天津市和平区2024届高三下学期二模考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市和平区2024届高三下学期二模考试数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数，所以的共轭复数．故选：C．2.若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等价于，使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A．3.为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2步进行分析：首先选取种相同课外读物的选法有种，再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，所以这两人选读课外读物中恰有1种相同的选法共有种．故选：B．4.已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是偶函数，则，又函数为偶函数，则，即，所以函数是周期为2的函数，则，，且当时，是减函数，由可得，即.故选：C.5.已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（）A.B.C.不等式的解集为D.函数的图象的对称中心为〖答案〗C〖解析〗由图象可知，，所以，所以，所以，将代入得：，所以，由于，所以，所以，故A错误；，故B错误；由，所以，所以，解得，即不等式解集为，故C正确；令，解得，所以的图象的对称中心为，故D错误.故选：C.6.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗作出四棱锥，如图：根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6，正四棱锥高为，设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于，则高线与斜高的夹角为，则，则,，，这个正四棱锥的内切球的体积为．故选：B．7.过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为，直线关于直线对称时，与直线垂直，所以直线的方程为，由解得，所以.故选：A.8.已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗抛物线：的焦点为，依题意可得，直线方程为，即，联立，可得，解得或，又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为，由，所以，在点处的切线斜率为，又在点处的切线平行于的一条渐近线，双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的渐近线方程为．故选：D．9.平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，，可得，故，又，所以，以为直径作圆，则，，，四点共圆，如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），则，又表示在上的投影，由图可知，，，故（此时点在劣弧的中点位置），即的最小值为．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.设集合，，，则______．〖答案〗〖解析〗，，故.11.在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗二项式的展开式通项公式为．令，解得，故展开式的常数项为．12.过点作曲线y=2xx∈R〖答案〗〖解析〗设切点的坐标为，由，y'=2所以过切点的切线方程为：，把代入得：-2t=-t⋅2所以t=1ln2，则切点坐标为：即13.为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为______；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则，，，所以，，若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率，若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率．14.已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项．〖答案〗〖解析〗因为，当时，，解得；当时，，两式相减得，即，经检验当时也成立，所以；因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号．所以数列的最大项为第项.15.已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．〖答案〗,,．〖解析〗方程，即，结合，得，原方程可化为，①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意；②，记，的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值，因为在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为，结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；③，则，在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为，的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值，当时，即时，函数的最小值，观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；当时，函数的最小值，方程即的根的判别式△，且方程即的根的判别式△，结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意．综上所述，或，即实数的取值范围是,,．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（1）求角B的大小；（2）求b的值；（3）求的值．解：（1）因为，由正弦定理有，因为,所以，所以，即，由于B∈0,π,所以，故，解得；（2）因为，所以由余弦定理，即，解得；（3）由正弦定理有，有，因为，所以为锐角，故，又，则，．17.如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点D到平面的距离．（1）证明：因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，设长为，则，，因为，所以，则有，．所以，，，，，，．因为，，设平面的法向量为，则，令，则，又因为．所以，所以，又因为平面，所以平面．（2）解：因为为中点，所以，则，有，又，设直线与平面所成角为，，则直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：因为，平面的法向量为，所以，点D到平面的距离为．18.已知为等差数列的前n项和，，．（1）若为数列的前n项和，求；（2）等差数列满足，数列满足．（i）求数列与数列的通项公式；（ii）求．解：（1）设数列an公差为，由公式，，有，求得，即，所以．设，前项和为，．当时，．当时，．所以（2）（ⅰ）设数列bn公差为，由（1）得，又，即，解得，所以．.（ⅱ），设，，①，②①－②得，．所以，．设，所以，．．所以，．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．（1）求椭圆的离心率；（2）是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，，解得，又因为，所以．（2）设直线的方程为，椭圆的方程为，设点，联立方程组，整理得，解得，①，直线AF方程为，设点，，联立方程组，解得，②，又因为，设，则有，即，所以，所以．所以，则有，代入①②有，解得，由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件．20.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，，且an>0.求证：当，且时，不等式成立.（1）解：当时，函数，函数定义域