基本不等式与其他章节的融合-2024年高考数学三轮复习专项突破训练（新高考九省联考题型）（解析版）

决胜2024年高考数学三轮冲刺

热点专项突破训练(12)基本不等式与其他章节的融合

高考预测

基本不等式是非常经典的题型，有一定的难度，方法无常，很受命题者的青睐。高考

命题中，常常会在选择题或填空题中出现，经常与指数函数、对数函数、三角函数、解析

几何等放在一起考查。解决这类问题往往可以基本不等式模型以及减元思想入手加以探寻

解答。

方法技巧

L直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系

2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况

(1)类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

(2)类型2：分母为多项式时

①观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系;

②待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为3〃+4b与〃+3Z7,分子为々+2Z?,

设〃+2人=/1（3々+4b）+〃（々+3人）=（3/1+〃）〃+（44+3〃）人

A=-

3%+〃=15

，解得：

4A+3//=22

4.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式

的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

真题呈现

选择题

22

1.（2021年新高考1卷5）已知尸i，?2是椭圆C：七+匕=1的两个焦点，点M在C上，则幽尸1卜|时心|的

94

最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由题,。2=9,扭=4,则幽尸1|+遭尸21=2。=6,

所以•\MF2\<产:吗2=9（当且仅当〔MF/=附七|=3时，等号成立）.

故选：C.

2.（2021•浙江•统考高考真题）已知尸,7是互不相同的锐角，则在sinacos6,sin尸cosy,sin/cos二

三个值中，大于3的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】由基本不等式有sinecos/7Va；cos-夕,

日工用.q,si•n2pc+cos2y.,sm•2/+cos2a

I可埋sinpcosy<-------------—,sinycosa<-----------,

3

故sinacos尸+sin尸cosy+sin/cosa-~^

故sin。cosP，sincos/,sin/cosa不可能均大于;.

Hi冗c1兀

取&="，B=r7=:

。34

则sinacosQ=；<；,sin0cosy=^~>g,sin7cosa

42

故三式中大于3的个数的最大值为2,

故选：C.

二.填空题

L（2021高考天津）若a>0,6>0,则工+=+6的最小值为___________.

ab

【答案】2&

【解析】：Va>0,^>0,■,l+±+b>2j---^+b=-+b>2.pb=2y/2,

ab2v<2b2bVb

当且仅当一=二且一=人即a=心=万时等号成立，所以工+9+6的最小值为2血.

ab~bab-

故答案为：2立.

2.（2022年全国高考甲卷数学（文）•）已知AABC中，点陆边比上，

ZADB=120°,AD=ZCD=2BD.当——取得最小值时，BD=________.

AB

A

【答案】代-1或-1+代

【解析】设CD=2BD=2m>0,

则在中，AB2=BEr+AD2-2BD-ADcosZADB=zn2+4+2机，

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4病+4-4m_4"+4+2时-12(1+»7)_彳_12

所以AB2一m2+4+2mm2+4+2m(.,3

m+l)+——

'7m+1

>4——12=4-2^

2、(m+1).^—

Vv7m+1

3

当且仅当加+1=—；即根=有-1时,等号成立,

771+1

AC_

所以当去取最小值时，根=6-1.

AB

故答案为：括-1.

4

3.(2019•江苏•文理•第10题)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+?(x>0)上一动点，则点

P到直线x+y=0的距离最小值是.

【答案】4

卜+”|2/42

【解析】法1：由己知，可设尸(x,x+T),尤>0,所以d=J_、广*=4.

%y/2yJ2y/2

AL

当且仅当2x=e,即苫=点时取等号，故点尸到直线的距离的最小值为4.

X

法2：距离最小时，y'=l-4=-l>则尤=0，所以尸(夜,30),所以最小值为4.

%

故答案为：4

4.（2018年高考数学江苏卷•第13题）在△ABC中，角A,民C所对的边分别为凡瓦c,ZABC=120°,

NABC的平分线交AC于点2,且3D=1,则4a+c的最小值为.

【答案】9

【解析】由题意可知，=SMBD+S2CD'由角平分线性质和三角形面积公式得，

—acsin120=—（2xlxsin60+—cxlxsin60»化简得册=a+c,—+—=1,因止匕

222ac

4a+c=(4a+c)(—+-)=5+—+—^5+2J—•—=9,当且仅当c=2a=3时取等号，所以4a+c的最小值

acac

为9.

