专题06因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系(原卷版+解析)(重点突围)-【学霸满分】2022-2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练(北师大版)

专题06因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系考点一因式分解法解一元二次方程考点二十字相乘法解一元二次方程考点三换元法解一元二次方程考点四已知一元二次方程的解求另一个解考点五根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值考点六一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题考点一因式分解法解一元二次方程例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【变式训练】1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)；(2)（2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)(2)考点二十字相乘法解一元二次方程例题：（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)．(2)【变式训练】1.（2022·全国·九年级）解一元二次方程：．2．（2021·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）解方程：；3．（2022·全国·九年级）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0考点三换元法解一元二次方程例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练】1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知，求的值．解：设，则原方程变形为，即∴得t1＝﹣2，t2＝1∴或已知，求的值．2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．解法如下：将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为_____．考点四已知一元二次方程的解求另一个解例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x的方程有一个根是2，则另一个根是（

）A．6 B．3 C． D．【变式训练】1．（2022·江苏南京·二模）关于x的方程x2+bx−2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为_____．考点五根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值例题1：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1，x2，且x1+x2＝4，则m的值为__．例题2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______．【变式训练】1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（

）A． B． C．或3 D．或32．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则___．3．（2022·四川泸州·二模）已知是关于x的一元二次方程两个实数根，且，则a＝______．考点六一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．【变式训练】1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于的一元二次方程有，两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求及的值；(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值？若不存在，请说明理由．2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．一、选择题1．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一元二次方程的根为（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期中）若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（

）A．6 B．5 C．-3 D．23．（2022·江西吉安·九年级期末）已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（

）A．6 B．7 C．20 D．4．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）若是一元二次方程的两个根，则的值为(

)A．3 B．2 C．1 D．5．（2022年贵州省黔东南州中考数学真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．6．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题7．（2022·全国·九年级）方程的根是__．8．（2022·青海海东·九年级期末）关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________．9．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为__．10．（2022·山东·陵城区教学研究室一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是_______．11．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．12．（2022·安徽·舒城县仁峰实验学校八年级阶段练习）对于实数a，b，先定义一种新运算“”如下：ab＝（1）计算：＝_____；（2）若2m＝36，则实数m等于_____．三、解答题13．（2022·山东德州·九年级期末）解方程：(1)(2)14．（2022·河南信阳·九年级期末）解方程：(1)x2－2x－3＝0(2)（x﹣3）2＝2x﹣615．（2022·浙江·乐清市乐成第一中学八年级期中）用适当的方法解方程：(1)．(2)．16．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x的二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，求此方程的根．17．（2022·全国·九年级）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．18．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个实数根满足，求的值．19．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．20．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．专题06因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系考点一因式分解法解一元二次方程考点二十字相乘法解一元二次方程考点三换元法解一元二次方程考点四已知一元二次方程的解求另一个解考点五根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值考点六一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题考点一因式分解法解一元二次方程例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．(1)解：x2﹣4x＝5，移项得：x2﹣4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，∴x-5=0或x+1=0，解得：；(2)解：2（x+1）2＝x（x+1），移项得：2（x+1）2-x（x+1）=0，分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，∴x+1=0或2x+2-x=0，解得：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．【变式训练】1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)；(2)（【答案】(1)或；(2)【解析】【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可；（2）运用公式法解一元二次方程即可；(1)∵∴解得：或；(2)（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得；【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：∴，(2)∴，【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．考点二十字相乘法解一元二次方程例题：（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)．(2)【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）运用十字相乘法解一元二次方程．（2）运用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵∴，解得：或．(2)（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．【变式训练】1.（2022·全国·九年级）解一元二次方程：．【答案】，【解析】【分析】利用十字相乘法因式分解法求解即可．，∴，∴或，∴，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2021·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）解方程：；【答案】，【解析】【分析】利用十字相乘法因式分解法求解即可；【详解】，或，所以，；【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2022·全国·九年级）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0【答案】x1=2，x2=8【解析】【分析】利用因式分解方法求解即可．【详解】解：x2-10x+16=0，因式分解得，(x-2)(x-8)=0，由此得：x-2=0，x-8=0，解得：x1=2，x2=8．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，解题的关键是根据题目要求选取相应的方法求解．考点三换元法解一元二次方程例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论．【详解】解：设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．故选：B．【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．【变式训练】1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知，求的值．解：设，则原方程变形为，即∴得t1＝﹣2，t2＝1∴或已知，求的值．【答案】【解析】【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．【详解】解：设∴即，∴，解得：，（舍去）∴即的值为．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．解法如下：将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为_____．【答案】，【解析】【分析】仿照范例，可以设，则原方程化为一元二次方程：，先解出y的值，再进一步解出x的值．【详解】解：设，则原方程可化为：，解得：y1＝3，y2＝﹣2，（1）当y＝3时，x2＝3，解得x1＝，x2＝，（2）当y＝﹣2．时，x2＝﹣2，此方程无实数根，综合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．考点四已知一元二次方程的解求另一个解例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x的方程有一个根是2，则另一个根是（

）A．6 B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】由根和系数的关系即可求得方程的另一个根．【详解】解：设另一个根为m，由根和系数的关系有：解得故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏南京·二模）关于x的方程x2+bx−2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．【答案】-2【解析】【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到1×t=-2，然后解一次方程即可．【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得1×t=-2，解得t=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为_____．【答案】-4【解析】【分析】设该方程的两根为x1，x2，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，结合“已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1”，即可得到答案．【详解】设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣3，∵该方程的一个根为1，∴另一个根为：﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．考点五根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值例题1：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1，x2，且x1+x2＝4，则m的值为__．【答案】-1【解析】【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．【详解】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1和x2，且x1+x2＝4，∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．例题2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______．【答案】5【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，则【变式训练】1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（

