专题02勾股定理的证明的运用（题型与解法）（原卷版）

专题02勾股定理的证明的运用勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数方法解决几何问题的定理之一，我们需要理解并掌握以下四种常见的证明方法，图形虽然不同，但用到的证明方法都是“面积法”.（一）赵爽弦图以、为直角边，以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．∵，∴．∵，∴，∴是一个边长为的正方形，它的面积等于．∵，．∴是一个边长为的正方形，它的面积等于．∴．∴．（二）刘徽证明方法——青朱出入图如图刘徽证法证法如下：.化简得：.（三）毕达哥拉斯证明方法如图1，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°，得到长方形A’BC’D’.其中：AB=a，AD=b，BD=c.如图：连接BD、BD’、DD’.在△DCB和△BA’D’中，∵AB=BA’，∠C=∠BA’D’=90°，BC=A’D’∴△ABD≌△C’D’B（SAS）∴BD=BD’，∠DBC=∠A’D’B∵∠A’BD+∠A’D’B=90°∴∠DBD’=90°即△DBD’为等腰直角三角形.由题意可知：即：化简得：毕达哥拉斯图形还有其它几种变形，如图2，图3所示.图2图3图2证法如下：大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积即：.化简得：.图3是由图2变化位置而来，证法与图2一致.题型：勾股定理与面积问题如图所示，以QUOTE为直径分别向外作半圆，若QUOTES1=S1=10，S3=8，则S2=如图所示，以QUOTE为直径分别向外作正方形，若QUOTES1=S1=26，S3=18，则S2=如图所示，以QUOTE为直径分别向外分别作等边三角形，若QUOTES1=S1=16，S3=10，则S2=如图所示，以QUOTE为直径分别向外分别作半圆，若AB=3，AC=4，BC=5，则S阴= .如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是()A．S1＋S2＞S3 B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3 D．无法确定中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.如图14，用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决问题：如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积为如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（）A.9B.10C.11D.12如图17所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是()

图17A.6

B.12

C.24

D.30

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感. 图18 图19他惊喜的发现：当两个全等的直角三角形如图18或图19摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图18所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.证明:连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.

∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝QUOTEb2＋QUOTEab，

又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a)，

∴QUOTEb2＋QUOTEab＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a).

∴a2＋b2＝c2.

请参照上述证法，利用图19完成证明.

将两个全等的直角三角形按图19所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=________.如图是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积为．1．下面图形能够验证勾股定理的有（

）个A．4 B．3 C．2 D．12．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（

）A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（

）A．函数思想 B．数形结合思想C．分类思想 D．方程思想4．下面图形能够验证勾股定理的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C． D．6．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤．其中正确的结论个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．下面是一些中外数学家与他们在数学发展史上所作出的伟大成就．a．笛卡尔；b．赵爽；c．杨辉；d．莱布尼茨；①用“勾股圆方图”证明勾股定理；②杨辉三角；③建立微积分理论；④创建坐标系，建立坐标思想．其中匹配正确的一项是（

）A．a③；b①；c②；d④ B．a④；b①；c②；d③C．a④；b②；c①；d③ D．a③；b④；c②；d①8．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为_______________.9．小明将4个全等的直角三角形（其中两直角边长分别是，）拼成如图所示的五边形，则五边形的面积表示为___________．10．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是________（填写数字序号即可）．11．综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形．(1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由．(2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______．(3)在图②中，，，连接，求图②中的长．12．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．(1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）(2)已知：两数x，y满足，，求的值．(3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）13．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)证明勾股定理据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．(2)应用勾股定理①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．②应用场景2——解决实际问题．如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．15．（1）用如图所示的两个大小完全相同的长方形和一个正方形拼成了一个世界数学年会的会徽图案．①利用图②证明：②若拼成的大正方形面为169，小正方形的面积为49，求值．（2）若利用图①拼成如图③图形，延长交于点，连接．在（1）中②的条件下，则___________．16．我们运用图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，由此推导出一个重要的结论，，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．(1)请你用图（II）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）(2)请你用图（III）提供的图形组合成一个新的图形，使组合成的图形的面积表达式能够验证．画出图形并做适当标注．(3)请你自己设计一个组合图形，使它的面积能验证：，画出图形并做适当标注．17．综合与实践．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明．(2)业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，．请你利用这个图形说明．(提示：连接，)18．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为．(1)结合图①，求证：；(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积．19．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成一个关的正方形（如图1），这个长方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，称为勾股定理．爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．20．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．(1)请结合图，写出完整的证明过程；(2)如图，在等腰直角三角形中，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，当时，则___________．21．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：(1)用语言叙述勾股定理；(2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；(3)利用勾股定理来解决下列问题：如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由）22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．(1)请结合图①，写出完整的证明过程；(2)如图②，在等腰直角三角形中，，，P是射线BC上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点D作于点E，当时，则___________．23．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．(1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；(2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；(3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值．24．在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)；(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证25．综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．26．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出、和的数量关系：___________．27．2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形．(1)请你利用图2证明勾股定理；(2)如图3，以为直径画圆O，延长交于点E，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；(3)若，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示）28．阅读材料，回答问题：(1)中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为和，那么斜边的长为．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么，，，三者之间的数量关系是_____．(2)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：，，_____，且_____=_____，，整理得，_____．(3)如图，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长．29．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：(1)________，__________，___________，则它们满足的关系式为___________