故答案为：9

5.（2014•江苏）若△/式的内角满足sin/+2sin5=2sinC,贝Ijcos由］最小值是.

【答案】4

【解析】由正弦定理得之+12。=2°,得（H+J26）,

由余弦定理得cos已

2ab

2ab42ab

32

当且仅当=时，取等号,

<COS6<1,故COS冰I最小值是

故答案为:

4

6.（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=尤+刍（尤>0）上一动点，则点尸到直线

元+y=0的距离最小值是.

【答案】4

4

x+x+—

42x+-

【解析】法1：由已知，可设尸（%,%+—）,%>0,所以d=%

x~ir

当且仅当2x=d,即x=0时取等号，故点P到直线的距离的最小值为4.

X

法2：距离最小时，y'=l-4=-l>则工=及，所以尸（夜,3近），所以最小值为4.

故答案为：4

模拟题呈现

一.选择题

1.（2024•高三校考）在AABC中，已知4=60。，BC=2,如比的中点，则线段长度的最大值

为（）_

A.1B.jC.J~3D.2

【答案】C

【解析】由余弦定理得/=fa2+c2-2bccosA=b2+c2—bcf

即4=b2+c2—be，即房+=4+be，

所以4=b2+c2—be>be，

••be<4,当且仅当炉。时等号成立.

因为而=|(AB+7C),

所以前2=^(AB2+AC2+2AB-AC)=^c2+b2+2cb=i(b2+c2+be),

=：(4+be+be)<(4+8)=3,

•••同邛,

故选：C.

2.(2024•高三校考)在直三棱柱ABC-AgG中，ZBAC=6O°,侧面的面积为，则直三

棱柱A2C-$与G外接球的表面积的最小值为（）

C.4后D.8.71

如图，设AABC的外接圆半径为,，直三棱柱外接球的半径为R.

由正弦定理，得以2=2r,所以BC=#r，

又因为侧面BCC国的面积为273,所以3c•e=，

2

所以的=—,

r

而2奴-'=2,

r

ii

所以笈二产+22,当且仅当产==,即一1时，R2取得最小值2,

rr

所以直三棱柱外接圆的表面积的最小值Smin=4兀尺2=8兀.

故选：B

->3-►

3.（2024•高三校考）AABC中，。为AC上一点且满足CD=：C4,若P为BD上一点,且满足

AP=XA3+〃AC,4〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.久”的最小值为二B.加的最大值为1

C.；+；的最大值为16D.J+；的最小值为4

X4/724〃

【答案】D

—.3—■

【解析】AB选项，因为8,所以AC=4赤，

4

故AP=AAB+/biAC=AAB+4〃AO,

因为民P,D三点共线，设方=相茄，^AB-AP=mAD-mABf

故AP=（l+mjAB—mAD,

令4=l+m,4〃=一根,故4+4〃=1,

为正实数，由基本不等式得力+4〃=122折石=4麻，解得

16

当且仅当兄=上〃=:时，等号成立，所以场的最大值为J,AB错误;

2816

"+4〃)=1+1+¥+力2+2件第

CD选项,=4,

当且仅当手，即八时，等号成立，C错误，D正确.

故选：D

4.（2024•高三校考）（多选）在人"C中，角A氏o的边分别为.八0,知8=6。"b=4,则下列判

断中正确的是（）

A.若A=?贝。=生色9

B.若〃=5,该三角形只有一解

43

C.AABC周长的最小值为12D.AABC面积的最大值

【答案】AD

在中，正弦定理得二:=三

【解析】对于A,8=60°,6=4,A=y,AABC

4sinBsinA

4也

Z?sinA*24^6,,十也

贝!J4=[——=7=~=-^―，故A正确；

sinB3

2

9心

X

ba2-2

对于B,由正弦定理得,所以sinA=©0--<

sinBsinA

b

又因为。>6,所以/>6,故A有两个解，故B错误;

对于C,由余弦定理得〃=Q2+b2—2accos3,

16——ac=（a+c）~—3QCN（Q+C）—］（a+c）=］（4+。），

所以〃+c<8,当且仅当。=c=4时等号成立，此时三角形为等边三角形，周长取得最大值，为12,故

C错误；

对于D,由选项C得16=/+°2一〃cN2ac-Qc=ac,即。c<16,当且仅当a=c=4时等号成立，

所以LBc=gacsinB=¥acV4Q,

所以AABC面积的最大值4石，故D正确,

故选：AD.

