【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题1圆综合压轴大题模拟预测题强化训练(尖子生难题突破)原卷版+解析

【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题1圆综合压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）一、解答题1．（2022·北京市十一学校二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O在AC上，过点C作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，过点O作OEBC，交⊙O于点E，连接CE交AB于点F．(1)求证：CE平分∠ACB；(2)连接OD，若CF=CD=6，求OD的长．2．（2022·北京东城·一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求AE的长．3．（2022·北京海淀·二模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG=AG，连接AC．(1)求证：AC∥DF；(2)若AB=12，求AC和GD的长．4．（2022·北京昌平·二模）如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．5．（2022·北京房山·二模）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线于交于点F，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)过点E作于点H，若，求的长度．6．（2022·北京房山·二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：和圆外一点P．求作：过点P的的切线．作法：①连接；作的垂直平分线与交于点M；②以半径作，交于点A，B；③作直线；所以直线为的切线．请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明．证明：连接．∵为的直径，∴__________=__________（__________）（填推理的依据）．∴∵为半径，∴直线为的切线．（__________）（填推理的依据）．7．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，AB是的弦，C为上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与交于点E，连接EC，CD是的切线．(1)求证：；(2)若，，求BD的长．8．（2022·北京顺义·二模）如图，内接于，AB是的直径，点D在AB的延长线上，且，点E为AC的中点，连接OE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证：CD是的切线；(2)若，，求CF的长．9．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点．①在点，，，中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点，点，图形W是以点为圆心，1为半径的位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．10．（2022·北京门头沟·二模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：①作⊙O的直径AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；③作直线MN交⊙O于点C，D；④连接AC，BC，AD，BD．∴四边形ACBD就是所求作的正方形．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵MN是AB的，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴

AC=BC=BD=AD．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是正方形．11．（2022·北京丰台·二模）已知：如图，射线AM．求作：△ABC，使得，．作法：①在射线AM上任取一点O（不与点A重合）；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于A，C两点；③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交于点B；④连接AB，BC．△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：连接OB．在⊙O中，OB＝OC在⊙C中，OC＝＝BC∴OB＝OC＝BC∴△OCB是等边三角形∴∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝_________°（_________）（填推理的依据）．∴∴．12．（2022·北京西城·二模）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求FA的长．13．（2022·北京大兴·二模）如图，在中，，AD是的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的经过点D．(1)求证：BC是切线；(2)若，求AC的长．14．（2022·北京密云·二模）如图，在中，，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE是⊙O的切线．(1)计算的度数；(2)若，，求线段DE的长．15．（2022·北京北京·二模）如图，为的直径，，过点A作的切线，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求的长．16．（2022·北京平谷·二模）如图，AB是⊙O的直径，过B作⊙O的切线，与弦AD的延长线交于点C，，E是直径AB上一点，连接DE并延长与直线BC交于点F，连接AF．(1)求证：；(2)若，⊙O的半径长为6，求EF的长．17．（2022·北京东城·二模）如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作．(1)求证：是⊙A的切线；(2)若，，求的长．18．（2022·北京朝阳·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，交AC于点E，．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若，，求cosD．19．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．20．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在线段AD上，由点D向点A运动，当点P与点A重合时，停止运动．以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P与AD交于点M点Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．