）A． B． C．或3 D．或3【答案】A【解析】【分析】利用根与系数的关系以及求解即可．【详解】解：由题意可知：，且∵，∴，解得：或，∵，即，∴，故选：A【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则___．【答案】2020【解析】【分析】由a，b是关于x的方程的两个实数根得，，，再整理代数式即可求得答案．【详解】解：a，b是的两个实数根，，a+b=2,即，，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出，是解题的关键．3．（2022·四川泸州·二模）已知是关于x的一元二次方程两个实数根，且，则a＝______．【答案】2【解析】【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据建立方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，此方程根的判别式，解得，是关于的一元二次方程两个实数根，，，，，解得或（舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．考点六一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．(1)解：∵一元二次方程有实数根．∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k(2)∵方程的两个实数根分别为，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于的一元二次方程有，两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求及的值；(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值？若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在；或【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；（2）利用根与系数的关系求出两根之和，把x1的值代入计算求出x2，进而求出m的值即可；（3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式计算，判断即可．(1)解：∵关于的一元二次方程有，两个实数根，∴，解得；(2)解：∵，，，∴，∴，解得；(3)解：存在，理由如下：∵，，，∴，∴，整理得，∵，∴，解得，．【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义是解本题的关键．2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．【答案】(1)见解析；(2)，【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可．(1)解：∵一元二次方程，，∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)解：依题意得，，，∵，∴，∴，即，（3a+1）（a-1）=0，解得，；【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，．一、选择题1．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一元二次方程的根为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：解得：，故选：D【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键．2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期中）若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（

）A．6 B．5 C．-3 D．2【答案】D【解析】【分析】设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设方程的另一个根为m，则有m+3=5，解得：m=2，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键．3．（2022·江西吉安·九年级期末）已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（

）A．6 B．7 C．20 D．【答案】D【解析】【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，解出a、b，利用勾股定理得到矩形的对角线长，代入计算出矩形的对角线长即可．【详解】解：设矩形的长和宽分别为a、b，∵x2﹣6x+8＝0∴(x﹣4)(x﹣2)=0∴x=4或x=2，∵长和宽是方程的两个实数根∴a＝4，b＝2，所以矩形的对角线长2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解题的关键．4．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）若是一元二次方程的两个根，则的值为(

)A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程的定义，根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解．【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，∴，，∴，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的定义，根与系数的关系是解题的关键．5．（2022年贵州省黔东南州中考数学真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．6．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】先将方程化为，再根据方程有一个根为x＝5，根据x-1=5求解即可．【详解】解：将关于x的一元二次方程变形，得(m≠0)，令u=x-1，得，关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，关于u的一元二次方程(m≠0)有一个根为u=5，将u=5代入u=x-1，得，解得，x=6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法是解本题的关键．二、填空题7．（2022·全国·九年级）方程的根是__．【答案】或【解析】【分析】将方程右边整体移至左边，再将左边因式分解即可得．【详解】解：移项，得：，将左边因式分解，得：，即，∴或，解得：或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．8．（2022·青海海东·九年级期末）关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________．【答案】-1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可．【详解】解：∵关于x的方程的两根之积为：，∴，∵，∴，解得：．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握及，是解题的关键．9．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为__．【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．故答案为：-2【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2=，x1x2＝．10．（2022·山东·陵城区教学研究室一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是_______．【答案】6或．【解析】【分析】解方程求出两边长，再分类讨论求出面积即可．【详解】解：解方程得，，，当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为；当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为，直角三角形的面积为；故答案为：6或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和勾股定理，解题关键是正确地解方程，分类讨论，求出直角三角形的直角边长．11．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．【答案】20【解析】【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解．【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，∴．故答案为：20．【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．12．（2022·安徽·舒城县仁峰实验学校八年级阶段练习）对于实数a，b，先定义一种新运算“”如下：ab＝（1）计算：＝_____；（2）若2m＝36，则实数m等于_____．【答案】

4【解析】【分析】（1）直接根据定义列出式子求解即可；（2）分进行分类讨论，根据新定义列出关于的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）根据题意：，，，故答案为：；（2）当时，，解得：（舍去），当时，，解得：，（舍去），故答案为：4．【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是理解新定义，依据新定义分情况列出关于的方程．三、解答题13．（2022·山东德州·九年级期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用十字乘法把方程的左边分解因式，再解方程即可；（2）先移项，再把方程的左边利用提公因式的方法分解因式，再解方程即可．(1)解：，∴或解得：(2)，移项得：或解得：，【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解的方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．14．（2022·河南信阳·九年级期末）解方程：(1)x2－2x－3＝0(2)（x﹣3）2＝2x﹣6【答案】(1)x1＝3，x2＝－1(2)x1＝3，x2＝5【解析】【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：x2－2x－3＝0移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即（x－1）2＝4．两边同时开方，得：x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1．(2)解：（x﹣3）2＝2x﹣6∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝3，x2＝5．【点睛】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．15．（2022·浙江·乐清市乐成第一中学八年级期中）用适当的方法解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，；(2)，【解析】【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．(1)解：，，则或，解得，，所以，原方程的解为，；(2)解：，则，或，解得，．所以，原方程的解为，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．16．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x的二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，求此方程的根．【答案】(1)且；(2)x1=0，x2=-1【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根得到∆>0，利用公式求出m的取值范围；（2）由（1）及m为正整数，可得m=1，利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵关于x的二次方程有两个不相等的实数根，∴∆>0，∴，解得；∵，∴且；(2)∵且m≠0，m为正整数，∴m=1，∴该方程为，解得x1=0，x2=-1．【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键．17．（2022·全国·九年级）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．【答案】(1)m≤(2)1【解析】【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．(1)解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．(2)当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2