河南省周口市4校2024届高三下学期高考押题卷一（5月联考）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省周口市4校2024届高三下学期高考押题卷一（5月联考）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以.故选：B.2.已知复数，i为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗，因此复数的虚部为.故选：D.3.已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，，则，设，则，所以，故的离心率为.故选：C.4.设为等差数列的前项和，已知，，则（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列，且，，可知首项为4，公差为2，所以.故选：B.5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由题意可知，，解得，设圆锥的底面圆半径为，则，所以，则该圆锥的高为，设该圆锥的外接球的半径为，由球的性质可知，，解得，所以该圆锥的外接球的面积为.故选：C.6.2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（）A.243种 B.162种 C.72种 D.36种〖答案〗B〖解析〗先安排甲、乙两人，有种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有（种）方法.故选：B.7.已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，由题意可知，，，，故，因为，所以，则.故选：A.8.已知函数的定义域为，，当时，，则（）A.B.为奇函数C.D.在上单调递增〖答案〗D〖解析〗取时，，解得，A错误；令，则，所以，所以不是奇函数，关于点对称，B错误；由上知，所以，C错误；对于任意正实数，，，则，当时，，即，所以，所以在上单调递增，D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设为互不重合的两个平面，m，n为互不重合的两条直线，则下列命题正确的是（）A.若，，，则B.若m，n为异面直线，且，，，，则C.若m，n与所成的角相等，则D.若，，，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由，得，又，所以，故A正确；对于B，在空间取一点，过点分别作，，则与确定一个平面，由，，得，，所以，同理，所以，故B正确；对于C，当m，n相交，且与都平行时，m，n与所成的角相等，此时与不平行，故C错误；对于D，由，可知，在上取一点，过在内作一直线，使得，则，过在内作一直线，使得，则，显然，则，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（）A. B.C.的图象关于点12,0对称 D.在上单调递减〖答案〗AC〖解析〗由图可知，由，解得（负值舍去），所以，解得，A正确；则，将点代入得，，即，由于在的增区间上，且，所以，B错误；因为，令，，解得，，取，则关于点12,0对称，C正确；令，，解得，，取，则在上单调递减，D错误.故选：AC.11.已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.为定值D.钝角三角形〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知，，所以，则，其准线方程为.对于A，设过点的动直线的方程为，代入得，，，设Mx1,y1，N则，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，，解得，所以，B正确；对于C，为定值，C正确；对于D，，所以为钝角，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组从小到大排列的数据：a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则__________.〖答案〗10〖解析〗因为，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为，其极差为，所以，解得.13.已知，则__________；__________.〖答案〗2〖解析〗由得，，所以；.14.已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗不妨设x轴上定点使得满足，Mx1,则，整理得，，又，所以，则，解得，所以，使得，要使最小，则最小，所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.故的最小值为点B到直线的距离.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记为正项等比数列的前项和，已知，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，证明：.（1）解：设等比数列的公比为，由可知，，则，得，解得（负值舍去），将代入，解得，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）得，，则，可得，两式相减可得，可得.因为，可知数列为递增数列，则；综上可得.16.甲、乙两人进行足球射门训练，设有I、II两个射门区，约定如下：每人随机选择I区内射门或II区内射门，在I区内射门，进球得1分，不进球得0分；在II区内射门，进球得3分，不进球得0分.已知甲每次在I区内射门进球的概率均为，每次在II区内射门进球的概率均为；乙每次在I区内射门进球的概率均为，每次在II区内射门进球的概率均为，且甲、乙两人射门进球与否互不影响（甲、乙各完成一次射门为一次射门训练）.（1）在一次射门训练中，求甲、乙都得0分的概率；（2）若3次射门训练中，表示甲、乙得分相等的射门训练次数，求随机变量的分布列与数学期望.解：（1）在一次投篮中，甲选择I区内射门进球得1分的概率为，不进球得0分的概率为；甲选择II区内射门进球得3分的概率为，不进球得0分的概率为.乙选择I区内射门进球得1分的概率为，不进球得0分的概率为；乙选择II区内射门进球得3分的概率为，不进球得0分的概率为故一次射门训练中，甲、乙都得0分的概率为.（2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，由（1）可知，一次射门训练中，甲、乙得分相等的概率为，则，所以，，，，故X的分布列为X0123P所以.17.如图，平行六面体中，底面与平面都是边长为2的菱形，，侧面的面积为.（1）求平行六面体的体积；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）连接，，因为底面与平面均为菱形，且，所以与均为等边三角形，取AB的中点，连接，，则，，则，因为侧面的面积为，所以的面积为，则，所以，则.在中，，则，所以，所以.因为，平面，所以平面，故平行六面体的体积.（2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，，设平面法向量为m=x1由得取，则.设平面的法向量为，，由得取，则，于是.设平面与平面的夹角为，所以.18.已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点.（1）解：由椭圆的焦距为得，，则.设Px1,y1，Qx2两式作差得，，所以，即，所以，所以，所以，则，解得，.故椭圆的方程为.（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，直线的方程为，将其代入得，，显然，则，所以，将代入直线的方程，解得，所以，同理得，所以，得，即，整理得，所以，因此直线的方程为，令，即，则，所以直线过定点.19.已知函数.（1）当