(1)当时PC＝，扇形QPD的面积＝，点C到⊙P的最短距离＝；(2)⊙P与AC相切时求PC的长？(3)如图⊙P与AC交于点E、F当EF＝6.4时，求PD的长？(4)请从下面两问中，任选一道进行作答．①当⊙P与△ABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；②直接写出点Q的运动路径长以及BQ的最短距离．21．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系中，对于线段MN及P、Q，若且线段MN关于点P的中心对称线段恰好经过点Q，则称Q是点P的线段对经点.(1)设点，①，，，其中为某点的线段对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心的坐标为.③已知，设的半径是r，若上存在某点P的线段对经点，求r的取值范围.(2)已知，，若点同时是相异两点，的线段对经点，直接写出的取值范围.22．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”．(1)如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）；(2)若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围；(3)已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长．24．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点，．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为时，且的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知，等边的三个顶点均在半径为3的上．求的“全距”d的取值范围．25．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．26．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．27．（2022·北京丰台·二模）如图，AB是⊙O的直径，C为BA延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，过点B作BE⊥CD于点E，连接AD，BD．(1)求证：；(2)如果CA＝AB，BD＝4，求BE的长．28．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作．已知点，，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．①当时，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围．29．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．(1)如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离____________；(2)已知点，⊙C的半径为，求⊙C关于轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于轴的最佳射影点的坐标；(3)直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值．30．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段（，分别为点A，B的对应点），若线段上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图1，点，的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段到⊙O的“平移距离”为___，点，的坐标分别为（－，），（，），线段到⊙O的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题1圆综合压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）一、解答题1．（2022·北京市十一学校二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O在AC上，过点C作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，过点O作OEBC，交⊙O于点E，连接CE交AB于点F．(1)求证：CE平分∠ACB；(2)连接OD，若CF=CD=6，求OD的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据OC=OE，可得∠OCE=∠E，再由OEBC，可得∠E=∠BCE，从而得到∠OCE=∠BCE，即可求证；（2）根据CD=CF，可得∠BCD=∠BCE=∠OCE，再由CD是⊙O的切线，可得∠BCD=30°，再证得∠A=∠BCD=30°，根据直角三角形的性质，即可求解．(1)证明：∵OC=OE，∴∠OCE=∠E，∵OEBC，∴∠E=∠BCE，∴∠OCE=∠BCE，∴CE平分∠ACB；(2)解：如图，∵CD=CF，∴∠BCD=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCD=∠BCE=∠OCE，∵CD是⊙O的切线，∴∠ACD=90°，即∠BCD+∠ACB=90°，∴∠BCD=30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∵CD=6，∴AD=2CD=12，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．2．（2022·北京东城·一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得．(1)证明：(2)解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线又又，解得【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．3．（2022·北京海淀·二模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG=AG，连接AC．(1)求证：AC∥DF；(2)若AB=12，求AC和GD的长．【答案】(1)见解析(2)AC=6，【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠F，由GA=GC推出∠CAF=∠C，得到∠CAF=∠F，即可得到结论AC∥DF．

（2）连接AD，利用AC∥DF推出∠C=∠1，根据圆周角定理得到，进而证得△AOD是等边三角形，得到．利用垂径定理求出AC=AD=6，利用三角函数求出AG．(1)证明：∵C，F都在⊙O上，∴∠C=∠F．∵GA=GC，∴∠CAF=∠C．∴∠CAF=∠F．∴AC∥DF．(2)解：连接AD．∵AC∥DF，∴∠C=∠1，∵，∴．∴．①∵AB⊥CD于E，∴∠BED=90°．∴．②∴由①，②得∠1=30°，∠2=60°．

∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴．∵直径AB⊥CD于E，∴．∴AC=AD=6．

∵△AOD是等边三角形，∴∠ADO=60°，∠1=30°．∴∠3=∠AOD-∠1=30°∵DF是⊙O的直径，∴∠FAD=90°．∴在Rt△GAD中，．【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键．4．（2022·北京昌平·二模）如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．【答案】(1)过程见详解(2)【解析】【分析】（1）连接OD，OD=OB=OE，即有∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，再根据BE是直径，得到∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，即有∠DBE+∠ODE=90°，再根据∠ADE=∠DBE，有∠ADE+∠ODE=90°，即有OD⊥AC，则结论得证；（2）先证，则有，利用=可求出OA，即可求出BC的值．(1)连接OD，如图，∵OD=OB=OE，∴∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，∵BE是直径，∴∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，∴∠DBE+∠ODE=90°，∵∠ADE=∠DBE，∴∠ADE+∠ODE=90°，∴OD⊥AC，∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；(2)根据（1）的结论，有OD⊥AC，∵∠C=90°，∴BC⊥AC，∴，∴，∵在中，=，又∵OD=OB=3，∴OA=5，∴AB=OA+OB=8，∵，∴．即BC为．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、直径作对圆周角为90°、平行的性质、勾股定理、三角函数等知识，证明切线是解答本题的关键．5．（2022·北京房山·二模）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线于交于点F，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)过点E作于点H，若，求的长度．【答案】(1)见详解(2)2【解析】【分析】（1）连接OE，先证明BF是圆的直径，OE是圆的半径，再证明在，则有∠OEA=∠C=90°，结论得证；（2）连接ED，根据角平分线的性质证明EH=EC，再证△EHF≌△ECD，则HF可求．(1)连接OE，如图，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∵⊙O是△BEF的外接圆，∴BF是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，∴∠OEB=∠OBE，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴，∴∠OEA=∠C=90°，即OE⊥AC，∵OE是半径，∴AC是⊙O的切线；(2)连接ED，如图，∵BE平分∠ABC，且EH⊥BA，EC⊥BC，∴EH=EC，∵四边形BDEF是⊙O的内接四边形，∴∠EFH=∠EDC，∵∠EHF=∠C=90°，∴△EHF≌△ECD，∴HF=CD=2，即HF的值为2．【点睛】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确的作出所需辅助线．6．（2022·北京房山·二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：和圆外一点P．求作：过点P的的切线．作法：①连接；作的垂直平分线与交于点M；②以半径作，交于点A，B；③作直线；所以直线为的切线．请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明．证明：连接．∵为的直径，∴__________=__________（__________）（填推理的依据）．∴∵为半径，∴直线为的切线．（__________）（填推理的依据）．【答案】OBP，90，直径所对圆周角为直角，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线【解析】【分析】根据题目要求作图即可，根据作图方法可知OP为⊙M的直径，即可得OA⊥AP，OB⊥BP，根据OA、OB为⊙O半径即可求证结论．【详解】尺规作图如下：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴根据直径所对圆周角为直角有∠OAP=∠OBP=90°．∴OA⊥AP，OB⊥BP∵OA、OB为⊙O半径，又∵过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，∴直线PA、PB为⊙O的切线．故答案为：OBP，90，直径所对圆周角为直角，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解答本题的关键，本题还考查了圆周角定理和切线的判定与性质．7．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，AB是的弦，C为上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与交于点E，连接EC，CD是的切线．(1)求证：；(2)若，，求BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质易得，由平行线的性质得到，再结合等腰三角形的性质得到，由三角形外角性质易得即可求解；（2）连接BC和AC，CO，根据BE是的直径和切线的性质易得，由圆周角定理得到，结合得到，进而可得，将，代入即可求解．(1)证明：连接OC，如下图．∵CD是的切线，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴；(2)解：连接BC和AC，CO，如下图．∵BE是的直径，∴，∴．∵CD是的切线，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，锐角三角函数值的求法，作出辅助线是解答关键．8．（2022·北京顺义·二模）如图，内接于，AB是的直径，点D在AB的延长线上，且，点E为AC的中点，连接OE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证：CD是的切线；(2)若，，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）根据AB是的直径，可得，由得，结合已知条件，根据可得，即可得证；（2）证明，得出，根据，可得，从而求得的长，进而求得的长，由点E为AC的中点，根据垂径定理以及，证明，根据平行线分线段成比例即可求解．(1)证明：如图，连接，，，，AB是的直径，,，，即，是半径，CD是的切线；(2)，，，，，可得，，，，点E为AC的中点，，又，，，即，．【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，正切，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点．