2.1一元二次函数、方程和不等式-(必修第一册) (教师版)

一元二次函数、方程和不等式1不等式关系与不等式①不等式的性质(1)传递性：a>b,b>c⇒a>c；(2)加法法则：a>b⇒a+c>b+c,a>b,c>d⇒a+c>b+d；(3)乘法法则：a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒ac<bc；(4)倒数法则：a>b,ab>0⇒1(5)乘方法则：a>b>0⇒a②比较a,b大小(1)作差法(a−b与0的比较)a−b>0→a>b;a−b=0→a=b;a−b<0→a<b(2)作商法(ab与1比较)a2一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)函数、方程、表达式∆>0∆=0∆<0二次函数y=ax2+bx+c一元二次方程ax有两个相异实数根x(有两个相等实数根x没有实数根一元二次不等式ax{x|x<{x|x≠−R一元二次不等式ax{x|∅∅②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.3一元二次不等式的应用(1)分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于ab>0与ab>0均意味a,b同号，故abab<0与ab<0均意味a,b异号，故ab可得①fxg(x)>0⇒fxg比如x−1x−2>0⇒x−1②fxg(x)<0⇒fx比如x−1x−2<0⇒(2)一元高次不等式的解法①一元高次不等式通常先进行因式分解，化为x−x1x−x2Eg解x+1x−2x−3x−4解x+1x−22x−3【题型一】不等式性质的运用【典题1】实数a、b、c满足a>b>c，则下列不等式正确的是()A．a+b>cB．1a−c<1b−c【解析】∵a>b>c，∴A．a+b>c错误，比如−4>−5>−6，得出−4+−5B．a−c>b−c>0，∴1a−c<C．a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；D．∵ab2−a2∴ab2故选：B．【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.【典题2】已知a>0，试比较a2+1a【解析】a2(i)当a>1时，−2a<0，a2−1>0，则−2aa2−1(ii)当0<a<1时，−2a<0,a2−1<0，则−2a综上可得a>1时，a2+1a2−1【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较aabb与aba+b2【典题3】已知c>1，a=c+1A．a<bB．a>bC．a=b D．a与b的大小不确定【解析】方法一特殊值法取特殊值，令c=2，则a=3−2易知a<b,排除B,C，还不能排除D，猜测选A.方法二做差法，分析法a−b=要比较a,b大小，只需要比较c+1⟺比较⟺⇔而显然c2−1<c，故c+1方法三共轭根式法c+1c−∵c∴c∴1c+1+c【点拨】①比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；②方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；③方法三中注意到(c若A=x+yAB=x−y，巩固练习1(★)已知－1<b<0,a<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2【答案【解析】∵－1<b<0，a<0，∴ab>0，b<0<1，b2∴ab－ab∴ab>ab故选：D．2(★★)设1bA．a>bB．ab<a−bC．【答案】【解析】设1b<1a<0由a<b<0可得ab>0，a－b<0，可得a由a<b<0可得ab>1，则b3a3由1b<1a<0故选：C．3(★★)已知a,b∈R，且P=a+b2，Q=A．P≥Q B．P>Q C．P≤Q D．P<Q【答案】【解析】因为a，b∈R，且P=a+b所以P2=a则P2当且仅当a=b时取等成立，所以P2－Q2≤0，故选：C．4(★★)若P=a+3+a+5，Q=a+1+A．P=QB．P>QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】【解析】∵a≥0，P2=2a+8+2a∴a∴2a∴P2>Q2∴P>Q．故选B．5(★★★)设S=aA．0<S<1B．1<S<2C．2<S<3D．3<S<4【答案】B【解析】∵S=>S=即1<S<2.【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系【典题1】如果关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−1<x<2，则关于x的不等式b【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0∴−1、2是方程ax2+bx+c=0由韦达定理得−1+2=−b∴b=−a>0,c=−2a>0，∴不等式bx2−ax−c>0即(x−1)(x+2)>0，解得x<−2或x>1；则该不等式的解集为(−∞,−2)∪(1,+∞)．【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.【典题2】解关于x的不等式：x−2【解析】x−2x+3等价变形为：x+8x+3≤0且x+3≠0；(注意分母解得−8≤x<−3.巩固练习1(★)若不等式2kx2+kx−38A．−3<k<0 B．−3≤k<0 C．−3≤k≤0 D．−3<k≤0【答案】D【解析】2kx2+kx−①k=0时，−3②k≠0时，k<0△=k综上可得，−故选：D．2(★★)若关于x的不等式x2−3ax+2>0的解集为(−∞A．−1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由题意知，1和m是方程x2则由根与系数的关系，得1+m=3a1×m=2，解得a=1所以a+m=3．