．直线AB过抛物线y=x2的焦点 D．O到直线AB【解析】设A(∵OA⊥OB，∴OA∴OA∴1+x∴OA=1+当且仅当x12=1x又|OA|+|OB|≥2|OA|⋅|OB|≥22，∵直线AB的斜率为x∴直线AB的方程为：y－x当x=0时，y=1，焦点坐标(0,14)不满足直线AB原点(0,0)到直线AB：(x1−故选项D正确，故选：ABD．【点拨】①题中垂直关系相当了向量数量积为0，②本题求最值用了基本不等式a+b≥2ab【典题3】若点P是曲线C1：y2=16x上的动点，点Q是曲线C2：x－42+y2=9【解析】设P的坐标(x,y),由抛物线的方程y2可得焦点F(4,0),恰好为圆：x－42+因为P在抛物线上，所以|OP|=|PQ|的最小值为P到圆心的距离减半径3，即P到准线的距离减3(P、Q、F三点共线时取到)，所以|PQ|=x+4－3=x+1，所以|设t=x+1，则x=t－1，所以PQ当t=157，即x=87所以|PQOP|故答案为：158【点拨】求PQOP的最小值，而它是由两个动点P、Q(1)可先假设点P是定点，思考点Q在哪里PQOP取到最小值(此时两动点问题变成了一动点问题)，而P是定点，OP是确定的，由抛物线定义可知PQmin(2)接着再思考点P在哪里PQOP取到最小值，即思考x为何值时，巩固练习1(★★)已知点Q(22,0)及抛物线y=x24上一动点P(【答案】2【解析】用抛物线的定义：焦点F(0,1)，准线设P到准线的距离为dy0(当且仅当F、Q、P共线时取等号)故y0+|PQ|的最小值是故答案为：2．2(★★)若点A为抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|=6，点P为直线x=－1【答案】221【解析】由题意可知，由抛物线的定义可知，代入抛物线方程，得yA2=20，设点F关于x=－1的对称点为E，则∴|PA|+|PF|=|PA|+|PE|≥|AE|=(5+33(★★★)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，M(x1,y1【答案】π3【解析】∵抛物线方程为：y2=4x设P(m,n)(m>0)，则Q(0,n),∴PQ∴当m=12时，4(★★★)已知点M(2,0)，点P在曲线y2=4x上运动，点F为抛物线的焦点，则|PM【答案】4【解析】设P(x,y)，可得|PM当且仅当x=2时取得最小值4．5(★★★)已知抛物线C方程为x2=4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交【答案】[2,+∞)【解析】由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则设A(x1，x12∴x由于抛物线C也是函数y=14x2的图象，且y'=1令y=0，解得x=12同理可得，∴AP=116∵k2≥