①在点，，，中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点，点，图形W是以点为圆心，1为半径的位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．【答案】(1)①；②或；(2)【解析】【分析】（1）根据定义求解即可求解；（2）求得，根据定义作出图形，图形W上存在线段DE的“等距点”，则与线段，有交点，进而即可求解．(1)①如图，，，点，，，，，是线段OA的“等距点”；②如图，根据定义可知，点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，，且在上，，，解得，或；(2)点，点如图，根据定义，以为半径，D,E为圆心，作，分别交轴负半轴，轴正半轴于点，则，设与正半轴交于点，，上的点到的距离为图形W上存在线段DE的“等距点”，则与线段，有交点根据题意可知，当半与只有一个交点时，在负半轴时，，当在正半轴时，，当与内切时，当与外切时，，综上所述，．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理求两点距离，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键．10．（2022·北京门头沟·二模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：①作⊙O的直径AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；③作直线MN交⊙O于点C，D；④连接AC，BC，AD，BD．∴四边形ACBD就是所求作的正方形．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵MN是AB的，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴

AC=BC=BD=AD．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．（）（填推理依据）∴四边形ACBD是正方形．【答案】(1)见解析(2)垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°【解析】【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案；（2）根据题意可知MN⊥AB则∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°，由圆心角与弦之间的关系可得AC=BC=BD=AD即可证明四边形ACBD是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD是正方形．(1)解：如下图所示，即为所求；(2)证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴

AC=BC=BD=AD．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴四边形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．（直径所对的圆周角是90°），∴四边形ACBD是正方形．故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°．【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90°，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11．（2022·北京丰台·二模）已知：如图，射线AM．求作：△ABC，使得，．作法：①在射线AM上任取一点O（不与点A重合）；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于A，C两点；③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交于点B；④连接AB，BC．△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：连接OB．在⊙O中，OB＝OC在⊙C中，OC＝＝BC∴OB＝OC＝BC∴△OCB是等边三角形∴∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝_________°（_________）（填推理的依据）．∴∴．【答案】(1)见解析(2)90，直径所对的圆周角是直角【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明△OCB是等边三角形，求出∠ABC＝90°即可．(1)解：如图，△ABC即为所作；

(2)证明：连接OB．在⊙O中，OB＝OC，在⊙C中，OC＝BC，∴OB＝OC＝BC，∴△OCB是等边三角形，∴，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴，∴．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查作图−复杂作图，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12．（2022·北京西城·二模）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求FA的长．【答案】(1)见解析(2)3【解析】【分析】（1）连接OD，证明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因为OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可证得∠COB=∠OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB⊥CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得CF=，最后证△EOC∽△EAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE得出答案．(1)证明：如图，连接OD，∵CB，CD分别与相切于点B，D，∴CD=CB，∵OD=OB，OC=OC，∴△CDO≌△CBO（SSS），∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，∴FAOC；(2)解：∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，由（1）知：∠COB=∠OAD，∴∠COE=∠CEO，∴CO=CE，∵CB是⊙O的切线，∴OB⊥CB，∴OB=BE=2，∴OA=OB=2，∴AE=6，OE=4，∵CB、CD是⊙O的切线，∴CB=CD=4，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE=，∵FAOC，∴△EOC∽△EAF，∴，即，∴FE=3，∴FA=FE=3．【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．