贵州省遵义市2024届高三第二次模拟测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省遵义市2024届高三第二次模拟测试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据11，12，13，15，16，13，14，15，11的第一四分位数为（）A.11.5 B.12 C.12.5 D.13〖答案〗B〖解析〗样本数据由小到大排列为11，11，12，13，13，14，15，15，16，由，得样本数据的第一四分位数为12.故选：B.2.已知数列的前项和，则（）A.16 B.17 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗依题意，，，所以.故选：D.3.已知单位向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由平方可得，即，则，则，又，所以，故与的夹角为.故选：B.4.已知集合，，若，则整数的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗A〖解析〗因不等式或，解得或，所以或，因为，所以，解得，则整数的值为，故选：A.5.若函数在上有且仅有一个零点，，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗当时，，由在上只有一个零点，得，解得，由，得，解得，所以.故选：C.6.已知平面满足，下列结论正确的是（）A.若直线，则或B.若直线，则与和相交C.若，则，且D.若直线过空间某个定点，则与成等角的直线有且仅有4条〖答案〗D〖解析〗在正方体中，平面，平面，平面两两垂直，令平面为平面，平面为平面，平面为平面，对于A，直线，，当为直线时，，A错误；对于B，，当为直线时，，B错误；对于C，，当为直线时，，C错误；对于D，在正方体中，直线相交于点，它们与平面，平面，平面所成的角都相等，而正方体过其中心的直线有且只有4条直线与该正方体各个面所成的角相等，过空间给定点作直线平行于直线之一，所得直线与与所成角相等，因此直线过空间某个定点，与成等角的直线有且仅有4条，D正确.故选：D.7.已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，点到渐近线的距离为，所以，因为，，所以，所以，因为，所以，得，则，在中，由正弦定理得，即，得，由双曲线的定义知，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以离心率为.故选：A.8.已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（）A. B.的周期为4 C.关于对称 D.在单调递减〖答案〗C〖解析〗由，，可得，可设，由，即，则可取，即进行验证.选项A：，故选项A不正确.选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.选项D：由于周期函数，则在不可能为单调函数.故选项D不正确.选项C：,又，故此时为其一条对称轴.此时选项C正确,故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则的最小值为2〖答案〗BC〖解析〗对于A，等价于，当时，显然不成立，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，，，，故C正确；对于D，，，，所以，所以，所以当时，的最小值为2，此时，显然不满足，故D错误.故选：BC.10.关于复数，下列结论正确的是（）A.B.若C.若，则D.若，则在复平面内对应的点的轨迹为一条直线〖答案〗AD〖解析〗对于A，设，则，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，，则，而，因此，C错误；对于D，设，由，得，因此在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，D正确.故选：AD.11.已知平面内曲线：，下列结论正确的是（）A.曲线关于原点对称B.曲线所围成图形的面积为C.曲线上任意两点同距离的最大值为D.若直线与曲线交于不同的四点，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，在曲线：中，分别换方程不变，因此曲线关于原点对称，A正确；对于B，当时，，即表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧，圆弧端点，，，则，，扇形的面积，在曲线的方程中，用换或者用换方程都不变，则曲线关于对称，也关于轴对称，所以曲线所围成图形的面积为，B错误；对于C，由选项B知，曲线在第二象限、在第三象限、在第四象限内的部分分别是以点为圆心，半径为的圆弧，圆心角都等于，由图知，两个点分别在两段圆弧上时，两点间的距离才可能最大，由圆的性质知，当两个点在相邻两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于，当两个点在相对两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于，而，所以曲线上任意两点同距离的最大值为，C正确；对于D，直线交轴于点，交轴于点都在曲线在第四象限的圆弧下方，点到直线的距离，于是直线曲线无公共点，且在曲线的下方，当时，直线在曲线的下方，与曲线无公共点，D错误.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.三角形中，角所对的边分别为，若，则_____________．〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理及，得，而，则，两边平方得,于是，而，则，于是，，而，根据大边对大角，不可能是钝角，所以.13.某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有_________种．〖答案〗65〖解析〗从8名同学中任选4名，有种方法，其中全是女生的选法有种，所以不同的选派方案共有（种）.14.如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为_________________；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为_____________________.〖答案〗〖解析〗取，的中点，连接，则且，则点在正方体内运动所形成的图形为四边形，又在正方体中平面，且平面，则，所以四边形为矩形.又，则又，所以，即，由上可知平面，且平面，则，由，且平面，平面，所以平面.当点在正方体内运动所形成的图形为四边形时，平面，所以满足，此时，，面积为.由上可知为平面与底面所成角.则，则，故，设截面椭圆的中心为，长轴为，短轴为，过椭圆的短轴作与圆锥的底面平行的截面分别交母线于两点.设该截面与圆锥的轴所成角为，则，则，设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为，则.，由相交弦定理可得：，在中，，所以，即，在中，，所以，即，设椭圆的离心率为，则，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线过点，抛物线．（1）若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程；（2）若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程．解：（1）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，，由消去y得，，解得，，由中点的横坐标为3，得，解得或，所以直线的方程为或，即或.（2）当直线的斜率不存在或为0时，直线与曲线有唯一公共点，此时直线的方程为或；当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由（1）知，，解得，直线的方程为，所以直线的方程为或或.16.商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．（1）求顾客3次取球后持有分数的数学期望；（2）设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为；①证明：是等差数列；②求顾客获得一等奖的概率．（1）解：记事件：“一次取出红球”，则，设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为，3次取球后累计分数为随机变量.则，则，故，所以；（2）①证明：由题意当时，，即，所以是等差数列；②解：由题意，由上可知：，所以，又由题意，所以.由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即，所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率.17.通过化学的学习，我们知道金刚石是天然存在的最硬的物质，纯净的金刚石是无色透明的正八面体形状的固体，如图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，从图中可以看出，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离相等的位置，如图2所示：（1）在金刚石的碳原子空间结构图（图2）中，求直线与直线所成角的余弦值；（2）若四面体和正八面体的棱长相等，现将两几何体拼接起来，使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体，判断新多面体为几面体，并说明理由．解：（1）将正四面体放入正方体中，为正方体的中心，如图，设正方体棱长为，则，在中，由余弦定理得：，所以直线与直线所成角的余弦值为.（2）新多面体为七面体.设四面体和正八面体的棱长为1，在正四面体中，取中点为，连接，在正中，，同理，则为二面角的平面角，，在中，由余弦定理得：，在四棱锥中，取中点，连接，在正中，，同理，即即为二面角的平面角，而，在中，由余弦定理得：，于是二面角与二面角互补，同理得二面角的余弦值为，以平面与平面完全对应重合为例，则，，，四点共面，同理，，，四点共面，，，，四点共面，所以将两几何体拼接起来，使它们一个表面完全重合，得到一个七面体.18.函数有且只有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）已知为常数，设函数，若，求的值．解：（1）函数定义域为，求导得，当时，在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意；当时，由，得；由，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，，当趋近于0时，趋近于正无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，则只需，即，此时在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意，所以的取值范围是.（2）由（1）知，得，令，则，，，，，记，，令，则，令，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，而，则，当时，时，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，显然当时，，而，所以.19.设集合或，中的元素，，定义：．若为的元子集，对，都存在，使得，则称为的元最优子集．（1）若，且，试写出两个不同