5.(2024•重庆•模拟预测)（多选）在平行六面体ABC。-A31Goi中，已知

ZDAB=ZA.AB=ZA.AD=60c,AQ=1,若A8=x,AD=y,A41二z,则（）

y+z的最大值为名叵

A.V+y+zZ的最小值为gB.

3

C.x+y+z的最大值为且孙z的最大值为逅

D.

26

【答案】AC

z>0,

——►—.1—►—.1

贝岫题意志通二网由cos60。=%，=xz

同理A5・AA~，AD-A4j=—yzf

所以AC：=(A6+AE)+A4j)=x2+y2+z2+xy+xz+yz=1,

?x2+z2/+z2

—>xy,——-——>xz,——-——>yz,

2

22f222

所以盯+r+vz222

1=%2+/+z?+%z+yz«%2+J+z?-----------1-----------1_^^=2(X+y+z),

得f+V+zZ2g,当且仅当:二工+孙+XZ+E即-邛时等号成立，故A正确,

,2

=x2+y2+z2+xy+xz+yz=—+=+三—+xy+xz+yz>2(xy+xz+yz)

222

122223

i^xy+xz+yz<—f(x+y+z)=x+y+z+2xy+2xz+2yx=\+xy+xz+yz<-,

故冗+y+zwYI,当且仅当x=y=z=X^时等号成立，故C正确，

26

3

因乐y,z>0,1=^+y2+z2+xy+xz+yz>y2+z2+yz=(y+z)2-yz>—(y+z)2

49

最后等号成立条件为>=Z,所以y+z<竽，故B错误,

]=+9+z?+冲+xz+yx23^]x2y2z2+3^Jxy-xz-yz=6^x2y2z2,

,____娓娓

43/222/1xyz<—x=y=z=——

所以6#xyz<1；得36,当且仅当,6时等号成立，故D错误，

故选:AC

6.（2024•重庆•统考一模）（多选）已知3"=5"=15,则下列结论正确的是（）

A.Iga>IgbB.a+b^ab

D.a+b>4

【答案】ABD

【解析】由题意得。=log315>log31>0,Z>=log515>log5l=0,

O<—=log3,O<-=log5,贝！则a>6>0,

a15b15ab

对A,根据对数函数y=lgx在(O,+8)上单调递增，贝!|lga>lg>，故A正确；

对B,因为^+!=logi53+log|55=l,即*=1,则。+6=。6,故B正确；

abab

对C,因为a>人>0,根据指数函数y=(gj在R上单调递减，则故C错误；

对D,因为a>Z?>0,—F—=1,

ab

,/1入bJba/

a+b=(a+b\\—+—=2H----(-->2+2./------=4,

'\ab)ab\ab

当且仅当々=匕时等号成立，而显然a】b,则a+b>4,故D正确；

故选：ABD.

二.填空题

1.(江苏省扬州中学2023届高三下学期5月适应性考试)已知FI,尸2是椭圆?+?=1的左，右焦点，

过点尸2的直线与椭圆交于4晒点，设△48%的内切圆圆心为/,则tan/MB的最大值为

【答案】J!，

3

33N

【解析】因为I为AABFi的内切圆圆心,则NF1AF?=2NIAB,

显然NIAB是锐角，当且仅当NIAB最大时，tan/IAB最大，且/FiAF?最大,

又NF1AF2G(0,it),即有cos/FiAF2最小，

在椭圆3+1中，|F]A|+|F2Al=4,尸近2|=2,

|F]A|2+|F2A|2一|F1F2『(|F]A|+|F2A|)2-正/2|：2

在aFiAF2中，cosNFiAF2=----1

2|F]A||F2Al2|F]A||F2Al

11=

2|F1A||F2A|一-|F1AI+IF2A|2-2,当且仅当*A|=|F2Al=2时取等号,

(2)

因此当|F］A|=|F2Al=2,即AFiAF2为正三角形时，公收?取得最大值?，NIAB取最大值看，

所以tan/IAB的最大值为tan2=£-

63

故答案为：g

3

2.(2024•高三校考)等差数列■刀｝的公差dWO满足外,%，八成等比数列，若。尸1，柞是｛〃〃｝的前n项

25+16

和，则一7丁的最小值为

4+3------------

【答案】4

【解析】:成等比数列，al=l,

：.(l+2d)2=l+12d,d#0,

解得d=2.

an=l+2(n-1)=2n-1.

n(n-\\

Sn=n+-------X2=n2.