13．（2022·北京大兴·二模）如图，在中，，AD是的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的经过点D．(1)求证：BC是切线；(2)若，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．(1)连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O切线．(2)过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC．∴．∴．∴AC=6．【点睛】^$本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．14．（2022·北京密云·二模）如图，在中，，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE是⊙O的切线．(1)计算的度数；(2)若，，求线段DE的长．【答案】(1)90°(2)【解析】【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对圆周角等于90度得∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，再由切线的性质得∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°，所以∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO，然后由OB-OC，则∠C=∠ODC，BA=BC，则∠C=∠A，所以∠A+∠ADE=90°，最后由三角形内角和定理即可求解；（2）由（1）知：∠AED=∠ADB=90°，则tan∠A===，所以AD=2BD，AE=2DE，又因为AB=BC=2，在Rt△ADB中，由勾股定理，可求出BD=2，AD=4，再在Rt△ADE中，由勾股定理可求出DE长．(1)解：如图，连接OD，BD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠BDA=90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°，∴∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO，∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∴∠C+∠ADE=∠C+∠BDO=90°，∵BA=BC，∴∠C=∠A，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=180°-（∠A+∠ADE）=90°；(2)解：由（1）知：∠AED=∠ADB=90°，∴tan∠A===，∴AD=2BD，AE=2DE，∵AB=BC=2，∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，∴（2BD）2+BD2=（2）2，∴BD=2，∴AD=4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，（2DE）2+DE2=42，∴DE=．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，正切的定义，熟练掌握切线的性质、圆周角定理的推论、正切的定义是解题的关键．15．（2022·北京北京·二模）如图，为的直径，，过点A作的切线，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)5【解析】【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得，再利用等边对等角及等量代换即可证得从而证得结论．（2）连接，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得，从而得到，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案．(1)证明：，∴，∵，∴，∴，∴．(2)如图，连接，∵为的直径，∴，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，解得，，∴，∵在中，，∴，解得，∴．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键．16．（2022·北京平谷·二模）如图，AB是⊙O的直径，过B作⊙O的切线，与弦AD的延长线交于点C，，E是直径AB上一点，连接DE并延长与直线BC交于点F，连接AF．(1)求证：；(2)若，⊙O的半径长为6，求EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理、切线性质以及题中可得，从而得出结论；（2）连接，由（1）知，得出，得出，在中，，⊙O的半径长为6，解得，从而，设，则，解得，即，在中，利用勾股定理得结论．(1)证明：连接，如图所示：AB是⊙O的直径，，即，过B作⊙O的切线，，，，，；(2)解：连接，如图所示：在等腰中，，，，，，在中，，⊙O的半径长为6，则，解得，，设，则，解得，在中，，，则利用勾股定理得．【点睛】本题考查圆综合，涉及到圆周角定理、直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、正切函数求线段长、勾股定理等知识点，根据题意准确作出辅助线是解决问题的关键．17．（2022·北京东城·二模）如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作．(1)求证：是⊙A的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）过点作于，根据同旁内角互补证得，可证得，利用可证得，则可证得，根据切线的判定即可求证结论．（2）根据角相等即可得，利用相似三角形的性质即可求解．(1)过点作于，如图所示，，，，，，，，，，在和中，，，，且为的半径，是的半径，是的切线．(2)，，，，，，，，解得，的长为．【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键．18．（2022·北京朝阳·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，交AC于点E，．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若，，求cosD．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）连接OC．证∠OCD=90°，即可得出结论；（2）先求出．再同由勾股定理求出DC=3，OD=5，最后由余弦定义求解．(1)证明：如图，连接OC．∵交AC于点E，∴,∴．∵，∴．∵，∴,∵，∴，∴∠OCD=，∴，∴DC是⊙O的切线，(2)解：∵，∴，∵，∴．设，∵，∴．解得，∴，．∴在Rt△OCD中，．【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，掌握切线的判定定理是解题的关键．19．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．