故选：D．3(★★)若不等式ax2+2x+c<0的解集是(−A．[−12,13] 【答案】C【解析】不等式ax2+2x+c<0的解集是(−∞，−∴−13和12由−13+12=−故不等式cx2−即x2−x所以所求不等式的解集是：[−故选：C．4(★★)【多选题】关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABC【解析】设f(x)=x2−若关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤f(2)≤0f(1)>0，即4−12+a≤0解得5<a≤8，又a∈所以a=6，7，8．故选：ABC．5(★★)不等式3x+13−x>−1的解集是【答案6(★★)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}，α>0，则不等式c【答案】(1【解析】不等式ax2+bx+c>0则α，β是一元二次方程ax2+bx+c∴α+β∴不等式cx2+bx+a>0∴αβ化为(α又0<α<β∴不等式cx2+bx+a<0的解集为：{x故选：A．7(★★)不等式axx−1<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a值是.【答案】a=【解析】不等式axx−1<1等价于a−1x+1所以1×2=11−a检验成立.【题型三】求含参一元二次不等式角度1：按二次项的系数a的符号分类，即a>0,a解不等式a【解析】(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2)x+1是否是二次函数，分a=0(1)当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为{x|x>−1(2)当a≠0时，∵Δ(二次函数y=ax2+(a+2)x+1解得方程ax2+(a+2)x+1=0(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a>0与a<0讨论)(i)当a>0时，解集为{x|x>−a−2+(ii)当a<0时,解集为{x|−a−2+a2综上，当a=0时，解集为{x|x>−1当a>0时，解集为{x|x>−a−2+当a<0时,解集为{x|−a−2+a角度2：按判别式的符号分类解不等式x2【解析】∵Δ(此时不确定二次函数y=x2+ax+4∴①当−4<a<4，即Δ<0时，解集为R②当a=±4，即Δ=0时，解集为xx≠−③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=∴不等式的解集为{x|x>−a+a2综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为xx≠−当a>4或a<−4时，解集为{x|x>−a+a2角度3：按方程的根大小分类解不等式：x2【解析】原不等式可化为：x−ax−1令x−ax−1a(因式分解很关键，此时确定y=x−ax−1a与∴(i)当x1=x2时，即(ii)当x1<x2时，即a<1(iii)当x1>x2时，即a>1综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1或0<a<1时，解集为{x|a<x<1(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为x1【点拨】①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2ax2+②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.巩固练习1(★★)关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1,0)∪(2,3] D．(−2,−1)∪(3,4)【答案】C【解析】由x2−(a+1)x+a<0若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0综上，满足条件的a的取值范围是[−故选：C．2(★★)解关于x的不等式x【答案】a>1时，不等式的解集是a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a【解析】方程x2+2x+a=0中①当1−a<0即a>②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是③当1−a>由x2+2x+a=0解得：∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−综上，a>1时，不等式的解集是a=1时，不等式的解集是{x|x≠−a<1时，不等式的解集是{x|x>−3(★★)解关于x的不等式：2x【答案】a>4或a<−a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−−4<a<4时，不等式的解集为R．【解析】关于x的不等式：2x△=a当a>4或a<−对应的一元二次方程有两个实数根x=−a−a2且−a−a∴不等式的解集为{x|x<−a−a2−16当a=±4时，△=0，对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=−a∴不等式的解集为{x|x≠−当−4<a<4时，△<0，∴不等式的解集为R综上，a>4或a<−a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a4}；−4(★★★)若a∈R，解关于x的不等式a【答案】当a<0时，解集是(−1,−1a)；当a=0当0<a≤1时，解集是(−∞,−1a)∪(−1,+∞)；当a>1时，解集是【解析】当a=0时，x>−当a≠0时，a(x+当a<0时，(x+1a