2

...2S“+；6=2r+16=(〃+l)2-2(〃+l)+9=n+i+2-2^2./(n+l)x^-2=4,

凡+32n+2n+1“nV)1+n

92S+16

当且仅当n+l=4时取等号，此时n=2,且取到最小值4,

故答案为4.

3.(2024•高三校考)已知圆C：尤2+f-2x-4y+l=0,过点A。/)的相互垂直的两条直线分别交圆

C于点M,N和P,。，则四边形MQNP面积的最大值为.

【答案】7

【解析】圆C：x2+y2-2x-4y+l=0,即：(x-l)，+(y-2)2=4,点A(l,l)在圆C内部,

设圆心C到直线PQ和的距离分别为4，d2,则有：

|尸0=2/“，即|=254-询,且42+d；=|cA「=l,

所以，四边形MQNP面积S=g|P4|MN|=2口^•万至交］的除义］=7,

当且仅当4=4=［时等号成立，故四边形MQVP面积的最大值为7.

故答案为：7

4.(2024•河北邯郸•三模)记min｛x,y,z｝表示x,y,2中最小的数.设。>0,b>0,贝!!

min卜的最大值为.

【答案】2

【解析】若则此时min[a，!」+3z4=min[a,，+3/4，

b[baJ[aJ

因为〃（，+3b[=l+3abW4,所以。和！+36中至少有一个小于等于2,

）a

所以min]a,—I-3Z??<2,又当〃=2,b=工时，a=———+3b=2,

IaJ2ba

所以min*U+3”的最大值为2.

若〃>L则H?>1,此时向：〃，…+3/4=11]111£,+3/4,

b[baJ[baj

因为。[，+3.=L+3<4,所以[和1+36中至少有一个小于2,

b\aJabba

所以疝1114，!」+3。<2.

LbaJ

综上，minldJP+sbl的最大值为2.

[baJ

故答案为：2

5.（2024•高三校考）抛物线V=2px（p>0）的焦点为歹，已知点A,8为抛物线上的两个动点，且

n\MN\

满足NAEB=120°，过弦A5的中点M作准线的垂线MN,垂足为N,则1二二的最大值

\AB\

为.

【答案】也

3

【解析】“件如图所示，SIAF\=a,\BF\=b,连接”、BF由抛物线定义，得I

"InI,

AF\=\AQ\,\BF\=\BP\在梯形ABPQ中，2\MN\=\A^+\BP\=a+b.由余弦定理得，

|AB|2=a2+b~-2abcosl20°=a~+b2+ab配方得=Qa+b)°-ab,又atW(

:Xa+by-ab>Ca+by--Qa+by=-(tz+Z?)2得至UI@(a+b).所以

442

；（a+H6

,即磊的最大值为乎

由汨L

故答案为：昱

3

押题呈现

一.选择题

12

1.已知AABC,点。在线段BC上（不包括端点），向量而=x旃+y/，一+一的最小值为（)

xy

A.2A/2B.272+2

C.20+3D.2G+2

【答案】C

【解析】“BC,点。在线段BC上（不包括端点），

故存在2,使得诙=4元，即而-通丽，即通=2恁+。-几）通，

因为向量而=xZ5+y正，所以y=4x=l-2,

可得x+y=1,

x>0,y>0,由基本不等式得

雪2/雪2]（尤+同=1+2+2+生23+2,市=2夜+3,

xyy）xyxy

当且仅当>=缶，即y=2-四,x=£-l时等号成立.

故选：C.

TT2兀

2.若不等式4sin?%+（4—2a）sin%+5—々NO在]£—时恒成立，则实数〃的取值范围是（）

1_63_

A.（-8,4]B,[Y,4]C.（-℃,2]D.卜%

【答案】A

【解析】解析依题意知，4sin2x+（4-2tz）sinx+5-^>0<^>4sin2x+4sinx+5>（2sinx+l）<7,

兀271

结合xw—，知2sinx+l>0,

63

不等式转化为4sinO+4sinx+5z。,(4sin2x+4sinx+5

须〔2sin尤+1人>a.

2sinx+1

'门.,兀2兀知fe1,1

设r=sinx,由无£>--

63

4r+4r+54I4―

设g(f)==2/+l+------>2j(2t+l)x--二--4--,-

2t+l2Z+1V72/+1

兀

当且仅当2r+l=4},即/==1,x=B时等号成立，

因此实数。的取值范围是（「00'4】.