【答案】(1)①2，②2≤d（M，⊙O）≤3(2)d（N，⊙O）≥(3)m的最小值为1，最大值为【解析】【分析】（1）①因为D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，根据关联距离的定义可求；②先求d（E，⊙O）和d（F，⊙O），则d（M，⊙O）在其之间即可；（2）当过O的直线ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，根据三角形的面积公式可求ON的值，而ON无最大值，即可求出d（N，⊙O）的取值范围；（3）当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，当如图3时，m取最大值，即，可求m的值，从而求得m的最小值和最大值．(1)解：①∵D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，∴d（D，⊙O）=，故答案为2；②当M在点E处，d（E，⊙O）=2，当M在点F处，d（F，⊙O）=，∴2≤d（M，⊙O）≤3．(2)解：设ON=d，∴p=d-r=d-1，q=d+r=d+1，∴d（N，⊙O）=，∵N在直线上，设直线交x轴于B，交y轴于A，如图，则x=0时，y=，y=0时，x=-2，∴A，B，∴OA=，OB=2，∴AB=，当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，∵，∴ON=，∵ON无最大值，∴d（N，⊙O）≥．(3)解：如图2，当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，如图3，d（P，⊙O）有最大值，则，∴∴m的最小值为1，最大值为．【点睛】本题是新定义题，考查了对新定义的理解，点到直线的距离，勾股定理，解题的关键是准确理解关联距离这个新定义．20．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在线段AD上，由点D向点A运动，当点P与点A重合时，停止运动．以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P与AD交于点M点Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．(1)当时PC＝，扇形QPD的面积＝，点C到⊙P的最短距离＝；(2)⊙P与AC相切时求PC的长？(3)如图⊙P与AC交于点E、F当EF＝6.4时，求PD的长？(4)请从下面两问中，任选一道进行作答．①当⊙P与△ABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；②直接写出点Q的运动路径长以及BQ的最短距离．【答案】(1)，，；(2)；(3)4；(4)①PD的范围为：3＜PD＜6或；②点Q的运动路径长是，BQ的最短距离是．【解析】【分析】（1）根据已知直接可求；（2）⊙P与AC相切时，设切点为点H，连接PH，则PH⊥AC，在Rt△ADC中，AB＝6，BC＝8，得AC＝10；在Rt△ADC中，，设⊙P半径为x，则PH＝PD＝x，AP＝8－x，在Rt△AHP中，，可求x＝3，在Rt△PDC中，CD＝6，PD＝3，求得；（3）过点P作PH⊥AC，连接PF；则∠PHA＝∠ADC＝90°，可证△AHP∽△ADC，设⊙P半径为x，则PF＝PD＝x，AP＝8－x，则，在⊙P中，FH⊥AC，EF＝6.4，HF＝3.2，在Rt△PHF中，，求得PD＝4；（4）①作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，易知PM＝PD时，⊙P与AC相切，与△ABC只有一个公共点，PM＜PD时⊙P与△ABC没有公共点；当PN＝PD时，⊙P与BC相切，⊙P与△ABC有三个公共点，当PB＝PD时，⊙P与△ABC有三个公共点；当PB＜PD≤AD时，⊙P与△ABC有且只有两个公共点；故3＜PD＜6或；②由∠QPD＝120°，PQ＝PD可得：∠ADQ＝30°，即Q的路径是一条线段，且线段DQ位于AD上方，易求得，BQ的最短距离即点B到DQ的垂线段长度，可求得DQ的最小值；(1)解：如图1，连接PC，QP，PC交⊙P于T，∵矩形ABCD∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，在Rt△CDP中，由勾股定理得：，∵∠QPD＝120°，∴，故答案为：，，；(2)解∶如图2，⊙P与AC相切时，设切点为点H，连接PH，则PH⊥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，在Rt△ADC中，，设⊙P半径为x，则PH＝PD＝x，AP＝8－x，在Rt△AHP中，，∴，∴x＝3，在Rt△PDC中，CD＝6，PD＝3，∴；(3)解∶如图3，过点P作PH⊥AC，连接PF；则∠PHA＝∠ADC＝90°，∵∠PAH＝∠DAC，∴△AHP∽△ADC，∴，设⊙P半径为x，则PF＝PD＝x，AP＝8－x，∴，在⊙P中，FH⊥AC，EF＝6.4，∴HF＝3.2，在Rt△PHF中，，∴x＝4或x＝－13（舍去），∴PD＝4；(4)解∶①如图4，作于M，作于N，当时，与AC相切，只有1个公共点，由（2）知，此时PD＝3，当时，与△ABC有3个公共点；当6＜PN≤PB时，⊙P与△ABC有3个公共点；，∴，解得：综上所述，PD的范围为：3＜PD＜6或；②如图5，∵∠QPD＝120°，当点P与点A重合时，AQ＝AD∴点Q的运动路径是线段DQ，∠DAQ＝120°，∠ADQ＝∠AQD＝30°，BQ的最短距离是点B到直线CQ的距离；过点B作BK⊥CQ于K，BK交AD于S，过A作AL⊥CQ于L，连接BD，AQ，∵AL⊥CQ，∴∠ALD＝∠ALQ＝90°，∵AQ＝AD，AL＝AL∴Rt△ADL≌Rt△AQL∴DL＝QL，∠DAL＝∠QAL＝60°，∴，即∴在Rt△BCD中，设SD＝m，则，∵∠ASB＝∠DSK＝90°－∠ADQ＝90°－30°＝60°，∴∠ABS＝30°∴，即8－m＝6tan30°，解得：∴，∴故点Q的运动路径长是，BQ的最短距离是．【点睛】本题考查圆的有关概念；解直角三角形，垂径定理，切线的性质，熟练掌握圆中的相关概念，垂径定理，切线的性质，灵活运用直角三角形的知识解题是关键．21．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系中，对于线段MN及P、Q，若且线段MN关于点P的中心对称线段恰好经过点Q，则称Q是点P的线段对经点.(1)设点，①，，，其中为某点的线段对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心的坐标为.③已知，设的半径是r，若上存在某点P的线段对经点，求r的取值范围.(2)已知，，若点同时是相异两点，的线段对经点，直接写出的取值范围.【答案】(1)①，②或或③(2)．【解析】【分析】（1）①按定义，根据“定角定弦”确定出P点轨迹及对称点的轨迹（优弧），逐一判断即可；②根据两点间距离公式，根据Q点确定出P点坐标，再根据中心对称性质推理出O’，A’坐标，判断Q是否在其上即可；③根据题意作出P点轨迹及对称后点O’，A’轨迹，判断出r的最大值，为通过圆心M的直径的线段，借助勾股定理求解；（2）根据，坐标，确定出P点轨迹及圆心位置，借助辅助线，推理出Q点位置与F、T的位置关系，得到不等式组，求解．(1)解：①由∠APO=45°知，P点轨迹为以E（1,1）或(-1,1)为圆心，以AE的长为半径的两个优弧上，题目中给的Q点坐标均在y轴右侧，则其对应的P点轨迹为右侧优弧如图1所示，由题意知，AE==EH=EF，∴P点横坐最大值为+1，纵坐标取值范围为：1－≤y≤1+，设P（m，n），由PE=得：（m-1）2+（n-1）2=2，∴A（0,2）关于P对称的点为A’（2m，2n-2）O（0,0）关于P对称的点为O’（2m，2n）∴线段A’O’y轴当Q1（4,0）在A’O’上时，2m=4，即m=2∴n=0或n=2，即此时P（2，0）或P（2,2）对应的A’（4,-2），O’（4,0），Q2在O’A’上，符合题意或对应的A’（4,2），O’（4,4），Q2不在O’A’上，不符合题意当Q2（2,2）在A’O’上时，2m=2，即m=1∴，n=1+或n=1－P（1，1+），A’（2,2），O’（2,2+2），Q2不在O’A’上，不符题意当在A’O’上时，2m=2+，即m=∴，解得：n=或n=此时P（，）或（，）A’（,1），O’（,3）或A’（,-1），O’（,1）∴Q3在A’O’上，满足题意综上所述，答案为：Q1、Q3．②由①知，Q1对应的P点坐标为（2,2）；Q3对应的P点的坐标为：（，）或（，）③由上知，设P（m，n），由PE=得：（m-1）2+（n-1）2=2，A（0,2）关于P对称的点为A’（2m，2n-2）O（0,0）关于P对称的点为O’（2m，2n）P点轨迹为以E为圆心，为半径的优弧如图2，O关于P对称的点为O’，OP:OO’=1:2，OE：OM=1：2，∴△OEP∽△OMO’∴PE：O’M=1:2∴O’的轨迹为以M（2,2）为圆心，以2为半径的优弧同理，A’的轨迹为以（2,0）为圆心，以2为半径的优弧，如图3，故连接BM交圆M于N，此时BN的长度最大，该最大值为r的最大值，∴r≤2+由图知，r>1综上所述，满足题意的r的取值范围为：1<r≤2+．(2)解：由题意，知：P的轨迹为以（0，t）为圆心，以t为半径的优弧上（蓝色），如图4，D关于P对称的D’的轨迹为以（2t，-t）为圆心，以2t为半径的优弧上C关于P对称的C’的轨迹为以（2t，t）为圆心，以2t为半径的优弧上作y轴平行线，当该直线与红色优弧相切时，交x轴于F，则OF=2t+2tC’的轨迹交x轴于T，则OT=OH+HT=2t+=2t+t，∵点同时是相异两点，的线段对经点，∴OT≤4≤OF即2t+t≤4≤2t+2t，解得：【点睛】本题考查了等腰直角三角形、中心对称、勾股定理、圆等相关知识，理解题意并确定出动点轨迹是解题关键．22．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．【答案】(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【解析】【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面积公式求解即可；（2）找到四边形OADC是⊙T的外接四边形，且D(2，2)，画出图形，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解；（3）分两种情况，当PP2与⊙O相切时，PP1与⊙O相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解．(1)解：∵点A(1，2)关于x轴的对称点为A1(1，-2)，点A关于y轴的对称点为A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面积=×2×4=4；(2)解：∵⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．∴四边形OADC是⊙T的外接四边形，∴D(2，2)，∵点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且点B(m，n)，∴0<m≤4；(3)解：当PP2与⊙O相切于点E时，如图：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴当60°<∠OP1P<90°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；当PP1与⊙O相切于点F时，如图：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴当0°<∠OP1P<30°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；综上，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，∠PP1P2的取值范围为：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，切线的性质，数形结合是解题的关键．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”．(1)如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）；(2)若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围；(3)已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长．【答案】(1)见解析(2)(3)，，【解析】【分析】(1)根据A（1，2），B（2，1），C（4，1），计算AB=，确定圆O长为的弦，再确定其对称轴即可．(2)根据A（2，3），B（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时；作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是．(3)如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2，计算OC的最小值；OC=，此时AC=4．(1)如图1，作BM⊥x轴，垂足为M，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE是正方形，∴边AE，BF的中点所在直线就是与的一条“关联轴”；∵的半径为1，∴EH=GH=FG=EF==，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B、F、G三点共线，∴直线EF是与的一条“关联轴”．(2)如图2，根据A（2，3），B（4，1），C（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时；作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是．(3)如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2，故OC的最小值为；当点C是直径AC的一个端点时,OC最大,根据勾股定理，得OC=，此时AC=4.【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，正确理解新定义是解题的关键．24．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点，．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为时，且的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知，等边的三个顶点均在半径为3的上．