故选：A

22

3.已知耳，F?分别是椭圆E：二+与=1（。>>>0）的左、右焦点，若在椭圆E上存在点M,使得

ab

居的面积等于2/sinN片加色，则椭圆E的离心率e的取值范围为（）

人[刊儿唱，肾]A例

【答案】A

2

【解析】依题意，S«M眄=；I哂I-I炳IsinZFtMF2=2bsinZFtMF2,而sinZFtMF2>0,

则有|*|.L|=4〃，由椭圆定义知：2o=|MF；|+|MK|N2M^rWri=46,

当且仅当I"41=1"41=28,即“=26时取“=”，

于是有则e，=J1-自。Z*,又e<l,即有Y^Ve<l,

a2a\a22

T5

所以椭圆石的离心率e的取值范围为L<

故选：A

4.在三棱锥P-ABO中，PO1平面AB。，OBLBA,O8_L8尸于H,AP=4,C为P4中点，则三

棱锥P-"OC的体积最大值为（）

【答案】B

【解析】因为P01平面AB°,A°、ABu平而AB°,所以PO,AB,PO1AO,

OC=-PA=2

因为C为丛的中点，则2

又因为OB_LBA,OBIPO=O,OB、POu平面BOP,所以AB工平面BOP,

又OHu平面5QP,则AB_LOH,

又OHLBP,而43口族=3,AB、BPU平面ABP,所以。HL平面MP,

又CF/u平面ABP,所以6WC/f,贝ijOa2+a/2=OC2=4,

设点P到平面OCH的距离为h,

iiiiiCH24.CH?o

%--SAnrH-h=OHCHh<-OHCHPC<--x2=-

所以3326623,

当且仅当°H=S且尸CL平面COH时，等号成立,

2

故三棱锥尸一的体积的最大值为W,

故选：B.

5.（多选）设AABC的内角ABC的对边分别为a,4c,0=2否，A=g,下列结论正确的是（）

A.若6=岳，则满足条件的三角形只有1个

B.AABC面积的最大值为3相

C.AABC周长的最大值为6g

D.若AABC为锐角三角形，则?的取值范围是1g,2）

【答案】BCD

Z?sinA=<a<^5

【解析】对于A,因为2,2,

所以满足条件的三角形有2个，故A错误；

对于B,由余弦定理得/=/+C2-2）CC°SA,gp12^b2+c2-bc>2bc-bc=be,

所以6cW12,当且仅当。=c=26时取等号，

SAA”--besinA=——be<3A/3

所以24,

所以AABC面积的最大值为3月，故B正确；

对于C,由余弦定理得/=〃+,_2历cosA,

12=/+c2-bc=（b+c）2-3bc>（b+c）2-地+。）

即4所以

当且仅当。=c=2Q时取等号，

所以AABC的周长/=2右+6+。〈6括，

所以AABC周长的最大值为6班，故C正确;

1.R.A/3R

—sinCH-----cosC

1

22H—

对于D,由正弦定理得csinCsinCsinC2tanC2,

0<c<—o<—c<一

因为AABC为锐角三角形，所以2,32,

McMtanC>且L?<2

即62,3,所以2c,故D正确.

故选：BCD.

二.填空题

1.已知正数x,W荫足x+y=6,若不等式avR+上二恒成立，则实数a的取值范围是

x+1y+2

【答案】（-8,4]

【解析】因为x+y=6,

所以r=_^L+V=（x+l）--2（x+l）+l+（y+2]-4（y+2）+4

x+1y+2x+1y+2

।1c44cl4

=x+l-\--------2+y+2-I----------4=3-1--------1--------

x+1y+2x+1y+2

llitc14x+l+y+2（1

所以，=3+—-+―-=3+——/1

x+1y+29x+1y+2

32।y+2J（X+1）>32|2Iy+2,4（X+1）-1

99（x+l）9（y+2）~9~、9（x+l）9（y+2）

等号成立当且仅当y=4,x=2,所以（三，+二]=4,

«<4,

（\x+1，y+2/m].in

故实数a的取值范围是（-8,4]

故答案为：（-也,4]

14

2.设方为正项等差数列｛an｝的前n项和.若52023=2023,则丁+厂的最小值为_________.

"u4u2020

【答案】I

【解析】由等差数列的前n项和公式，可得S.3=20236卡2。23）=可得+=2,

又由a】+a2023=+^2020=2且>0,a2020>°，

所以（+｝=~（%+%。2。）6+上）=/[5+（等+鲁）]之/（5+2旦旦）=3当