求的“全距”d的取值范围．【答案】(1)①6，2；②2<m≤6；(2)≤d≤.【解析】【分析】（1）①画出直线AB的图象即可得解；②结合图象及全距的意义可得解；（2）当点O与等边三角形的一边共线时，△DEF的“全距”为，当等边△DEF的一个顶点在线段OM的延长线上时，△DEF的“全距”为，因此得解．(1)如图，设直线AB为y=kx+b，由题意可得：，解之可得：k=0，b=2，∴直线AB即y=2，可知OA>OB，①由勾股定理可得：OA=，∴原点O到线段AB上一点的最大距离为6，最小距离为2，故答案为6，2；②如图，由全距的意义可知，当2<m≤6时，的“全距”为4；(2)O与等边三角形的一边共线时，如图，△DEF的“全距”为，当等边△DEF的一个顶点在线段OM的延长线上时，如图，△DEF的“全距”为，∴△DEF的“全距”的范围为≤d≤.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了两点间的距离公式，点与线段的位置关系，点与圆的位置关系等知识，准确理解新定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．25．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．【答案】(1)C1、C3(2)1≤b<3或b>3(3)≤d≤【解析】【分析】（1）根据“友好点”的定义逐个判断即可；（2）分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方．过B作PQ的垂线，垂足为B，交x轴于H，根据题目中的定义知：BQ或BP的长度要大于或等于BC的长度，求解即可；（3）首先分析得到E点的运动范围，作出图形知OE≥2，当EH平分∠FEO时，其中H（2，0），是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为，即得结论．(1)解：如图所示，由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；故答案为：C1、C3．(2)解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，即b>3；当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，则当BQ≥BC时，符合题意，当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，此时，－1+b=0，即b=1，即1≤b<3，综上所述，b的取值范围为：1≤b<3或b>3．(3)解：根据题意，为的弦，根据定义可知，，当取得最小，点在上，此时则则当取得最大值时，为的直径，当的长度变化时，总能在上找到点使得，则符合题意的点在如图中阴影部分中运动，通过分析可知，当直线EF在下图中的位置时，d取得最大值，此时，∠HEO=22.5°，即EH为∠EHF的平分线，过H作HM⊥EF于M，则HM=OH=2，∴FM=2，由勾股定理得：FH=，即OE=OF=，即d=∴≤d≤．【点睛】本题考查了新定义的问题，涉及到一次函数与圆的性质的综合应用，所用到的数学思想方法为数形结合、分类讨论，该题综合性较强．解题关键是读懂题意，借助定义作出符合题意的图形．26．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【答案】(1)①2；4②2≤m≤6(2)xC≤-2或xC≥-1【解析】【分析】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空；②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，则点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求得m=6，即可得出答案；（2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．(1)解：①如图1，连接PA，PB，由图可知：A（-2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x轴，∴PB=3，PA==5，∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2；作直线OP交⊙O于G、H，则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4；故答案为：2，4；②∵点为x轴正半轴上的一点，∴m>0，当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，∵P（2，3），∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，∴PM最大==5，解得m=6或m=-2，∴2≤m≤6．(2)解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，∴D（-1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，∵⊙C半径为1，∴xC=-2，由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，∴DN=CN=1，∴CD==，∴OC=CD-OD=-1，由（1）①第二空可知，当xC≥-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；综上，圆心C的横坐标的取值范围为xC≤-2或xC≥-1．【点睛】本题考查新定义，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属圆的综合题目，新定义的理解和正确运用是解题的关键．27．（2022·北京丰台·二模）如图，AB是⊙O的直径，C为BA延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，过点B作BE⊥CD于点E，连接AD，BD．(1)求证：；(2)如果CA＝AB，BD＝4，求BE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由CD切⊙O于点A得，从而得，进而得，另外由即可得出结论；（2）解：设OA=x，则CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，先证明，得从而有，另外由得，即可求得．(1)证明：如图，连接OD，CD切⊙O于点A，，BE⊥CD，，，OD=OB，，；(2)解：如图，设OA=x，则CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，，，，即，，AB是⊙O的直径，，BE⊥CD，，，，，BD＝4，，解得．【点睛】本题主要考查了圆的切线、勾股定理、相似三角形的判定及性质以及平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．28．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作．已知点，，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．①当时，求出此时r的